黄冈名师2020版高考数学大一轮复习12.9离散型随机变量的均值与方差课件理新人教A版2.ppt

第九节离散型随机变量的均值与方差(全国卷5年6考),【知识梳理】1.离散型随机变量X的均值与方差已知离散型随机变量X的分布列为,则有,(1)均值(数学期望):计算公式:E(X)=_.作用:反映了离散型随机变量取值的_.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,平均水平,(2)方差:计算公式:D(X)=_.作用:刻画了随机变量X与其均值E(X)的_.(3)标准差:=_.,平均偏离程度,2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=_(a,b为常数).(2)D(aX+b)=_(a,b为常数).,aE(X)+b,a2D(X),3.几个特殊分布的期望与方差,【常用结论】1.两点分布实际上是n=1时的二项分布.2.方差D(X)=E(X2)-E2(X).,3.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.,【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)数学期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.(),(2)在投篮比赛中,投中1次得1分,不中得0分.如果某运动员投篮命中的概率为0.6,那么他投篮1次的得分X的均值为0.6.()(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.(),提示:(1).数学期望与概率有关.(2).X服从两点分布,均值为0.6.(3).均值反映平均水平,方差反映稳定性.,2.某班有14名学生数学成绩优秀,若从该班随机找出5名学生,其中数学成绩优秀的学生数XB,则E(2X+1)=()A.B.C.3D.,【解析】选D.因为XB,所以E(X)=,所以E(2X+1)=2E(X)+1=2+1=.,3.随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)=,E()=1,则D()=_.【解析】设=1时的概率为p,则E()=0+1p+2=1,解得p=.故D()=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=.答案:,题组二:走进教材1.(选修2-3P68练习1改编)已知随机变量X的分布列是:则D(X)=()A.0.6B.0.8C.1D.1.2,【解析】选B.E(X)=10.4+20.2+30.4=2,则D(X)=(1-2)20.4+(2-2)20.2+(3-2)20.4=0.8.,2.(选修2-3P68A组T2改编)若随机变量X的分布列为:且E(X)=,则a=_,【解析】因为E(X)=0a+1+2+3b,所以b=.因为P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,所以a+=1,所以a=.答案:,考点一均值与方差的计算【题组练透】1.已知某离散型随机变量X的分布列为,则随机变量X的方差D(X)等于(),【解析】选B.方法一:由m+2m=1得m=,所以E(X)=0+1=,D(X)=,方法二:由m+2m=1得m=,根据两点分布的期望和方差公式可得E(X)=,D(X)=,2.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X的数学期望是()A.7.8B.8C.16D.15.6,【解析】选A.X的取值为6,9,12,相应的概率P(X=6)=P(X=9)=P(X=12)=E(X)=6+9+12=7.8.,3.已知抛物线y=ax2+bx(a0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b-3,-2,-1,0,1,2,3,在这些抛物线中,若随机变量=|a-b|,则D()=()A.B.C.D.,【解析】选A.对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有18条,的可能取值为0,1,2.P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,则E()=,所以D()=,4.某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,这两个同学各猜1次,则他们的得分之和X的数学期望为()A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1,【解析】选A.由题意,X=0,1,2,则P(X=0)=0.60.5=0.3,P(X=1)=0.40.5+0.60.5=0.5,P(X=2)=0.40.5=0.2,所以E(X)=00.3+10.5+20.2=0.9.,【规律方法】求均值与方差的方法技巧,考点二二项分布的均值与方差【典例】(1)(2017全国卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=_.,(2)(2018湖北荆州中学模拟)为响应绿色出行,某市在推出“共享单车”后,又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成:根据行驶里程数按1元/公里计费;行驶时间不超过40分时,按0.12元/分计费;超过40分,时,超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15公里,每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素,每次路上开车花费的时间t(分)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示:,将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为(20,60分.写出王先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分)的函数关系式;若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”,设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数,求的分布列和期望;,若公司每月给1000元的车补,请估计王先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车?并说明理由.(同一时段,用该区间的中点值作代表),【解析】(1)XB(100,0.02),所以D(X)=np(1-p)=1000.020.98=1.96.答案:1.96,(2)当20<t40时,y=0.12t+15,当40<t60时,y=0.1240+0.20(t-40)+15=0.2t+11.8,所以y=,王先生租用一次新能源分时租赁汽车,为“路段畅通”的概率P=可取0,1,2,3.P(=0)=P(=1)=,P(=2)=P(=3)=的分布列为,E()=0+1+2+3=1.2或依题意BE()=3=1.2,王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班,平均用车时间t=25+35+45+55=42.6(分钟),每次上下班租车的费用约为0.242.6+11.8=20.32(元),一个月上下班租车费用约为20.32222=894.08<1000.估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用.,【规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量的期望与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果B(n,p),则用公式E()=np,D()=np(1-p)求解,可大大减少计算量.,(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)=aE()+b以及E()=np求出E(a+b),同样还可求出D(a+b).,【对点训练】一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图.如图所示.,将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率.(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).,【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.,(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=0.63=0.216.,X的分布列为:因为XB(3,0.6),所以期望E(X)=30.6=1.8,方差D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.,考点三离散型随机变量均值、方差的求法及应用【明考点知考法】在高考题中,离散型随机变量均值、方差是必考的考点,试题常以解答题形式出现,考查与互斥事件、相互独立事件概率的计算、离散型随机变量分布列、离散型随机变量的均值和方差的计算及其意义的实际应用.解题过程中常渗透分类与整合思想.,命题角度1求离散型随机变量均值、方差【典例】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组,参加某大型户外竞技类闯关活动,活动共有四关,设男生闯过第一至第四关的概率依次是女生闯过第一至第四关的概率依次是,(1)求男生闯过四关的概率.