四川省成都市新都一中数学选修2-2同步测试：第一章 第11课时 定积分的概念 .docx
第11课时定积分的概念基础达标(水平一)1.定积分13 (-3)dx=().A.-6B.6C.-3D.3【解析】因为13 3dx表示图中阴影部分的面积S=32=6,所以13 (-3)dx=-13 3dx=-6.【答案】A2.汽车以10 m/s的速度行驶,在某处需要减速停车,设汽车以-2 m/s2的加速度刹车,若把刹车时间5等分,则从开始刹车到停车,汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为().A.80 mB.60 mC.40 mD.30 m【解析】由题意知v(t)=v0+at=10-2t.令v(t)=0,得t=5,即t=5 s时,汽车将停车.将区间0,55等分,用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度,可得汽车刹车距离的过剩估计值为S=(10+10-21+10-22+10-23+10-24)1=30(m).【答案】D3.根据定积分的定义,则03 x2dx=().A.i=1ni-1n21nB.limn+i=1ni-1n21nC.limn+3in23nD.limn+i=1n3in23n【解析】由定积分的定义可知03 x2dx=limn+i=1n3in23n.每个小区间3(i-1)n,3in的长度为3n,i取每个小区间的右端点【答案】D4.下列等式不成立的是().A.ab mf(x)+ng(x)dx=mab f(x)dx+nab g(x)dxB.ab f(x)+1dx=ab f(x)dx+b-aC.ab f(x)g(x)dx=ab f(x)dxab g(x)dxD.-22 sin xdx=-20 sin xdx+02 sin xdx【解析】利用定积分的性质判断C不成立.【答案】C5.如图所示,曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的阴影部分的面积S为.【解析】如图所示,在区间a,c)上,f(x)<0;在区间c,b上,f(x)0.所以所求阴影部分的面积S=-ac f(x)dx+cb f(x)dx.【答案】S=-ac f(x)dx+cb f(x)dx6.若a=04xdx,b=04sinxdx,c=04 tan xdx,则三者之间的大小关系为.【解析】当x0,4时,sin x<x<tan x,所以b<a<c.【答案】b<a<c7.已知函数f(x)=x,x0,2),4-x,x2,3),52-x2,x3,5.求f(x)在区间0,5上的定积分.【解析】由题意可知函数f(x)的图象如图所示.由定积分的几何意义,知02 xdx=1222=2,23 (4-x)dx=12(1+2)1=32,35 52-x2dx=1221=1,故05 f(x)dx=02 xdx+23 (4-x)dx+35 52-x2dx=2+32+1=92.拓展提升(水平二)8.已知t>0,若0t (2x-2)dx=8,则t=().A.1B.-2C.-2或4D.4【解析】函数f(x)=2x-2的图象如图所示,与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2),易求得SOAB=1.0t (2x-2)dx=8,且01 (2x-2)dx=-1,t>1,SAEF=12|AE|EF|=12(t-1)(2t-2)=(t-1)2=9,t=4,故选D.【答案】D9.下列命题不正确的是().A.若f(x)是连续的奇函数,则-aa f(x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数,则-aa f(x)dx=20a f(x)dxC.若f(x)在a,b上连续且恒为正,则ab f(x)dx>0D.若f(x)在a,b)上连续且ab f(x)dx>0,则f(x)在a,b)上恒为正【解析】本题考查定积分的几何意义,对于A:因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确.对于B:因为f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,故两边图象都在x轴上方或下方且面积相等,故B正确.C显然正确.D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.【答案】D10.如图所示,已知0b f(x)dx=11,0b g(x)dx=9,0ag(x)-f(x)dx=5,则图中阴影部分的面积为.【解析】由定积分的定义知阴影部分的面积为ab f(x)-g(x)dx=0b f(x)-g(x)dx+0a g(x)-f(x)dx=0b f(x)dx-0b g(x)dx+0a g(x)-f(x)dx=11-9+5=7.【答案】711.直线x=0,x=2,y=0与曲线y=16-x2围成一个曲边梯形.若将区间0,2等分成5份,试估计该图形的面积,并写出估计值的误差;要使该误差小于0.04,则至少要将区间分成多少等份?【解析】将区间0,2等分成5份,则过剩估计值为S=(16-02+16-0.42+16-0.82+16-1.22+16-1.62)0.4=30.08,不足估计值为s=(16-0.42+16-0.82+16-1.22+16-1.62+16-22)0.4=28.48.所以该图形的面积介于28.48与30.08之间.又S-s=1.6,所以无论是用S还是用s来表示曲边梯形的面积,误差都不会超过1.6.设区间0,2等分成n份,仿照上面的方法知,(16-02)-(16-22)2n0.04,得n200,即至少要将区间分成200等份,才能使估计值的误差小于0.04.
