积分变换第二章课件4.ppt
一、卷积的概念一、卷积的概念三、小结三、小结二、卷积定理二、卷积定理第第3 3页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第3 3页页若已知函数若已知函数 则积分则积分12( )()dfft 称为函数称为函数 与与 的卷积的卷积, ,记为记为一、卷积的概念一、卷积的概念1. .卷积的定义卷积的定义12( ),( ),ftft1()f t2( )ft即即 12( )( )f tft1212( )( )( )()df tf tff t 第第4 4页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第4 4页页如果如果 与与 都满足条件都满足条件: :当当 时时1( )f t2( )ft12( )( )0,f tft0t 则则12120( )()d( )()dttff tff t 120( )()dtff t 一、卷积的概念一、卷积的概念01212( )( )( )()df tf tff t 第第5 5页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第5 5页页12211( )( )( )( )f tf tf tf t ）2. .卷积的运算性质卷积的运算性质1232( )( )( )f tftft）即卷积满足交换律即卷积满足交换律. .即卷积满足结合律即卷积满足结合律. .123( )( )( )f tftft 第第6 6页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第6 6页页12313233( )( )( )( )( )( )( )f tftftf tftftft ） 即卷积满足分配律即卷积满足分配律. .1212( )( )( )( )f tf tf tf t 对卷积对卷积, ,有下面的不等式成立：有下面的不等式成立：即函数卷积的绝对值不大于函数绝对值的卷积即函数卷积的绝对值不大于函数绝对值的卷积. .2. .卷积的运算性质卷积的运算性质4） 第第7 7页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第7 7页页求求按卷积的定义卷积的定义, ,有有12( )( )sinfttftt 和和的卷积的卷积.分部积分一次分部积分一次, ,可得可得即即求求sin .tt 0sinsin()dtttt 第第8 8页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第8 8页页00cos()cos()dtttt sintt 0sinsin()dtttt 第第9 9页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第9 9页页二、卷积定理二、卷积定理 若若 满足满足LaplaceLaplace变换存在定变换存在定 理中的条件理中的条件, ,且且12( ),( )ftft 1122 ( )( ) , ( )( ) ,f tF sf tF s LL则则1212-11212( )( )( )( )( )( )( )( )f tf tF sF sF sF sf tf t L L 证明:12( )( )f tft 易知易知 满足满足LaplaceLaplace变换变换存在定理中的条件存在定理中的条件, ,则则 第第1010页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1010页页1200( )()dedtstfftt 120( )( )edstf tftt 积分区域见左图积分区域见左图. .由于二重积分绝由于二重积分绝对可积对可积, ,可以交可以交换积分次序换积分次序. .二二、卷积定理卷积定理12( )( )f tftL 第第1111页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1111页页令令 则则120( )()eddstfftt ,tu 2()edstftt ()20( )eds ufuu 2e( )sF s 二二、卷积定理卷积定理12( )( )f tftL 第第1212页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1212页页210( )( )edsF sf 因此因此12( )( )F sF s 性质表明两个函数卷积的性质表明两个函数卷积的LaplaceLaplace变换变换等于这两个函数等于这两个函数LaplaceLaplace变换的乘积变换的乘积. .二二、卷积定理卷积定理12120( )( )( )e( )dsf tf tfF s L 第第1313页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1313页页若若 满足满足LaplaceLaplace变换存在定理中的条件变换存在定理中的条件, , 且且推论推论: :则有则有 kft 1 2kkftFskn ， ， ，L 二二、卷积定理卷积定理12( )( )( )nf tftftL 12( )( )( )nF sF sF s 第第1414页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1414页页若若因为因为 221,1Fsss 求求 .f t 222211111F sssss 122211,1FsFsss 12,sinftt ftt令令则则 12sinsinf tftfttttt 第第1515页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1515页页因为因为 2221sF ss 若若 222,1sFss 求求 .f t2211ssss 所以所以 122coscos11ssftttss L 第第1616页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1616页页 0coscosd dtt 01coscos 22ttt d d 1cossin2ttt 第第1717页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1717页页 221,413f tss L若若因为因为求求 .f t根据位移性质根据位移性质 222221141323ftsss 222213392323ss 12223sin 323tftts e eL第第1818页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1818页页所以所以 2201sin 3sin 39ttt e ee ed d 201sin 3sin 39tt e ed d 2011cos 63cos 392ttt e ed d 221sin 3sin 39ttfttt e ee e 第第1919页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第1919页页 211sin 63cos 31860ttt e e 21sin 33 cos 354ttt e e第第2020页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出第第2020页页三、小结三、小结注意与注意与FourierFourier变换类比变换类比.
