概念方法题型易误点及应试技巧总结五平面向量 .docx

精品名师归纳总结高考数学必胜要领在哪？概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结五、平面对量1、向量有关概念 ：（ 1） 向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分。向量常用有向线段来表示, 留意 不能说向量就是有向线段,为什么？ （向量可以平移） 。如已知 A（ 1,2）, B（ 4,2）,就把向量 AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的。（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是AB 。| AB |（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性。（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量,记作： a b , 规定零向量和任何向量平行。提示 ：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等。两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合。平行向量无传递性 ！（由于有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 。三点 A、B、C共线AB、AC共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。如以下命题：（ 1）如 ab ,就 ab 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。 （ 3）如 ABDC ,就 ABCD 是平行四边形。 （ 4）如 ABCD 是平行四边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形,就 ABDC 。（ 5）如ab, bc ,就 ac 。（ 6）如a / b,b / c ,就a / c 。其中正确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的是 （答：（4）（ 5）2、向量的表示方法 ：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后。 （ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等。（ 3）坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系, 以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j 为基底,就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y ,称x, y 为向量 a 的坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标, a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。假如 向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面对量的基本定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面内的任一向量 a,有且只有一对实数1 、 2 ,使 a=1 e1 2 e2。如（ 1）如 a1,1,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1, 1,c 1,2 ,就 c （答： 1 a3 b ）。（ 2）以下向量组中,能作为平面内全部可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量基底的是A.e10,0, e21, 2B.e1 1,2, e25,7C.e13,5, e26,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D.e2,3,e 1 ,3（答： B）。（3）已知AD, BE 分别是ABC 的边BC, AC 上的中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线,且ADa, BEb ,就 BC 可用向量a,b 表示为（答： 2 a4b ）。（ 4）已知 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中, 点 D 在 BC 边上, 且 CD2 DB, CDr ABs AC,就 rs 的值是 （答： 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量,记作a ,它的长度和方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规定如下： 1aa , 2当>0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当<0 时,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的方向与 a 的方向相反,当 0 时, a5、平面对量的数量积 ：0 , 留意 ：a 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）两个向量的夹角 ：对于非零向量 a , b ,作 OAa, OBb , AOB0称为向量 a , b 的夹角,当 0 时, a , b 同向,当时, a , b 反向,当 时, a , b 垂直。2（ 2） 平面对量的数量积 ：假如两个非零向量a , b ,它们的夹角为,我们把数量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ,记作： ab ,即 ab a b cos。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规定： 零向量与任一向量的数量积是0,留意数量积是一个实数, 不再是一个向量 。如（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC 中,| AB |3 , | AC |4 , | BC |5 ,就 ABBC （答： 9）。（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a11,就 k 等于 （答：1）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1, , b0,cakb, dab ,c 与 d 的夹角为224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）已知 a2, b5,a b3 ,就 ab 等于 （答：23 ）。（ 4）已知a, b 是两个非可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结零向量,且 abab ,就 a与ab的夹角为（答： 30 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） b 在 a 上的投影 为| b | cos,它是一个实数,但不肯定大于0。如已知 | a |3 ,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| b |5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的投影为（答：）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4） ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。（ 5）向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就： abab0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当 a ,b 同向时, ab a b ,特殊的, a22aaa, aa。当 a 与 b 反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向时, ab a b 。当 为锐角时, ab 0,且 a、b 不同向, a b0 是为锐角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的必要非充分条件 。当 为钝角时, ab 0,且 a、b 不反向, a b要非充分条件 。0 是 为钝角的必可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结非零向量 a , b 夹角的运算公式： cosab 。 | ab | | a | b | 。如（ 1） 已a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结知 a,2 4 , b3 ,2 ,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是（答：1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或0 且3）。