高中数学“三角函数概念图象与性质”教学研究报告 .docx

精品名师归纳总结专题讲座高中数学“三角函数的概念、图象与性质”教案争论谷丹 北京四中一、整体把握“三角函数的概念、图象与性质”的教案内容<一）教案内容的学问框架<二）教案内容的结构与作用由上述学问框架可知：我们将以“任意角与弧度制”、“任意角的三角函数”、“三角函数的图象与性质”为基本学问结构绽开各重点内容的学习。三角函数作为高中学习的其次类基本初等函数，必定将充分表达其作为“函数”而言的一般性与特殊性。 三角函数也是学习其他数学学问与方法<如三角变换、向量、解读几何、高等数学等等）的重要基础内容，在诸多其他学科与实际生活中亦有相当广泛的应用。<三）教案内容的重点、难点分析从教案内容来看，主要的重点是：任意角与弧度制的概念、任意角的三角函数概念和三角函数的图象与性质、其重要程度，从前至后，逐个递增：任意角与弧度制的概念，是任意角的三角函数的基础。两者皆为引出三角函数的图像与性质服务。而环绕三角函数图象与性质绽开的教案内容<如：三角函数的周期性、三角函数图象、五点法作图、函数图象的伸缩变换、正弦型函数图象等等），几乎无一例外，都兼有应用广泛的学问性和可推广的方法性或思想性，同时，对同学而言，通过对三角函数的图象与性质的学习，也将使他们对前期学习的三角内容乃至函数内容有更为深化与全面的懂得与把握。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在学习过程中的主要的教案难点是：1. 直角坐标系中的任意角：“终边相同的角”与直角坐标系中角的终边所在的射线是数与形“多对一”的关系，但同学往往由于中学常用角概念的负迁移作用，对此对应关系懂得不深、使用不准。教案中，应引导、帮忙同学自觉克服思维定式，精确懂得与应用“新”概念。2. 弧度制的概念：同学往往会由于对在三角函数的争论中引入弧度制的必要性熟识不够明晰，在学习初期，尽量使用自己比较熟识的角度制而回避弧度制，在学习后期，就仅仅限于“记住”一些常用角的表示，却完全遗忘了弧度制的概念。在教案中，老师可依据同学的学业水平，设计适当的教案过程，使同学懂得引入弧度制的必要性，早用、多用弧度制，切实落实常用特殊角角度制与弧度制的互化。3. 三角函数线之正切线：一般来说，同学比较简洁懂得与把握正弦线与余弦线，但懂得与把握正切线有肯定的难度。 而突破这一难点的关键在于帮忙同学充分懂得“有向线段的数量”及相关概念。4 诱导公式：因公式繁多，同学往往视对其的记忆为畏途，在使用时亦易混用或乱用。教案中应留意帮忙同学发觉并落实精确记忆诱导公式的方法。5 函数的周期性：“函数的周期性”的表述结构比较复杂，给同学精确、深化的懂得概念带来不小的困难。但由于“周期性”的图象特点明显且易把握，所以，只要适当把握与“周期性”有关问题的难度，就对概念懂得把握不够深化透彻也不会过于影响同学对后继课程的学习。6 函数图象的伸缩变换：对同学而言，“伸缩变换”本身，不是很难懂得，但当“伸缩变换”与其他变换相结合构成复合变换时，就易暴露出同学对“伸缩变换”的懂得不精确、不到位。教案中，可强化函数图象复合变换的一般方法的教案，来帮忙同学克服这一学习难点。二、“三角函数的概念、图象与性质”的教案策略<一）关注“任意角”承上启下的功能我们可以从下述几个方面来看“任意角”的承上启下功能。1. 初、高中角的两种常用概念的异同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中学高中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面内具有公共顶点的两条射线概念形成的图形。平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图形静态动态角度值算数量代数量取值范畴R由上面的对比可见，高中阶段角的概念是中学阶段常用角的概念自然的推广。高中阶段角的概念与中学阶段相比，角的形成过程由静态到动态、角的范畴由有限扩展至全体实数，这是后一阶段学习任意角三角函数与三角函数图象的基础。在教案过程中，因特殊留意引导同学关注初、高中角的概念的不同，防止中学学习内容的负迁移。2. 任意角的表示任意角的几何或代数表示，进展性的应用了前期学习的一些学问和方法。对这部分学习内容的精确懂得，将有助于同学更为精确、深化的把握后继的学习内容。