2022年经济数学基础导数与微分笔记整理 .pdf

1 / 13 经济数学基础（上）数学笔记整理第二章 导数与微分（ P49）目录一、 导数的符号要清楚1二、 导数的几何意义1三、 可导与连续的关系1四、 导数的基本公式与练习题1五、切线方程问题4六、 复合函数的求导5七、 隐函数的导数9八、 高阶导数 10九、 微分 11十、可微、可导和连续、极限的关系12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页1 / 13 一、导数的符号要清楚（P51， 52都有），最简单的就是二、导数的几何意义（P55）函数 y=f （x）在点处的导数就是曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率，k=，切线的方程为y三、可导与连续的关系（P56， 2.1.5）定理 2.1 和注意可导连续（充分条件）y=f（x）的图像在点处出尖，则f（x）在处不可导。例：y=，图像如下 ,此时，当 x=0 时，图像出尖，不可导。四、导数的基本公式与练习题（P6566，2.2.6 的 1.， 2.，3.，）就记书上的前8 个就行了，其他的不用记再多记 2 个：【练习 1：求导】解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。【注意 ln7 为常数，常数的导数为0 哦！】= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页2 / 13 解决此题有2 种方法，方法一是直接求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简单就怎么来。一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。方法一：直接求。要用到乘积的导数。（先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简单了。） =2（）+ =10 =30方法二：先打开，再求导。=5=10【练习 2：求导】解：【注意： ln6 为常数，导数也为0哦！】解：解：解：很容易能看出来，此题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。解：=（）=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页3 / 13 这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。商的导数会背吗？要用了。注意所有公式都必须要会背哦！=【书上的题P75，3，4】P75, 3.求导（2）这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。但是为了简单，我们的习惯就是先打开，再求导。=2（4）此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。如果这两个公式知道的话，就直接求导。若不知道，就要化成指数的形式。方法一：直接求导。解：+=+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页4 / 13 方法二：解：=2= 【写成这样就行了，不用再化成根号了】（8）这题化简也不容易，直接来商的导数吧！解：=P75，4.求导（3）解：=【怎么样，这些导数还算简单？】五、切线方程问题从导数的几何意义可知，表示曲线y=f （x）在点（）处切线的斜率。所以求切线方程就得先求斜率，再运用点斜式，方程就求出来了。例 1：求曲线y=在点（ 3,9）处的切线方程解：k=方程为，即例 2：求 y=lnx 在 x=1 处的切线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页5 / 13 写方程得知道斜率和一个点。而这题没给点，则需要先把该点找出来。题目中给了该点的横坐标，纵坐标很好找的嘛！解： y（1）=0 切点为（ 1,0）k=方程为六、复合函数的求导（P58，2.2.2）学会了上边的基本的求导，接下来就要学习更难一点的复合函数的求导了。而且，你还别着急，导数这章可是咱们期中考试的重点呐，怎么着也得会点吧？【求导的方法：】分解复合函数（第一章已经讲过了，不会的去看第一章吧）分别求导将导数相乘把中间变量（ u、v、s、t）代回来下面有2 道例题，每道题都分为“初级、中级、高级”，哈哈，请对号入座你目前处于什么级别自己心里清楚，能把题做对就可以了嘛。例 1：求导：初级 ：按照上边的方法一步一步来的说解： 分解：分别求导：将导数相乘 : 把中间变量（u、 v）代回来：【如果不知道余切公式，可以不用化成余切】中级 ：省掉了分解函数的步骤，一步一步的求导解：=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页6 / 13 =高级 ：你懂的=例 2：你应该知道，初级 ：一切从分解复合函数开始解： 分解：分别求导：将导数相乘 :把中间变量（u、v）代回来：=sin2【如果不会二倍角公式，这步可以不写】=sin中级 ：解：=sin2=sin高级 ：解：=sin2=sin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页7 / 13 复合函数的导数学会了没？现在自己来做几道吧！下边的解题步骤有点高手级别了，不过基本上都是用公式做的，你应该能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦，先把公式背会吧。考试时可是闭卷哦。【书上的题， P76，7（3）（ 21）（ 6）（ 12）（ 20）（ 22）。前2 道是课堂练习，后4 道为作业题】P76，7.求导（3）解： =2 = =（21）哦，天呐，最难打的一个公式了，好小的格哦看看是有多复杂的题吧。呵呵，看的懂吗？解：=下边 4 道题，凡是抄过我作业的同学，你们写的过程都至少有4、5 步，看不懂下边过程的，看作业上的去。如果还不会的话，问我。（6）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页8 / 13 解： =（12）解： =（20）解： =（22）解： =【练习：求导数（复合函数）】解：20现在都应该知道了吧，不解释。解：解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页9 / 13 解： =解： =解： =解： =七、隐函数的导数（P62）隐函数求导的方法：（书上有P62）直接来例题试试看：例 1：已知方程确定了函数。解：，例 2：已知方程确定了。解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页10 / 13 例 3：已知方程确定了函数。解：例 4：已知方程确定了函数。解：八、高阶导数（P66）一阶导数：二阶导数：三阶导数：二阶导数及二阶以上的导数，都叫高阶导数。n 阶导数：例 1：【】例 2：解： =精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页11 / 13 九、微分（P68）1.y=f（x）在点 x 处，将 dy 记作 y 的微分。dx 记作 x 的微分，是一个必须要带着的符号。如何判断方程的左边与右边呢？有dx 的就是方程的右边。2.求微分：求导，后边再加上dx 就可以了。如下：解：解：解：3.左边（微分）右边（积分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页12 / 13 十、可微、可导和连续、极限的关系可微可导连续有极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页