（ 2 ） 已 知O F Q的 面 积 为 S , 且 OFFQ31 , 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1S3 ,就22OF , FQ夹角的取值范畴是 （答： , ）。（ 3 ） 已知43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结acos x ,sin x ,bcosy,sinya,与 b 之间有关系式kab3 akb,其中 k0 ,用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 表 示 a b 。 求 a b 的 最 小 值 , 并 求 此 时 a 与 b 的 夹 角的 大 小 （ 答 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a bk 21 k4k0 。最小值为1 ,60 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、向量的运算 ：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法就”进行,但“平行四边形法就”只适用于不共线的向量, 如此之外, 向量加法仍可利用 “三角形法就” ：设 ABa, BCb ,那么向量 AC叫做 a 与 b 的和,即 abABBCAC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量的减法：用“三角形法就” ：设ABa, ACb,那么abABACCA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由减向量的终点指向被减向量的终点。留意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（ 1） 化简： ABBCCD 。 ABADDC 。 ABCD ACBD （答： AD 。 CB 。 0 ）。（ 2）如正方形 ABCD 的边长为 1,ABa, BCb, ACc ,就 | abc | （答： 22 ）。（ 3 ） 如 O 是ABC 所在平面内一点,且满意OBOCOBOC2OA ,就 ABC 的外形为 （答： 直角三角形） 。（ 4）如 D 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC 的边 BC 的中点,ABC 所在平面内有一点P ,满意| AP |PABPCP0 ,设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| PD |,就的值为 （答： 2）。（ 5）如点 O 是 ABC 的外心, 且 OAOBCO0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 ABC 的内角 C 为 （答： 120 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）坐标运算 ：设 ax1, y1, bx2, y2 ,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 向量的加减法运算： ab x1x2 , y1y2。如（ 1） 已知点A2,3, B5,4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 7,10 ,如APABACR ,就当 时,点 P 在第一、三象限的角平分线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上（答： 1 ）。（ 2）已知2A2,3, B1,4, 且 1 AB2sin x,cos y , x, y, ,就 xy 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答：或）。（3） 已知作用在点62A1,1的三个力 F13,4, F22,5, F33,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就合力F F1F2F3 的终点坐标是（答：（ 9,1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 实数与向量的积 ：ax1, y1x1,y1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x1 , y1, B x2 , y2 ,就ABx2x1 , y2y1 ,即一个向量的坐标等于表示这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 A2,3, B1,5 ,且 AC111 AB ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD3AB ,就 C、 D 的坐标分别是（答：1,7,9 ）。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 平面对量数量积 ： abx1x2y1y2 。如已知向量 a （ sinx,cosx）,b （ sinx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinx ）,c （ 1,0）。（ 1）如 x,求向量 a 、 c 的夹角。（ 2）如 x 33, ,函84可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 f xa b 的最大值为1 ,求的值（答：21150;21 或21 ）。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 向量的模 ： | a |x2y2 , a2| a|2x2y2 。如已知a,b 均为单位向量,它们的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结夹角为 60 ,那么 | a3b | （答：13 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两点间的距离 ：如A x1,y1,B x 2 ,y 2,就| AB |2x2x1y2y12。如如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图,在平面斜坐标系xOy 中,xOy60 ,平面上任一点P 关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结斜坐标系的斜坐标是这样定义的：如 OPxe1ye2,其中 e1, e2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量,就P 点斜坐标为 x, y 。（ 1） 如点 P 的斜坐标为（ 2, 2）,求 P 到 O 的距离 PO。（ 2）求以O 为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（ 1） 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） x2y 2xy10 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、向量的运算律 ：（ 1）交换律： abba ,aa , abba 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结合律：abcabc, abcabc ,ababab。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）安排律：aaa,abab , abcacbc 。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下命题中：a bc a bac 。a b c a bc 。 ab2| a |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 | a | | b | b | 。 如 a b0 ,就 a0 或 b0 。如a bc b,就 ac 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 aaa bb。2。 a b222ab 。 ab222a2a bb 。其中正确选项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa （答：）提示：（ 1）向量运算和实数运算有类似的的方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量, 即两边不能约去一个向量, 切记两向量不能相除 相约 。（ 2）向量的“乘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法”不满意结合律 ,即abcabc ,为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、向量平行 共线 的充要条件 ：a / bab a b2| a |b |2x1 y2y1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0。