2022年经济数学基础4 .pdf

1 / 19 微分学部分综合练习一、单项选择题1函数1lg xxy的定义域是（ D）A1xB0 xC0 xD1x且0 x2下列各函数对中，（ D）中的两个函数相等A2)()(xxf，xxg)( B11)(2xxxf，xxg)(+ 1 C2ln xy，xxgln2)( Dxxxf22cossin)(，1)(xg3设xxf1)(，则)(xff（C）Ax1 B21x C x D2x4下列函数中为奇函数的是（ C）Axxy2BxxyeeC11lnxxyDxxysin5已知1tan)(xxxf，当（A）时，)(xf为无穷小量 . A. x0 B. 1xC. x D. x6当 x时，下列变量为无穷小量的是（D）A12xx B)1ln(x C21ex Dxxsin7函数sin,0( ),0 xxf xxkx在 x = 0处连续，则 k = ( C )A-2 B-1 C1 D2 8曲线11xy在点（ 0, 1）处的切线斜率为（ A）A21 B21 C3) 1(21x D3)1(21x9曲线xysin在点(0, 0)处的切线方程为（ A）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页2 / 19 A. y = x B. y = 2xC. y = 21x D. y = -x10设yxlg2，则d y（ B）A12dxx B1dxxln10 Cln10 xxd D1dxx11下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（ B）Asinx Be x Cx 2 D3 - x 12设需求量 q 对价格 p 的函数为ppq23)(，则需求弹性为Ep=（B）App32 Bpp32 C32pp D32pp二、填空题1函数20, 105,2)(2xxxxxf的定义域是5,22函数xxxf21)5ln()(的定义域是 (-5, 2 ) 3若函数52) 1(2xxxf，则)(xf62x4设21010)(xxxf，则函数的图形关于对称Y 轴5xxxxsinlim.16已知xxxfsin1)(，当时，)(xf为无穷小量0 x7. 曲线yx在点)1,1 (处的切线斜率是(1)0.5y注意：一定要会求曲线的切线斜率和切线方程，记住点斜式直线方程000()()yyfxxx8函数yx312()的驻点是 .x=19. 需求量 q对价格p的函数为2e100)(ppq，则需求弹性为 Ep2p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页3 / 19 三、计算题（通过以下各题的计算要熟练掌握导数基本公式及复合函数求导法则！这是考试的 10分类型题）1已知yxxxcos2，求)(xy解：2cossincos( )(2)2 ln 2xxxxxxyxxx2sincos2 ln 2xxxxx2已知( )2 sinlnxf xxx，求)(xf解xxxxfxx1cos2sin2ln2)(3已知2sin2cosxyx，求)(xy解)(cos)2(2sin)(22xxxyxx2cos22ln2sin2xxxx4已知xxy53eln，求)(xy解：)5(e)(lnln3)(52xxxxyxxxx525eln35已知xycos25，求)2(y；解：因为5ln5sin2)cos2(5ln5)5(cos2cos2cos2xxxxxy所以5ln25ln52sin2)2(2cos2y6设xxyx2cose，求yd解：因为212cos23)2sin(e2xxyx所以xxxyxd23)2sin(e2d212cos7设xyx5sincose，求yd解： 因为)(coscos5)(sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin8设xxy2tan3，求yd解：因为)(2ln2)(cos1332xxxyx2ln2cos3322xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页4 / 19 所以xxxyxd)2ln2cos3(d322四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的20分类型题）1设生产某种产品x个单位时的成本函数为：xxxC625.0100)(2（万元） , 求：（ 1）当10 x时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：xxxC625.0100)(2625.0100)(xxxC，65 .0)(xxC所以，1851061025.0100)10(2C5 .1861025.010100)10(C，116105 .0)10(C（2）令025.0100)(2xxC，得20 x（20 x舍去）因为20 x是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x20时，平均成本最小 . 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为qp100010（q为需求量，p为价格）试求：（1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？解（1）成本函数C q( )= 60q+2000因为qp100010，即pq100110，所以收入函数R q( )=pq=(100110q)q=1001102qq（2）利润函数Lq()=R q( )-C q() =1001102qq-(60q+2000) = 40q-1102q-2000 且Lq()=(40q-1102q-2000)=40- 0.2q令Lq()= 0，即 40- 0.2q= 0，得q= 200，它是Lq()在其定义域内的唯一驻点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页5 / 19 所以，q= 200是利润函数L q()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大3某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？解（1）由已知201. 014)01. 014(qqqqqpR利润函数22202.0201001.042001.014qqqqqqCRL则qL04.010，令004.010qL，解出唯一驻点250q. 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2L（元）4某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365 . 0)(2qqqC（元） .为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解因为( )9800( )0.536C qC qqqq(0)q298009800( )(0.536)0.5Cqqqq令( )0C q，即 0 598002.q=0，得q1=140，q2= -140（舍去） . q1=140是 C q( ) 在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q1=140是平均成本函数 C q( ) 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为9800(140)0.514036176140C（元）5已知某厂生产q件产品的成本为C qqq()25020102（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？