空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案 .docx

精品名师归纳总结空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共面对量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题。2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题。3. 培育用向量的相关学问摸索问题和解决问题的才能。【学问梳理】一、 空间向量的运算1、向量的几何运算1向量的数量积：已知向量，就叫做的数量积，记作，即空间向量数量积的性质：。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2向量共线定理：向量a a0与 b 共线，当且仅当有唯独一个实数，使 ba 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、向量的坐标运算1假设，就一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2假设，就，。，（ 3）夹角公式：1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4两点间的距离公式：假设，就二、空间向量在立体几何中的应用2. 利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利用共线向量和共面对量定理进行证明3. 利用空间向量证明垂直问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于垂直问题，一般是利用进行证明。4. 利用空间向量求角度1线线角的求法：设直线 AB、CD对应的方向向量分别为a、b，就直线 AB与 CD所成的角为线线角的范畴 000,90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2线面角的求法：设 n 是平面的法向量，是直线 的方向向量，就直线与平面所成的角为3二面角的求法：设 n1 ，n2 分别是二面角的两个面， 的法向量，就就是二面角的平面角或其补角的大小如图5. 利用空间向量求距离1平面的法向量的求法：设 n=x,y,z，利用 n 与平面内的两个不共线的向a，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量如图 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2利用法向量求空间距离a 点 A 到平面的距离：，其中， 是平面的法向量。b 直线与平面之间的距离：，其中， 是平面的法向量。c 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。【经典例题】【例 1】2021 全国卷 1 理正方体 ABCD-A1 B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A23B33 C 23D63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 D【例 2】2021 全国卷 2 文已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形， SA 垂直于底面 ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A34【解析】 D(B) 54(C) 74S(D) 34EBF C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 3 】 2021全国卷三棱柱ABCA1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAA1CAA160，就异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】663可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 4】2021 重庆如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中， AB=4， AC=BC=，3 D 为 AB 的中点。求异面直线CC1 和 AB的距离。假设 AB1 A1C，求二面角 A1 CD B1 的平面角的余弦值。【解析】513可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 5】2021 江苏如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，A1B1A1C1 ， D ，E 分别是棱BC ，CC1上的点点 D 不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于点 C，且 ADDE ，F 为B1C1的中点A1C1B1F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：1平面 ADE平面EBCC1B1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2直线A1F /平面 ADEAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DB【例 6】2021 山东在如下图的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形， AB CD， DAB=60°， FC平面 ABCD， AE BD， CB=CD=CF求证： BD平面 AED。求二面角 F-BD-C 的余弦值1【解析】二面角 F-BD-C 的余弦值为5 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 7】2021 江西在三棱柱影是线段 BC 的中点 O 。ABCA1B1C1 中，已知ABACAA15 ， BC4 ，点A1 在底面 ABC 的投可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1证明在侧棱AA1上存在一点 E ，使得 OE平面BB1C1C ，并求出 AE 的长。A1C1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2求平面A1B1C 与平面BB1C1C 夹角的余弦值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】5 ，30A510COB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 8】2021 湖南四棱锥 P-ABCD中， PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5， DAB= ABC=90°， E 是 CD的中点 .证明： CD平面 PAE。假设直线 PB与平面 PAE所成的角和 PB与平面 ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 V1SPA116851285可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33515【例 9】2021 广东如下图，在四棱锥PABCD 中， AB平面 PAD ， AB / /CD , PDAD ， E 是 PB 中点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F 是 DC 上的点，且 DF1 AB ， PH 为 PAD 中 AD 边上的高。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1证明： PH平面 ABCD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 PH1, AD2, FC1 ，求三棱锥 EBCF 的体积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3证明： EF平面 PAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】三棱锥 EBCF 的体积 V1ShBCF1 1FCADh11212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3326212【例 10】2021 新课标如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中， AC=BC=1 AA1，D 是棱 AA1 的中点， DC1BD21证明： DC1 BC。