第章“控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 5 章 “掌握系统的李雅普诺夫稳固性分析”练习题及答案5.1 判定以下函数的正定性1) V x2x 23x 2x 22x x2x x1231 21 32) V x8x 22x 2x 28x x2 x x2x x1231 21 32 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) V xx 2x 22x xx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结131 22 3解211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1) V x x T Axx T130101x ,由于次序主子式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 A2120,50,130 ， V x 为正定函数。84121113020101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) V xx T AxxT421111x ,由于主子式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8481218, 2,10,0,70,10,421111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 A 不定，841421164421680111V x 为不定函数。1110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) V xx T AxxT102x ,由于次序主子式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1021110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1110,10,10120110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0110421可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以 A 为不定矩阵，V x 为不定函数。5.2 用李雅普诺夫第一方法判定以下系统在平稳状态的稳固性。xxxx x 2x 2 112112xxxx x 2x 2 212212解xxx x 2x 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组1211222只有一个实孤立平稳点（0， 0）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x2 x1x2 0*11*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在（ 0， 0）处将系统近似线性化，得11xx ，由于原系统为定常系统，且11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的特点根 s111i 均具有负实部， 于是根定理5.3 可知系统在原点 （ 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0）邻近一样渐近稳固。5.3 试用李雅普诺夫稳固性定理判定以下系统在平稳状态的稳固性。11xx23解由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用李雅普11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结诺夫第一方法比较合适。经运算知矩阵的特点根为230 。由于第一23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法关于线性系统稳固性的结果是的全局性的，所以系统在原点是大范畴渐近稳固的。5.4设线性离散时间系统为010x k1001x km>00m 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试求在平稳状态系统渐近稳固的m 值范畴。解方法 1令 QI , 建立离散系统李雅普诺夫方程GT PGPQ ，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0010010p11m 2p120p13p12 p22 p23p13 p23 p330010001m 20p11 p12 p13p12 p22 p23p13 p23 p33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100010001000ppp100ppp010111213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0Pmp13 pmp33 mPmp23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222111312122223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0pmp23p13pp23p33001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12222比较系数，解此矩阵方程得1002P08m04m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如要 P0 ，应有008m2124m212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4m20 。4m20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解上述不等式组，知0方法 2由m2 时，原系统在原点是大范畴渐近稳固。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sIA0 0s1 = s s2m 2m 2s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结知系统特点根分别为s10 。 s2m2 ， s3m，因此只有0m22 时，原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系统在原点是大范畴渐近稳固。5.5 试用李雅普诺夫方法求系统a11a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxa21a22在平稳状态x0 为大范畴渐近稳固的条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解由于对于线性系统， 李雅普诺夫第一方法中结论是全局性的，是充分必要的。这里利用第一方法求解比较简洁。第一求出系统矩阵的特点方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sIAsa11a12s2aa saaa a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a21sa22112211 221221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由一元二次方程根与系数的关系可知两个特点值同时具有负实部的充要条件为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a220 ， a11a22a12a21 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.6 下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳Volterra 方程式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx1 dt dx2 dtax1x1 x2x2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式中，x1、 x2 分别是生物个体数，、是不为零的实数。关于这个系统，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 试求平稳点。2 在平稳点的邻近线性化，试争论平稳点的稳固性。解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 由dx1 dt0 ， dx2dt0 ，得x1 x2x1 x2 x1 x2x1 x2 x2 0x1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同时满意这二式的系统的平稳点为：x1 、 x2 有两组： x10 、 x20 和 x1/、 x2/。即，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平稳点 ax10 、 x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平稳点 bx1/、 x2/可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 分两种情形争论平稳点的稳固性。 在平稳点 a线性化的微分方程为x*0x*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11x*0x*22其特点方程式是s s00 、0 时，平稳点 a稳固，除此以外不稳固。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 在平稳点 b ，令x1/x1 ，x2/x2 ，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x*x xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 x2/11 x1/22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x*x xx xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21 x1/22 x2/11因此，在平稳点b 线性化的微分方程式是x*0/x*11x*/0x*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其特点方程式为22s20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 时，特点根是，为正、负实数，平稳点b 不稳固。0 时，特点根是j，为共轭纯虚数，平稳点b 的稳固性在这样的线性化范畴内不能打算。5.7 利用李雅普诺夫其次方法判定以下系统是否为大范畴渐近稳固：11xx23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解令矩阵就由 AT PPAI 得1213p11 p12Pp12 p22p11 p12p11 p12p12 p22p12 p2211102301可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解上述矩阵方程，有2 p4 p1p117 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p11 2 p12即得4 p126 p222 p2201p223 8p125 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -75p11p1248P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p12由于p225388可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7P110detp11p1275det48170可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4p12p22536488可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可知 P 是正定的。因此系统在原点处是大范畴渐近稳固的。系统的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V xx T Px1 14x 210 x x3x 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结811 22V xx T Qxx T x x 2x 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于limxV x 12，所以系统在原点处大范畴渐近稳固。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.8 给定连续时间的定常系统可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2 x2x121x2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试用李雅普诺夫其次方法判定其在平稳状态的稳固性。解易知 0,0 为其唯独的平稳状态。现取V xx2x2 ，就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(i) V x12x2x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(ii) V x12V xx1V xx1 x2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x22x2x12x1x 2 x1222x2 1x 222简洁看出，除了两种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（a） x1 任意，（b） x1 任意，x20x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时 V x0 以外，均有V x0 。所以，V x 为负半定。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（iii ）检查V t;x0 ,0 是否恒等于零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考察情形（a）：状态轨线t; x 0,0x1 t,0T，就由于x2 t 0，可导出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 t 0，将此代入系统的方程可得：x1tx2 t00x t1x t 2 x tx t x t 这说明，除了点（解。x10,x20 ）外，t; x0 ,0x1 t,0T不是系统的受扰运动22211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考察情形（ b）： 代入系统的方程可得：t; x0 ,0Tx1 t ,1，就由x2 t 1可导出x2 t 0 ，将此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 tx2 t 10x t1x t 2 x t x t x t22211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显这是一个冲突的结果，说明t ; x0 ,0x1 t ,1T也不是系统的受扰运动解。综可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上分析可知，V t ; x0,00 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（iv ）当xx 2x 2时，明显有2V xx。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12于是，可以断言，此系统的原点平稳状态是大范畴渐近稳固的。5.9 试用克拉索夫斯基定理判定以下系统是否是大范畴渐近稳固的。x13x1x2xxxx32122解明显 x0 是系统的一个平稳点。31F x2113x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F. xF T xF x622226 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由60 和621236x240 知F x0 。依据克拉索夫斯基可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22226x2知系统在原点渐近稳固。又由于limf T x f xlim3xx 2 xxx3 2 xx12122所以原系统在原点处是大范畴渐近稳固的，同时可说明原系统只有惟一一个平稳点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x0 。5.10 试用克拉索夫斯基定理确定使以下系统x1ax1x22122xxxbx 5的原点为大范畴渐近稳固的参数a 和 b 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解构造雅克比矩阵aF x14，令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结115bx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F.xTF x2a2F x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22210bx4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如要求系统在原点渐近稳固，就当 x0 ，应有F x0 ， 又 x0 时，F x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的充要条件为2 a0,4a20abx 440 。于是 a 应满意 a1 。又由于系统大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结范畴渐近稳固，所以当x时，应有F x 0 。留意x，a1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x 0 的充要条件为b0 。 xa1 时，F x0 的充要条件为b0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，a , b 的取值范畴为：a1, b0 ，或 a1, b0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载