解因为 C q( ) =C qq( )=2502010qq， C q( )=()2502010qq=2501102q令 C q( )=0，即25011002q，得150q，q2=-50（舍去），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页6 / 19 q1=50是 C q( ) 在其定义域内的唯一驻点所以，q1=50是 C q( )的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50 件产品经济数学基础12期末复习二考核方式： 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合，成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，其中形成性考核作业成绩占考核成绩的 30% ，期末考试成绩占考核成绩的70% 课程考核成绩满分100 分，60 分以上为合格，可以获得课程学分试卷类型： 试卷类型分为单项选择题、填空题和解答题三种题型分数的百分比为：单选择题 15% ，填空题 15，解答题 70内容比例： 微积分占 58% ，线性代数占 42% 考核形式 ：期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100 分考试时间： 90 分钟复习建议：（1）重点是本复习文本中的综合练习题（与期末复习小蓝本中的综合练习题基本一样，只是删去了部分非考试重点内容，把这部分内容掌握了，考试就没有问题）（2）模拟试卷（在考试指南栏目中）（3）虽然试卷中给出了积分公式，但要在复习时通过文本中的练习题有意识的记记，要把公式中的x 念成 u，并注意幂函数有两个特例（21112,dxxCdxCxxx）当公式记，考试时才能尽快找到公式并熟练应用。积分的计算重点是凑微分和分部积分法（要记住常见凑微分类型、分部积分公式）。积分学部分考核要求第 1 章不定积分1理解原函数与不定积分概念。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页7 / 19 （1）若函数)(xF的导数等于)(xf，即)()(xfxF，则称函数)(xF是)(xf的原函数。（2）原函数的全体cxF)(（其中 c是任意常数）称为)(xf的不定积分，记为xxfd)(=cxF)(。（3）知道不定积分与导数（微分）之间的关系不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即)d)(xxf=)(xf,)d)(d(xxf=xxfd)(, cxfxxf)(d)(，cxfxf)()(d2熟练掌握不定积分的计算方法。（1）第一换元积分法（凑微分法）（2）分部积分法第 2 章定积分 1了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。若fx( )是奇函数，则有f xxaa( )d02熟练掌握定积分的计算方法。 3会求简单的无穷限积分。第 3 章积分应用熟练掌握用不定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。积分学部分综合练习一、单选题1下列等式不成立的是（） 正确答案： DA)d(edexxxB)d(cosdsinxxxCxxxdd21 D)1d(dlnxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页8 / 19 2若cxxfx2ed)(，则)(xf=（）. 正确答案： DA.2ex B.2e21xC.2e41xD.2e41x注意：主要考察原函数和二阶导数3下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）正确答案： CAxxc1)dos(2Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd124. 若cxxfxx11ede)(，则 f (x) =（）正确答案： CAx1B-x1C21xD-21x5. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( )正确答案： BA)(d)(xFxxfxaB)()(d)(aFxFxxfxaC)()(d)(afbfxxFbaD)()(d)(aFbFxxfba6下列定积分中积分值为0 的是（） 正确答案： AAxxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd)cos(3Dxxxd )sin(27下列定积分计算正确的是（）正确答案： DA2d211xxB15d161xC0dsin22xxD0dsinxx8下列无穷积分中收敛的是（）正确答案： CA1dlnxx B0dexx C12d1xxD13d1xx9无穷限积分13d1xx=（） 正确答案： C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页9 / 19 A0 B21 C21 D. 二、填空题1xxded2 应该填写：xxde2注意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，一定要注意是先积分后求导（微分）还是先求导（微分）后积分。2函数xxf2sin)(的原函数是 应该填写： -21cos2x + c3若)(xf存在且连续，则 )(dxf 应该填写：)(xf注意：本题是先微分再积分最后在求导。4若cxxxf2) 1(d)(，则)(xf.应该填写：)1(2 x5若cxFxxf)(d)(，则xfxx)de(e=.应该填写：cFx)e(注意：() ()(),xxfdFCe dxde凑微分6e12dx)1ln(ddxx. 应该填写： 0 注意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0 7积分1122d)1(xxx 应该填写： 0 注意：奇函数在对称区间的定积分为0 8无穷积分02d) 1(1xx是 应该填写：收敛的201110(1)1dxxx因为三、计算题（ 以下的计算题要熟练掌握！这是考试的10 分类型题）1xxxd242解：xxxd242=(2)dxx=2122xxc2计算xxxd1sin2解：cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin23计算xxxd2解：cxxxxxx22ln2)(d22d2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页10 / 19 4计算xxxdsin解：cxxxxxxxxxxsincosdcoscosdsin5计算xxxd1)ln(解：xxxd1)ln(=xxxxxd1)(21ln1)(2122 =cxxxxx4)ln2(21226计算xxxde2121解：xxxde2121=21211211eee)1(dexxx72e11d1lnxxx解：xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=) 13( 28xxxd2cos20解：xxxd2cos20=202sin21xx-xxd2sin2120 =202cos41x=219xxd)1ln(1e0解：xxxxxxxd1)1ln(d )1ln(1e01e01e0=xxd)111(1e1e0=1e0)1ln(1exxeln=1 注意：熟练解答以上各题要注意以下两点（1）常见凑微分类型一定要记住2211111(),2,21ln,sincos ,cossinxxdxd kxCxdxdxe dxdedxddxdxkxxxdxdxxdxdxxdxdxx（2）分部积分：bbbaaabuvdxudvuvvdua，常考的有三种类型要清楚。