C1B 12求二面角 A1 BD C1 的大小A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】二面角 A1BDC1 的大小为 30D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CBA【例 11】如下图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD 点 E 在线段 PC 上， PC平P面 BDE 1证明： BD平面 PAC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 PA1， AD2 ，求二面角 BPCA 的正切值AED可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】二面角 BPCA 的平面角的正切值为3BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 12】2021 天津如图， 在四棱锥 PABCD 中， PA丄平面 ABCD ， AC 丄 AD ， AB 丄 BC ，ABC=45 0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PA=AD =2 ， AC =1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 证明 PC 丄 AD 。求二面角 APCD 的正弦值。设 E 为棱 PA 上的点，满意异面直线BE 与 CD所成的角为300 ，求 AE的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】30 ， 10610可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【课堂练习】1、2021 上海假设 n 2,1 是直线 l 的一个法向量，就 l 的倾斜角的大小为用反三角函数值表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 2021 四川如图， 在正方体ABCDA1B1C1D1 中， M 、N 分别是 CD 、CC1 的中点， 就异面直线A1M 与 DN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所成角的大小是。D 1C 1A 1B 1NDCMAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、2021 全国卷如图，四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA底面 ABCD ， AC22 ， PA2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E 是 PC 上的一点， PE2 EC 。P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：PC平面 BED 。设二面角 APBC 为 90 ，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。EABDC4、2021 辽宁理 已知三棱锥 P ABC中，PA ABC，AB AC，PA=AC=.AB，N 为 AB上一点， AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点 .证明： CM SN。求 SN与平面 CMN所成角的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、2021 辽宁文如图，棱柱ABCA1B1C1 的侧面BCC1B1 是菱形，B1CA1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：平面AB1C平面A1BC1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 D 是A1C1 上的点，且A1B / 平面B1CD ，求A1D : DC1 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、 2021 全国文 如图， 直三棱柱 ABC-A1 B1 C1中，AC=BC， AA 1 =AB，D 为 BB1 的中点， E 为 AB1 上的一点， AE=3EB1证明： DE为异面直线 AB1 与 CD的公垂线。设异面直线AB1 与 CD的夹角为 45° , 求二面角 A1 -AC1 -B 1 的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、 2021 江西理 如图 BCD与 MCD都是边长为 2 的正三角形， 平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD， AB（ 1） 求点 A 到平面 MBC的距离。（ 2） 求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值。8、2021 重庆文四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA底面23 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABCD ，PAAB2 ，点 E 是棱 PB 的中点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： AE平面 PBC 。假设 AD1 ，求二面角 BECD 的平面角的余弦值.9、2021 浙江文如图，在平行四边形ABCD中， AB=2BC， ABC=120°。 E 为线段 AB 的中点，将 ADE沿直线 DE翻折成 A DE，使平面 A DE平面 BCD， F 为线段 A C的中点。求证： BF平面 A DE。设 M为线段 DE的中点，求直线 FM与平面 A DE所成角的余弦值。10、2021 重庆理四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA底面 ABCD， PA=AB= 6 ，点 E 是棱 PB的中点。1求直线 AD与平面 PBC的距离。P2假设 AD=3 ，求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值。EADBC11、2021 北京理如图，正方形ABCD和四边形 ACEF所在的平面相互垂直，CEAC,EFAC,AB= 2 ， CE=EF=1.求证： AF平面 BDE。求证： CF平面 BDE。求二面角 A-BE-D的大小。12、如图，弧 AEC是半径为 a 的半圆， AC为直径，点 E 为弧 AC的中点，点 B和8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 C为线段 AD的三等分点，平面AEC外一点 F 满意 FC平面 BED,FB=5a1证明： EBFD2求点 B 到平面 FED的距离 .013、2021 江苏卷如图，在四棱锥P-ABCD中， PD平面 ABCD， PD=DC=BC=，1 AB=2， AB DC， BCD=90。(1) 求证： PCBC。(2) 求点 A 到平面 PBC的距离。PDCA16题图B14、2021 上海如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA底面 ABCD， E 是 PCAB2=， AD=22 ， PA=2.求：1三角形 PCD的面积。2异面直线 BC与 AE所成的角的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、2021 四川 如图， 在三棱锥 PABC 中，求直线PC 与平面 ABC 所成角的大小。求二面角 BAPC 的大小。APB90 ，PAB60 ， ABBCCA，平面 PAB平面 ABC 。P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16、2021 安徽长方体ABCDA1B1C1D1 中，底面A1 B1C1D1是正方形， O 是 BD 的中点， E 是棱AA1 上任意一点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：BDEC1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 AB =2， AE =2 ， OEEC1 , 求AA1的长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17、2021 北京文 如图 1，在 RtABC 中， C90 ， D, E 分别为AC , AB 的中点， 点 F 为线段 CD 上的一点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使A1FCD ，如图 2。A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：DE / 平面A1CB 。求证：A1A1FBE。DE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线段A1B 上是否存在点 Q ，使A1C平面 DEQ ？说明理由。DEFBCBCF图1图2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18、2021 湖南如图 6，在四棱锥 P-ABCD中， PA平面 ABCD，底面 ABCD是等腰梯形， AD BC，AC BD.证明： BD PC。