四川省成都市新都一中数学选修1-1同步练习：第三章 导数及其应用 第8课时 导数的综合应用 .docx
第8课时导数的综合应用基础达标(水平一)1.函数y=13x3-4x+4的图象(如图)为().【解析】当y=x2-4=0时,x=2.当x(-,-2)和(2,+)时,y单调递增;当x(-2,2)时,y单调递减.当x=2时,y=-43;当x=-2时,y=283.【答案】A2.已知函数f(x)=x+ln x,则有().A.f(2)<f(e)<f(3)B.f(e)<f(2)<f(3)C.f(3)<f(e)<f(2)D.f(e)<f(3)<f(2)【解析】f(x)=12x+1x,x(0,+),因为f(x)>0在x(0,+)上恒成立,所以f(x)在(0,+)上为增函数,所以f(2)<f(e)<f(3).【答案】A3.已知x0,y0,x+3y=9,则x2y的最大值为().A.36B.18C.25D.42【解析】由x+3y=9,得y=13(9-x),由x0,y0,得0x9.x2y=x23-13x=-13x3+3x2.设f(x)=-13x3+3x2,f(x)=-x2+6x.令f(x)=0,得x=0或x=6,又f(0)=0,f(6)=-1363+362=36,f(9)=-1393+392=0.x2y的最大值为36.【答案】A4.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,函数g(x)=x2-aln x在(1,2)上为增函数,则a的值等于().A.1B.2C.0D.2【解析】函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,a21,得a2.又g(x)=2x-ax,依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立,即2x2a在x(1,2)上恒成立,得a2,a=2.【答案】B5.若函数f(x)=x3-px2+2m2-m+1在区间(-2,0)内单调递减,在区间(-,-2)和(0,+)内单调递增,则p的取值集合是.【解析】f(x)=3x2-2px.由题意知,f(-2)=0,f(0)=0,则有12+4p=0,即p=-3.【答案】-36.已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f(x)满足f(x)>f(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为.【解析】设g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)-f(x)ex.f(x)>f(x),g(x)<0,即函数g(x)在定义域上是减函数.又f(0)=2,g(0)=f(0)=2,则不等式f(x)ex<2等价于g(x)<g(0).又函数g(x)在定义域上是减函数,x>0,不等式的解集为(0,+).【答案】(0,+)7.若函数f(x)=ln x-a2x2+ax(aR)在区间(1,+)上是减函数,求实数a的取值范围.【解析】显然函数f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+),f(x)=1x-2a2x+a=-2a2x2+ax+1x=-(2ax+1)(ax-1)x.当a=0时,f(x)=1x>0,f(x)在区间(1,+)上为增函数,不合题意.当a>0时,f(x)0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)0(x>0),即x1a,此时f(x)的单调递减区间为1a,+.由1a1,a>0,得a1.当a<0时,f(x)0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)0(x>0),即x-12a,此时f(x)的单调递减区间为-12a,+.由-12a1,a<0,得a-12.综上所述,实数a的取值范围是-,-121,+).拓展提升(水平二)8.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为().A.1-eB.-1C.-eD.0【解析】因为f(x)=1x-1=1-xx,当x(0,1)时,f(x)>0;当x(1,e时,f(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e,所以当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=ln 1-1=-1.【答案】B9.已知f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=ln x-axa>12,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为().A.1B.2C.3D.-1【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x(0,2)时,f(x)=1x-a,令f(x)=0,得x=1a.又a>12,所以0<1a<2.令f(x)>0,得0<x<1a,所以f(x)在0,1a上单调递增;令f(x)<0,得x>1a,所以f(x)在1a,2上单调递减.所以当x(0,2)时,f(x)max=f1a=ln1a-a1a=-1,所以ln1a=0,所以a=1.【答案】A10.已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示.x-10245f(x)121.521下列关于函数f(x)的命题:函数f(x)的值域为1,2;如果当x-1,t时,f(x)的最大值为2,那么t的最大值为4;函数f(x)在0,2上是减函数;当1<a<2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点.其中正确命题的序号是.【解析】由导函数的图象知,f(x)在区间-1,0)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,4)上单调递增,在区间(4,5上单调递减,结合图象函数的最小值是1,最大值是2,故函数f(x)的值域为1,2,正确.由已知中y=f(x)的图象,及表中数据可得当x=0或x=4时,函数取最大值2,若x-1,t时,f(x)的最大值是2,则0t5,故t的最大值为5,即错误.由已知中y=f(x)的图象可得在0,2上f(x)<0,即f(x)在0,2上是减函数,即正确.当1.5<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点,故当1<a<2时,函数y=f(x)-a可能有2,3,4个零点,即最多有4个零点,故正确.【答案】11.已知f(x)=x-ln x,g(x)=lnxx,其中x(0,e(e是自然常数).(1)求f(x)的单调性和极小值.(2)求证:g(x)在(0,e上单调递增.(3)求证:f(x)>g(x)+12.【解析】(1)f(x)=1-1x=x-1x,当0<x<1时,f(x)<0,f(x)单调递减;当1<x<e时,f(x)>0,f(x)单调递增,f(x)的极小值为f(1)=1.(2)g(x)=1-lnxx2,令g(x)0,得0<xe,g(x)在(0,e上单调递增.(3)由(1)知,f(x)min=1.由(2)知,g(x)max=g(e)=1e.又g(x)max+12=1e+12<12+12=1=f(x)min,f(x)>g(x)+12.