四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的 20分类型题 ）1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(xC=2x + 40(万元/百台).试求产量由 4百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 .解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为64d)402(xxC=642)40(xx= 100（万元）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页11 / 19 又xcxxCxCx00d)()(=xxx36402 =xx3640令0361)(2xxC， 解得6x. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值。所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小.2已知某产品的边际成本C(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？解：因为边际利润)()()(xCxRxL=12- 0.02x 2 = 10-0.02x令)(xL= 0，得 x = 500；x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，当产量为 500件时，利润最大 . 当产量由 500件增加至 550件时，利润改变量为5505002550500)01. 010(d)02.010(xxxxL =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少 25元. 3生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R(x)=100- 2x（万元 /百台），其中 x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：L(x) =R(x) -C(x) = (100 2x) 8x =100 10 x令L(x)=0, 得 x = 10（百台）；又 x = 10是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 x = 10是 L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大 .又 xxxxLLd)10100(d)(1210121020)5100(12102xx即从利润最大时的产量再生产2 百台，利润将减少20 万元.4已知某产品的边际成本为34)(qqC(万元/百台)，q为产量 (百台)，固定成本为 18(万元)，求最低平均成本 . 解：因为总成本函数为qqqCd)34()(=cqq322当q= 0时，C(0)= 18，得 c =18；即C(q)=18322qq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页12 / 19 又平均成本函数为qqqqCqA1832)()(令0182)(2qqA， 解得q= 3(百台) ， 该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当 q = 3时，平均成本最低 . 最底平均成本为9318332)3(A(万元/百台) 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)(万元)，其中 x为产量，单位：百吨销售 x吨时的边际收入为xxR215)(（万元 /百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为1)(xC，边际利润)()()(xCxRxL = 14 2x令0)(xL，得 x= 7 ；由该题实际意义可知， x= 7为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点 . 因此，当产量为 7 百吨时利润最大 .(2) 当产量由 7百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL= - 1（万元）即利润将减少 1万元.一、单项选择题1设 A 为23矩阵，B 为32矩阵，则下列运算中（）可以进行 .正确答案： A AAB BABT CA+B DBAT2设BA,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）正确答案： B A. TTT)(BAABB.TTT)(ABABC.1T11T)()(BAABD.T111T)()(BAAB注意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住3以下结论或等式正确的是（）正确答案： C A若BA,均为零矩阵，则有BAB若ACAB，且OA，则CBC对角矩阵是对称矩阵 D若OBOA,，则OAB4设 A是可逆矩阵，且AABI ，则A1（）. 正确答案： C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页13 / 19 A. BB. 1BC. IB D. ()IAB1注意：因为 A(I+B)=I, 所以A1I+B5设)21(A，)31(B， I 是单位矩阵，则IBAT（）正确答案： D A6231 B6321 C5322 D52326设314231003021A，则 r(A) =（） 正确答案： C A4 B3C2D1 7设线性方程组bAX的增广矩阵通过初等行变换化为00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）正确答案： A A1B2C3D48线性方程组012121xxxx解的情况是（）正确答案： A A. 无解B. 只有 0 解C. 有唯一解D. 有无穷多解9设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（）正确答案： D AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(10. 设线性方程组bAX有唯一解，则相应的齐次方程组OAX（） A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定正确答案： C二、填空题1若矩阵 A = 21，B = 132，则 ATB=应该填写：2641322设BA,均为 n阶矩阵，则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是 .应该填写：BA,是可交换矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页14 / 19 3设13230201aA，当 a时， A是对称矩阵 . 应该填写： 0 4设BA,均为 n阶矩阵，且)(BI可逆，则矩阵XBXA的解 X=应该填写：ABI1)(5若线性方程组002121xxxx有非零解，则应该填写： - 16设齐次线性方程组01nnmXA，且秩 (A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 应该填写： n r7齐次线性方程组0AX的系数矩阵为000020103211A则此方程组的一般解为. 