< 1）坐标系内任意角的图形表示：直角坐标系这一数形结合的工具，在中学和高中函数等内容的学习过程中，同学已经多有运用，但前期学习过程中，通常都是“一对一”的一组坐标对应一个点，一个函数解读式对应一个图象等等。坐标系内任意角的图形表示，就是“多对一”“多”组数对应“一”条终边。在教案中，我们可以通过多媒体演示或制作一些小课件模型来帮忙同学明白与体会“任意角”所在的直角坐标系平面，是无限多“层”相联相“叠合”而成的，每一个详细的角度值，都将唯独的对应着某一“层”中的一条终边。< 2）任意角的集合表示：我们可以用集合的形式来表示终边相同的角，如：，结合以前学过的集合确定性、无序性、互异性的学问，可以更好的明白集合A 各种等价的表达形式 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们也常常用许多个集合的并集来表示终边落在直角坐标系中某一区域内的角。如，终边在其次象限的角，可以表示为，强调这是一种“并集”的表达形式，往往可以帮忙同学更好的把握终边在某个区域内的角数与形“多对一”的含义，也更有利于在今后的学习过程中更精确的处理单调区间、解三角方程或<简洁的）不等式等相关问题。<二）适度解读弧度制的意义在学习了角度制以后，为什么仍要引进弧度制？一种常见的“理由”是认为角度制为六十进制，弧度制是十进制的实数，这样的说明，不甚妥当，由于我们很简洁以度<）为单位，将任何一个角度值用十进制表示，如：。事实上，引进弧度制的根本缘由，是角度制所表示的角度值，是一个带量纲的数量，而弧度制表示的角度值就不带量纲，如：在弧度制中，的意义特别明确，但在角度制中“”明显是一个错误的表示方式，必需表达为“”或“”等等 。数学，更为关怀数量之间的关系，不甚关怀运算过程中量纲的变化 。 特殊的，有不少变量关系，常常会通过角度值或角度值与三角函数值之间的运算来表达 <如圆的渐开线， 阿基 M德螺线等等），因此，以无量纲的量来表示角的大小就成为必定的要求 。 但是， 同学由于学问和实际体验有限，有许多能表达这种必要性的详细事例，不便利也不必要向同学介绍，因此，可以尽可能利用同学已有的数学学习体会来向同学说明引进无量纲的弧度制来度量角的大小的必要性 。这里介绍一个引入弧度制的教案案例：老师请同学们快速翻阅一下“三角函数”这一章的内容，并提示：我们最终将以角度为自变量 x 、因变量为三角函数y ，如，画出三角函数在直角坐标系内的图象 。那么， x 轴与 y 轴上的单位长度的比值如何选定是比较合理的？学了三角函数以后， 争论一些常见函数与三角函数构成的组合函数也是必要的，那么，假如我们要作、的图象，怎么办了？通过老师的引导与同学的争论，使同学熟识到，三角函数值是无量纲值，假如我们能用无量纲值来表示角度值，上述问题就比较简洁解决了。通过回忆直角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角形中正弦函数的定义方法，观看以为圆心角的扇形中，如何能类比正弦值的表示方法来得到角的<无量纲）表示方法：进而引导同学明白弧度制的概念：。<三）有效发挥单位圆的作用新课程标准中关于“单位圆”的教案建议时说：“单位圆可以帮忙同学直观的熟识任意角、任意角的三角函数，懂得三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图象和基本性质。借助单位圆的直观，老师可以引导同学自主的探究三角函数的有关性质，培育他们分析问题和解决问题的才能。”由此可以看到，“单位圆”作为重要的数形结合工具，在帮忙同学懂得、把握学问、提高才能方面，都可以发挥有效的作用。我们可以由“函数及性质”的争论为主线，来熟识、把握与发挥“单位圆”在教案过程中的主要作用。1. 任意角的三角函数定义：定义域、解读式与值域是争论函数的三个基本要素。将三角函数定义与单位圆相结合，明显使得这些问题的争论变得更为直观与简捷。2. 三角函数性质： 单位圆与三角函数线使得对三角函数的单调性、奇偶性、周期性的争论变得直观且简洁。3. 三角函数图象： 由于借助三角函数线我们已经对三角函数的基本性质有了初步的熟识，在利用“单位圆”描点作图时，“点”的选取、“图”的性质也就比较简洁确定了。4. 诱导公式： 从函数的角度看，“诱导公式”即不同自变量的函数值之间的关系。“诱导公式”的教案过程，我们可以设计为两个角的终边具有关于坐标轴对称、关于原点对称和相互垂直关系时，利用单位圆，获得三角函数值间的关系的过程。