高数同济六版bai-D7_8常系数非齐次线性微分方程.ppt
目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性微分方程 第八节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、二、二、 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法目录 上页 下页 返回 结束 )(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 型)(e)(xPxfmx 为实数 ,)(xPm设特解为, )(e*xQyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程 , 得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .)(xfyqypy (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(e*xQymxQ (x) 为 m 次待定系数多项式目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式为xmxQxye)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*2小结小结 对方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0目录 上页 下页 返回 结束 例例2. xxyyy2e65 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xCe2xC23e原方程通解为x211Cy xCe2xC23e由初始条件得0432CC,0目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为xyxx21e41e432解得)ee423(412xxx41 143321CCC目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下两个方程的特解xmxPyqypy)i(e)( yqypy分析思路:第一步第一步将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点xmxP)i(e)(目录 上页 下页 返回 结束 第一步第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xmkxQxy)i(1e)()(次多项式为mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()( 等式两边取共轭 :xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明为方程 的特解 .xmxPyqypy)i(e)( xmxPyqypy)i(e)( 设则 有特解:目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(目录 上页 下页 返回 结束 第四步第四步 分析的特点yxRxRxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实多项式 .11yyy本质上为实函数 ,11yy目录 上页 下页 返回 结束 小小 结结:xxPxxPnlxsin)(cos)(e对非齐次方程yqypy ),(为常数qpxRxRxymmxksincose*则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.目录 上页 下页 返回 结束 例例4. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb目录 上页 下页 返回 结束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为目录 上页 下页 返回 结束 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根i,r所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根i, 04, 32, 1rrxxyyxsin3e)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求物体的运动规律. 解解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 tphxktxsindd222 当p k 时, 齐次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齐次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解为第六节例1 (P323)中, 若设物体只受弹性恢复力 f,sin的作用pthF 和铅直干扰力Oxx代入可得: 目录 上页 下页 返回 结束 当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,)(sintkAxtppkhsin22自由振动强迫振动!22将很大振幅pkh 当 p = k 时, )cossin(tkbtkatx非齐次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解为 Oxxtphxktxsindd222目录 上页 下页 返回 结束 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅tkh2这时产生共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. Oxx目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结xmxPyqypye)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkxQxye)(*则设特解为sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkxye*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xxxxf2e2cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xk2e)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xkxye*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 设sin)(cos)(xxRxxRmm目录 上页 下页 返回 结束 2. 求微分方程xyyye44 的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xxCCY221e)(2时,exAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xxCCy221e)(xe2)2(12时,e2xxBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xxCCy221e)(xxe221目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知二阶常微分方程xcybyaye 有特解, )e1 (2xxxey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxcxbaabaee)1 (e)2(e)1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xyye2 对应齐次方程通解:xxCCYee21xxxyee原方程通解为xxCCyee21xxe目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P347 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 3 ; 6习题课2 第九节