应该填写：4243122xxxxx(其中43, xx是自由未知量 ) 三、计算题 （以下的各题要熟练掌握！这是考试的 15 分类型题 ）1设矩阵 A =012411210，求逆矩阵1A解： 因为(AI )=012 100114 010114010114 010012 100012100210 001038 021002 321114010110642100221012100010421010421001310013100131111222222所以 A-1=21123124112注意：本题也可改成如下的形式考：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页15 / 19 例如 ：解矩阵方程 AX=B, 其中012411210A，101B，答案：1131XA B又如：已知012411210A，101B，求1A B2设矩阵 A =121511311，求逆矩阵1)(AI解： 因为100113013010115105001121120IA，且1105200013100105011000210105010013101121000013100105011121003350105610001所以1123355610)(1AI3设矩阵 A =022011，B =210321，计算 (BA)-1解： 因为 BA=210321022011=2435 (BAI )=1024111110240135542011112521023101所以(BA)-1=2522314设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页16 / 19 解：因为105301211310012113102501， 即132553211所以 X =153213221=13253221= 11015求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解解： 因为111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x ，4x 是自由未知量） 6求线性方程组126142323252321321321xxxxxxxxx的一般解25231213121312130949094921461201881800001213101/ 91014/ 91014/9100000000A解：所以一般解为1941913231xxxx（其中3x 是自由未知量） 7设齐次线性方程组0830352023321321321xxxxxxxxx，问 取何值时方程组有非零解，并求一般解.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页17 / 19 解： 因为系数矩阵 A =61011023183352231500110101所以当 = 5 时，方程组有非零解 . 且一般解为3231xxxx（其中3x 是自由未知量）8当取何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解？并求一般解 .解： 因为增广矩阵111111111111111121410510162016210512140162000A所以当=0 时，线性方程组有无穷多解111111111051016201620162000000000000且一般解为26153231xxxx(x3是自由未知量注意：方程组如有未知参数，最好先把互换到最下行这类题也有如下的考法：当为何值时，线性方程组1234123412342124274112xxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。13423434416555132337555(,xxxxxxxx答案：（）时有解，（）一般解为其中是自由未知量）9ba,为何值时，方程组baxxxxxxxxx3213213213221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页18 / 19 有唯一解，无穷多解，无解？1111111111111122021102111304110033Aababab解当3a且3b时，方程组无解；当3a，bR时方程组有唯一解；当3a且3b时，方程组有无穷多解。一、单项选择题1下列各函数对中，（Dxxxf22cossin)(，1)(xg）中的两个函数相等2当x时，下列变量为无穷小量的是（A xxsin）3若cxxfxx11ede)(，则 f (x) =（C21x）4设 A 是可逆矩阵，且A+AB=I ，则 A1（C.I+B ）.5设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（BnArAr)()(）二、 填空题6已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中 p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) =45q 0.25q 27曲线yx在点) 1, 1(处的切线斜率是218xxxd)1ln(dde1209设 A 为 n阶可逆矩阵，则r(A)=n 10设线性方程组bAX，且010023106111tA，则 t1时，方程组有唯一解三、微积分计算题11设xyx5sincose，求yd解：因为)(coscos5)(sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin12计算积分e1dlnxxx解：e12e12e1)d(ln21ln2dlnxxxxxxx414ed212e2e12xx四、代数计算题13设矩阵 A =021201，B =142136，计算 (AB)-1解：因为 AB =021201142136=1412(ABI ) =1210011210140112121021210112101102所以 (AB)-1=12212114求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解解：因为系数矩阵111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x，4x是自由未知量五、应用题 15设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625. 0100)(2（万元） , 求：（ 1）当10q时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q为多少时，平均成本最小？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页19 / 19 解：（ 1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：qqqC625. 0100)(2，625. 0100)(qqqC，65 .0)(qqC所以，1851061025. 0100)10(2C，5.1861025.010100)10(C，116105.0)10(C（2）令025.0100)(2qqC，得20q（20q舍去）因为20q是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x20 时，平均成本最小 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页