也可以设计为利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用“单位圆”这一数形结合的工具，寻求最简洁三角函数方程解的结果的过程。 无论是前一种由“形”到“数”的过程，仍是后一种由“数”到“形”的过程，都可以在帮忙学生在学习过程中提高数形结合与自主探究的才能，也会有利于同学懂得与记忆诱导公式。当然，当我们借助单位圆这一数形结合的有效工具得到三角函数图象以后，上面所排列的学问，几乎都可以从三角函数图象上表达出来，所以，单位圆在教案过程，不仅应当考虑“有成效”，也应与后继课程的教案统筹考虑，防止过于拖沓、重复，力求“有效 率”。<四）突出“同角三角函数关系”中数学思想方法的应用同角三角函数关系，同学已经在中学的直角三角形学习中有所接触，学习过程中所遇到的求值、化简、证明等问题，与后面将要学习的三角变换相比，难度也不太大，但所涉及的方法，却有许多是类同的。因此，我们在教案过程中，应当留意引导同学关注初高中争论同类方法时的异同，防止中学学问的负迁移，也应留意突出数学思想方法的应用，为后继课程的学习做好铺垫。我们可以从以下几个方面留意突出数学思想方法的应用：1程序化的摸索在一些求值或化简过程中，同学往往会由于忽视了任意角的取值范畴而显现错误，我们可以将这类问题的解决过程分解为两步程序：< 1）确定“确定值”，< 2）确定“符号”。如：已知，求。解题过程可以分解为：< 1）确定。< 2）据 x 所在象限或半轴，确定、的符号，得出正确结果。2 转化或化归的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在求值与证明问题时，我们常常会用“化弦”的方法解决问题，在遇到, 齐次问题时，我们常常可将齐次关系转化为关于的一元关系，这样的转化，即是消元思想的应用。在处理证明问题时，我们可以用比较法，这本质上是将变形问题转化为更为简洁的化简问题。3 方程思想同角三角函数关系，可以视为是关于、这三个变元的两个方程，所以，知其一，必可求余二。在教案过程中，不断明确指出这些思想方法的作用，既可以帮忙同学较好的完成当下的学习任务，也会对同学更好的懂得与把握这些方法有帮忙，进一步提高同学应用这些思想方法的自觉性。4 综合应用的一个例子例 < 08重庆 10>函数> 的值域是 < B ）。< A）-< B< C）-1, 0-< D）-分析： 明显，当时，可排除 A选项。于是问题转化为分母应与比大小，由可知应选 B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在此题中，同角三角函数关系起到了至关重要的作用，此公式中，“常数”与三角函数的平方项实现相互替换，是解决三角函数问题比较常用的方法之一 。 一般来说，挑选有关三角函数的综合性试卷时，应留意：题面可以比较新奇、解题过程综合性可以比较强，但解决问题的思路、策略，应当能表达基本的数学思想方法，有利于提高同学敏捷使用基本学问方法的才能。<五）全面把握正弦函数作为“函数”的一般性与特殊性三角函数作为一种应用广泛的“函数”而言，既具有函数的“通性”，亦具有<与以前同学接触过的函数相比）自身的“特性”。我们可以用以下表格来表示在对三角函数的探究与应用时，我们在对函数的探究、应用中通常都会关怀的主要问题，即所谓“一般性”，与对三角函数特殊关怀的问题，即“特殊性”。一般性特殊性备注可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域，解读式、值域由象限角引入的比值函数三角函数对应关系：“ <无穷）多”对“一”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数性质<单调性，奇偶性等）周期性存在性命题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用三角函数作图线作图数形结合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数图象图象性质与 x 轴交点、对称点、对称轴周期性显现 。留意：“”的应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反函数 *已知三角函数值求角 。限制定义域后， 才可有反函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结组合或复合函数“值域”与“换元法”， 函数的周期 性关注基本模型，难度适可而止。