(2)设X表示四人冲关小组闯过四关的人数,求随机变量X的分布列和期望.,【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A,则P(A)=,(2)记女生四关都闯过为事件B,则P(B)=由题意,知X的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为P(X=0)=,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=,P(X=4)=所以X的分布列为,所以E(X)=,【答题模板微课】本例的模板化过程:扫码听名师讲解建模板:,【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A,则P(A)=,(2)记女生四关都闯过为事件B,则P(B)=由题意,知X的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为P(X=0)=,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=,P(X=4)=求概率所以X的分布列为求分布列,所以E(X)=求均值,套模板:(2018湘潭模拟)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分,未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为他们出线与未出线是相互独立的.,(1)求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率.(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望.,【解析】(1)记“甲出线”为事件A,“乙出线”为事件B,“丙出线”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D,则P(D)=1-P()=,(2)由题意可得的所有可能取值为0,1,2,3,则P(=0)=P()=P(=1)=P(A)+P()+P(C),P(=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)P(=3)=P(ABC)=求概率,所以的分布列为.求分布列E()=求均值,【状元笔记】均值与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义,写出X的所有可能取的值.(2)求X取各个值的概率,写出分布列.(3)根据分布列,由均值的定义求出均值E(X),进一步由公式D(X)=求出D(X).,命题角度2离散型随机变量均值、方差的实际应用【典例】(2018太原模拟)某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过1kg的包裹收费10元;重量超过1kg的包裹,除1kg收费10元之外,超过1kg的部分,每超出1kg(不足1kg,按1kg计算)需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下:,公司对近60天,每天揽件数量统计如下表:以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.,【破题关键点】,【听课记录】(1)样本中包裹件数在101400之间的天数为48,频率f=故可估计概率为,显然未来3天中,包裹件数在101400之间的天数X服从二项分布,即XB故所求概率为,(2)样本中快递费用及包裹件数如下表:,故样本中每件快递收取的费用的平均值为=15(元),故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.,根据题意及(2),揽件数每增加1,可使前台工资和公司利润增加15=5(元),将题目中的天数转化为频率,得,若不裁员,则每天可揽件的上限为450件,公司每日揽件数情况如下:,故公司平均每日利润的期望值为2605-3100=1000(元);若裁员1人,则每天可揽件的上限为300件,公司每日揽件数情况如下:,故公司平均每日利润的期望值为2355-2100=975(元)因975<1000,故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.,【状元笔记】均值和方差的意义和应用原则(1)意义:随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量.,(2)应用原则:方差越大表明平均偏离程度越大,方差越小表示平均偏离程度越小,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.,【对点练找规律】某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;,项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,也可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合适的项目,并说明理由.,【解析】若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为,所以E(X1)=300+(-150)=200(万元).,若按“项目二”投资,设获利X2万元,则X2的分布列为,所以E(X2)=500+(-300)+0=200(万元).D(X1)=(300-200)2+(-150-200)2=35000,D(X2)=(500-200)2+(-300-200)2+(0-200)2=140000.所以E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.,数学能力系列32离散型随机变量的均值与方差中体现的应用意识【能力诠释】应用意识指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活,中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题.解答离散型随机变量的均值与方差实际应用题时,要注意以下两点:,(1)明确题意,找准变量之间的关系,注意所学概率模型(相互独立事件、二项分布等)的应用.(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.,【典例】为响应国家“精准扶贫,产业扶贫”的战略,进一步优化能源消费结构,某市决定在地处山区的A县推行光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取50户,统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.,(1)在该县山区居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X,求X的数学期望.,(2)已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度,试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元?,【解析】(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户,其年用电量不超过600度为事件A,则P(A)=.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X,X服从二项分布,即XB故E(X)=10=6.,(2)设该县山区居民户年均用电量为E(Y),由抽样可得E(Y)=100+300+500+700+900=500(度).则该自然村年均用电量约150000度.,又该村所装发电机组年预计发电量为300000度,故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度,能为该村创造直接收益1500000.8=120000(元).,【技法点拨】解离散型随机变量的均值和方差应用问题的方法1.求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用期望、方差公式进行计算.,2.要注意观察随机变量的概率分布特征,若属于二项分布,可用二项分布的期望与方差公式计算,则更为简单.3.在实际问题中,若两个随机变量X1,X2,有E(X1)=E(X2)或E(X1)与E(X2)较为接近时,就需要用D(X1)与D(X2)来比较两个随机变量的稳定程度.,【即时训练】某商店举行三周年店庆活动,每位会员交会员费50元,可享受20元的消费,并参加一次抽奖活动,从一个装有标号分别为1,2,3,4,5,6的6只均匀小球的抽奖箱中,有放回地抽两次球,抽得的两球标号之和为12,则获一等奖价值为a元的礼品,标号之和为11或10,获二等奖价值100元的礼品,标号之和小于10不得奖.,(1)求各会员获奖的概率.(2)设商店抽奖环节收益为元,求的分布列;假如商店打算不赔钱,a最多可设为多少元?,【解析】(1)抽两次得标号之和为12的概率为P(A)=抽两次得标号之和为11或10的概率为P(B)=2所以各会员获奖的概率为P(C)=P(A)+P(B)=.,(2)随机变量的所有可能取值为:30-a,-70,30,的分布列为:,由E()=(30-a)+(-70)+300,得a580元.所以a最多可设为580元.,