如1 如向量 ax,1, b4, x ,当 x 时 a 与b 共线且方向相同 （答： 2）。（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a1,1,b4, x, ua2b , v2ab ,且u / v ,就 x （答： 4）。（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 PAk ,12, PB4,5, PC10,k ,就 k时, A,B,C 共线（答： 2 或 11）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、向量垂直的充要条件： aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 .特可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结别的 ABAC ABAC 。如1 已知 OA 1,2, OB3, m ,如 OAOB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABACABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 m（答： 3 2）。（2） 以原点 O 和 A4,2 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B90,就点 B 的坐标是 （答： 1,3 或（ 3, 1）。（3）已知 na,b, 向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm ,且 nm ,就 m 的坐标是（答： b,10. 线段的定比分点 ：a或b, a ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）定比分点的概念：设点 P 是直线 P1 P 2 上异于 P 1 、P 2 的任意一点,如存在一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实数,使P1PPP2 ,就叫做点 P 分有向线段P1P2 所成的比, P 点叫做有向线段P1P2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的以定比为的定比分点。（ 2） 的符号与分点 P 的位置之间的关系 ：当 P 点在线段 P1 P 2 上时>0。当 P点 在 线 段P 1 P 2 的 延 长线 上 时< 1 。 当 P 点 在线 段 P 2 P 1 的 延 长 线 上时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 。如点 P 分有向线段P1P2所成的比为,就点 P 分有向线段P2P1 所成的比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 1 。如如点 P 分 AB 所成的比为 3 ,就 A分 BP 所成的比为（答：7 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4（ 3）线段的定比分点公式 ：设 P1 x1 , y1 、 P2 x2,3y2 , Px, y 分有向线段P1P2 所成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x的比为,就1yy11x2,特殊的,当 1 时,就得到线段P 1y2P 2 的中点公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x x1x2 2y y1y2 2。在使用定比分点的坐标公式时,应明确 x,y , x1, y1、 x2 , y2 的意义,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即分别为分点,起点,终点的坐标。在详细运算时应依据题设条件,敏捷的确定起点,分1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点和终点,并依据这些点确定对应的定比。如（1）如 M（ -3,-2）,N（6,-1）,且MPMN, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就点 P 的坐标为（答：6,7 ）。（2） 已知 3A a,0, B3,2a ,直线 y1ax 与2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线段 AB 交于 M ,且 AM2MB ,就 a 等于（答：或）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 平移公式 ：假如点P x, y 按向量ah, k 平移至Px, y ,就 xxh 。曲yyk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 f x,y0 按向量ah, k 平移得曲线f xh, yk 0 .留意 ：（ 1） 函数按向量平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结移与平常“左加右减”有何联系？（ 2）向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊！如（ 1）按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点 （答：（ ,）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）函数 ysin 2 x 的图象按向量a 平移后,所得函数的解析式是ycos 2 x1 ,就 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答： ,1 ）4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用。（ 2）|a |b | | ab | | a | b | ,特殊的, 当 a、b 同向或有 0|ab | | a | b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | b | | ab |。当 a、b 反向或有 0| ab | | a | b| a | b | |ab| 。当 a、b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不共线| a | b | |ab| | a |b| 这些和实数比较类似 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3 ） 在ABC 中 , 如A x1 , y1, B x2, y2,C x3, y3, 就 其 重 心 的 坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结G x1x2x3, y1y2y3。 如如 ABC 的三边的中点分别为（2 , 1 ）、（ -3 , 4）、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33（ -1 , -1 ）,就 ABC的重心的坐标为 （答： 24, ）。33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PG1 PAPBPC3G 为 ABC 的重心,特殊的PAPBPC0P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 ABC的重心。 PA PBPB PCPCPAP 为 ABC 的垂心。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量 ABAC 0 所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB | AC |在直线 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | AB | PC| BC | PA| CA | PB0PABC 的内心。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3 ） 如 P分 有 向 线 段P1P2所 成 的 比 为, 点 M 为 平 面 内 的 任 一 点 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MPMP1 1MP2 ,特殊的 P 为P1P2 的中点MPMP1MP2 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4 ） 向 量 PA、PB、PC中 三 终 点 A、B、C共 线存 在 实 数、使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P AP BP 且C1 . 如 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A3,1 , B1,3 , 如点 C 满意 OC1 OA2OB , 其中1,2R 且121, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 C 的轨迹是（答：直线 AB）可编辑资料 - - - 欢迎下载