假设 AD=4， BC=2，直线 PD与平面 PAC所成的角为 30°，求四棱锥 P-ABCD的体积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19、如图， 在三棱锥 PABC 中， PA 底面 ABC ， D 是 PC 的中点， 已知 BAC ， AB22 ， AC23 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PA2 ，求：1三棱锥 PABC 的体积10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小结果用反三角函数值表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20、2021 安徽文如图，在四棱锥 OABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形，ABC,OA4底面ABCD,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OA2 , M 为 OA 的中点。求异面直线AB与 MD所成角的大小。O求点 B到平面 OCD的距离。MADBC【课后作业】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 2021 全国如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB4 ，点 E 在 CC 1上且C1E3EC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：A1C平面 BED 。D 1C1A1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求二面角 A1DEB 的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EDCAB2、2021 湖南四棱锥 P- ABCD的底面 ABCD是边长为 1 的菱形， BCD60°， E 是 CD的中点， PA底面 ABCD， PA 2.证明：平面PBE平面 PAB;求平面 PAD和平面 PBE所成二面角锐角的大小.11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、2021 福建如图，在四棱锥P-ABCD中，就面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD2 ，底面 ABCD为直角梯形，其中 BCAD, AB AD, AD=2AB=2BC=2, O为 AD中点 .求证： PO平面 ABCD。求异面直线PD与 CD所成角的大小。线段 AD上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为3 ？2假设存在，求出 AQ 的值。假设不存在，请说明理由.QD4、2021 海南、宁夏理 如图，已知点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的对角线 BD1 上， PDA=60°。1求 DP与 CC1 所成角的大小。 2求 DP与平面 AA1D1D所成角的大小。1DC11BA1PDCAB5、2005 湖南文、理如图1，已知 ABCD是上、下底边长分别为2 和 6，高为3 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。证明： AC BO1。 求二面角 O AC O1 的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DO1CO1CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBA12OBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、2007 安徽文、理 如图 , 在六面体ABCDA1 B1C1D1 中, 四边形 ABCD是边长为 2 的正方形 , 四边形A1B1C1D1 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结边长为 1 的正方形 ,DD 1平面 A1B1C1 D1 ,DD 1平面 ABCD， DD1=2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求证 :A1C1与 AC共面，B1D1 与 BD共面 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求证 : 平面A1ACC1平面B1 BDD1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求二面角 ABB1C 的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、2007 海南 如图，在三棱锥 SABC中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形，证明： SO平面 ABC 。求二面角 ASCB 的余弦值BAC90°， O 为 BC 中点S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OCBA8、2007 四川理如图， PCBM 是直角梯形， PCB 90°， PM BC ， PM 1， BC 2，又 AC 1， ACB 120°， AB PC ，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60° .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：平面 PAC 平面 ABC ;求二面角 MACB的大小 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求三棱锥 PMAC的体积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、 2006 全国卷 如图，l1 、 l 2 是相互垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段. 点 A、 B 在 l1 上， C 在l2 上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AMMBMN 。 证明AC NB。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 假设ACB60O ，求 NB 与平面 ABC所成角的余弦值。l2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cl1HANMB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、2006 福建文、理如图，四周体 ABCD中，O、E 分别是 BD、BC的中点， CACBCDBD2, ABAD2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I 求证： AO平面 BCD。 II 求异面直线AB与 CD所成角的大小。AIII求点 E 到平面 ACD的距离。DOBEC11、 2021 福建文如图，在长方体ABCD A 1B1C1 D1 中， E， H 分别是棱 A1B1,D 1C1 上的点点 E 与 B1 不重合，且 EH/A 1D1。过 EH的平面与棱 BB1,CC1 相交，交点分别为F， G。I 证明： AD/ 平面 EFGH。II 设 AB=2AA1=2a。在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE D 1DCGH内的概率为p。当点 E， F分别在棱 A1B1, B 1B 上运动且满意EF=a 时，求 p 的最小值。14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD底面 ABCD，点 E 在棱 PB上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：平面AEC平面 PDB 。当 PD2 AB 且 E 为 PB的中点时，求 AE与平面 PDB所成的角的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z13、在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ， PAAD O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M ，交 PC 于点 N .4 ， AB2. .以 AC 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P1求证：平面ABM 平面 PCD 。2求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小。3求点 N 到平面 ACM 的距离 .NMADyO15BxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14、如图 4，在正三棱柱ABCA1B1C1 中， AB2 AA。D 是A1B1 的中点，点 E 在 A1C1 上，且 DEAE 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1证明平面 ADE平面ACC1 A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正