2022年线性代数第五章《特征值与特征向量》自测题及答案 .pdf
第五章特征值与特征向量自测题（100 分钟）一、填空题： （共 20 分，每小题4 分）（1）设三阶矩阵A的特征值为1，1，2，则A1的特征值为（） ；A* 的特征值为（） ； （3E+A）的特征值为（） 。（2）设三阶矩阵A0，则A的全部特征向量为（） 。（3）若AE，则A（） 。（4） 已知Ax10100002与B10000002y相似，则x= （） ，y= （） 。（5）设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2 的特征向量分别是T)1 , 1, 1(1，T)1, 2, 1(2，则A的属于特征值3 的特征向量是 （） 。二、选择题（共20 分，每小题4 分）（1）设A=211102113，则向量=（）是A的属于特征值2的一个特征向量。（A）T，) 1,01(；（B）T，)1, 01 (； （C）T，)0, 11 (；（D）T，) 1, 10(（2）矩阵 A300030000与矩阵（）相似。（A）000030300； （B）300130010； （C）300000003； （D）310031000（3）下述结论正确的有（） 。（A）n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个互不相同的特征值；（B）n阶矩阵A可对角化的必要条件是A有n个互不相同的特征值；（C）有相同特征值的两个矩阵一定相似；（D）相似的矩阵一定有相同的特征值。（4）下述结论正确的有（） ，其中A为n阶矩阵。（A）方程0)(0 xAE的每一个解向量都是对应于特征值0的特征向量；（B）若21,为方程0)(0 xAE的一个基础解系，则2211CC（21,CC为非零常数）是A的属于特征值0的全部的特征向量；（C）A与TA有相同的特征值和相同的特征向量；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页（D）A与TA有相同的特征多项式。（5）设0011100yxA有 3 个线性无关的特征向量，则yx和应满足条件（）（A）yx； （B）yx； （C）yx2； （D）xy2。三、计算题（每小题15 分，共 45 分）（1）（共 15分）设 A 为三阶矩阵，1a，2，3是线性无关的三维列向量，且满足：1A1+2+3，3222A32332A（ 5 分）求矩阵B，使得：A（1，2，3）=（1，2，3）B；（ 5 分）求矩阵A的特征值；（ 5 分）求可逆矩阵P，使得1PA P为对角形矩阵。（2） （共15 分）设三阶实对称矩阵A的秩为2，621是A的二重特征值。若T，)011 (1，T，) 112(2，T，) 321(3都是A的属于特征值6 的特征向量。（ 7 分）求A的另一特征值和对应的特征向量；（ 8 分）求矩阵A。（3） （共 15 分）设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量T，) 121(1，T，)110(2是齐次线性方程组0AX的两个解。（ 5 分）求A的特征值与特征向量；（ 5 分）求正交矩阵Q和对角矩阵，使AQQT；（ 5 分）求A及6)23(EA，其中E为三阶单位矩阵四、证明题（共15 分，每小题5 分）（1） （5 分）设A是 n 阶正交矩阵，且1A，则1是A的一个特征值。（2）（5 分）设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，1，2，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是：02。（ 3 ）（ 5分 ） 设A为n阶 矩 阵 ， 且 存 在 向 量0i), 2, 1(ni， 有iiiA),2 ,1(ni，令：211，,3221nn的线性相关性，并加以证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页第五章特征值与特征向量自测题参考答案一、填空题（1）)2111(，；) 122(，；)542(，。（ 2 ）332211CCC， 其 中T)0,0, 1(1，T)0, 1,0(2，T)1, 0, 0(3， （321,CCC为不全为零的任意常数）。（3）E。（4）1,0 yx（5）TC) 1,2, 3(， （C为非零常数） 。二、选择题（1） C；（2）C；（3）D；（ 4）D；（5）B。三、计算题：（1）解：A（123）（A1A2A3） =（1+2+3 22+3 22+33） =（123）311221001 =（123）BB311221001（5 分）A（123）（123）B又1, 2 ,3, 线性无关，（123）可逆，（123）1A（123）B，A与B相似，即A与B有相同的特征值，而0413112210012BE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页41321，A的特征值为： 1，1，4（10 分） 当0201321xxx：XBE，可得时解之，一个基础解系为：,1,2,0,1,0,221TT当0-004321xxx：XBE，可得时解之，一个基础解系为：,1 , 1 , 03T令Q（1，2，3）32313131316100211111200021Q，则4111BQQ令P（123）Q（123）111120002 =（ 21-3 22-32+3）则APP14111BQQ（15 分）（2）解：621是A的二重特征值，A的 属 于 特 征 性6 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 有2 个 ， 由 题 设 知 ：T，)011(1，T，) 112(2为A的属于特征值6 的线性无关的特征向量。又 r2)(A，0A，A的 另 一 特 征 值03， 设03的 所 对 应 的 特 征 向 量 为 ：Txxx),(321，则有：,01T,02T即：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页02032121xxxxx（）解（） ，得一基础解系为：T1, 1, 1，故A的 属于特征值03的全 部特 征向量为：Tkk) 1, 1, 1(，)0(k令P（1，2，3）则有：0661APPA=1066PP=110111121066313131323131110=422242224（3）解：TTA) 3, 3,3() 1, 1, 1(0T) 1, 1, 1(是A的特征向量。 又21,都是0AX的解， 说明它们也都是A的特征向量， 特征值为 0；由于21,线性无关，特征值 0 的重数大于1，于是A的特征值为： 3，0，0；属于 3 的特征 向 量 为 ：)0(0CC； 属 于0的 特 征 向 量 为 ：212211,(CCCC不全为零）；将0单位化，得：T33,33,330，对21,施密特正交化，得：T22,22,01，T66,66,362，令：),(210Q，则Q是正交矩阵，并且0031AQQAQQT003A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页110A220AA（0，1，2）=（30，10，20）即：111121011A=003003003解上面这个矩阵方程，得：111111111A另外，EEAAEA49493)23(2232623)23(EAEAE64729四、证明题：（ 1）证明：A是正交矩阵，E，AAT1AAT又AEAAAAAETTTTTEAEAAEAAE02AE0AE，即：1是A的一个特征值。（2）证明：设有一组数1k，2k使021211Akk即：0221211AkAkk又222111,AA，式为：022211211kkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页02221121kkk由于已知2121与线性无关，式成立当且仅当：0022121kkk解齐次线性方程组，由于其系数行列式为：22101D，由于当且仅当，D时0仅有零解：,021kk故211,A线性无关的充分必要条件是（ 3）证明：),2 , 1(niiAii，0i),2, 1(ni 1，2，n是n阶矩阵A的n个不同的特征值，而n，21是A的分别属于1，2，n的线性无关的特征向量。又，211，322，nn1设有一组数：nkkk,21使得：02211nnkkk即：0)()()(1322211nnkkk也即：0)()()(1232121nnkkkkkk 由于n,21线性无关，故式成立当且仅当：00013221nkkkkkk齐次线性方程组的系数行列式：100101100011D=1+1) 1(1n当n为偶数时，D=1+（-1）=0，有非零解；当n为奇数时，D=1+1=20，仅有零解；由式有：当n为偶数时，n,21线性相关，当n为奇数时，n,21线性无关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