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于上述表格的补充说明：1. 关于定义域、解读式、值域由象限角引入的正弦函数，使我们面临两个直角坐标系象限角所在的直角坐标系与的图象所在的直角坐标系，这两个“系”中，此x 非彼 x ，此 y 彼 y ，此“象限”也非彼“象限”，在教案之初，应明确指出期间的联系与差别，以防止同学混用 。多对一的 <函数）对应关系，同学并不是第一次接触，他们最为熟识的“多对一”函数模型，是二次函数，但二次函数之“多”，最多为两个，与正弦函数之“无穷多”仍是 不能同日而语。 所以，在最初老师做正弦函数图象时，要多画几个周期，以帮忙同学较好的建立“无穷多对一”的直观形象记忆。正弦函数的值域为有限区间，我们在处理与值域有关的问题时，要留意引导同学与以前常见的值域有限制的函数<如：反比例函数、<定义域为有限区间的）二次函数、指数函数等等）争论同类问题时的常用方法做比较，以促进前期学习内容的正迁移。2. 关于函数性质对周期性的探究与应用，与前期学习过的单调性、奇偶性有不少共同点：< 1）函数性质数学符号语言表述，皆为自变量的变化，导致因变量的变化。< 2）关注由概念而可推知的定义域的特点。< 3）函数性质都有明确、明显的图象特点。周期性与单调性、奇偶性的不同点在于周期性的概念表达，是“存在性”命题，一般来说，利用“存在性”来判定给定函数是否具有满意命题的特点时，比较困难。特殊的， 对同学将要接触的组合或复合型函数，要想利用周期性符号语言的概念来判定、证明其是否满意周期性，是否存在最小正周期，有些问题将相当困难。但是，如能通过图象变换等方法，做出待判定的函数图象，就判定函数是否存在周期性、求出函数的最小正周期往往就比较简洁。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可知，我们在“周期性”的教案过程中，多强调函数性质争论的共同性、多用数形结合作为探究与应用的工具，适度掌握应用符号语言解决问题的难度，可能是比较适当的教案策略。3. 关于函数图象由于前期学习，在单位圆背景下同学对正弦函数的图象有了初步的熟识，所以，与以往用“描点作图”的方法做出函数图象相同的是：我们会依据对定义域、函数性质的分析选点作图。比较特殊的是我们可以利用三角函数线这一数形结合的工具来实现选点、描 点、连线等步骤。与前期学习一样，我们会关注图象的几何特点。特殊的，正弦函数的对称点、对称轴、平稳轴等图象特点，将在正弦型函数图象争论中再次起到关键作用，所以，我们可以在争论正弦函数图象性质时为后期的学习做好铺垫。4. 关于反函数 *在函数争论中，特殊是学习了指数函数和对数函数后，关注反函数的存在与否，是很自然的。特殊的，在后期利用空间向量运算立体几何中的成角问题，也可以不回避等符号的使用。但是，为了更好的突出学问方法的主线，新课标在三角函数这部分，删去了关于反三角函数、反三角函数值与已知三角函数值求角等学问方法的要求。 因此，我们可以依据同学的情形，对此部分做不同的教案要求。最低层次：由于正弦函数的对应关系为“多对一”，所以，不存在反函数。中等层次：介绍符号，指导同学利用运算器与诱导公式或正弦函数图象解决“知三角函数值求角”问题。较高层次：介绍的反函数，对此函数的图象、性质等等进行探究，也可以结合争论性学习等同学的探究活动，组织有爱好的学生，自行探究反三角函数。5. 关于组合或复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于三角函数的组合或复合函数的问题繁多，有些问题难度较大，在处理这部分问题时，可从以下几点考虑挑选问题：1. 提出问题要自然：所谓“自然”，就是可将前期学习过程中曾经遇到过的问题， 与正弦函数或其他三角函数的学问相结合，提出当下探究的新问题。2. 重点模型要落实：所谓“重点模型”，主要是指前期、当下、后继的学习过程中都可能争论的问题。3. 问题难度要适当：有些很“自然”的问题，解决起来未必很简洁，就可以“提而不做”指出争论的“难度”，勉励有爱好的同学进一步探究，但不要求全体同学皆懂得、落实解决问题的途径与方法。 如：要求同学争论函数的值域，是比较适当的问题，但要求全体同学争论该函数的单调区间，就不甚适当。再如：要求同学判定是否周期函数，是比较适当的问题，但要求全体同学把握证明其不是周期函数的方法，就不甚适当。对于余弦函数、正切函数的教案策略，我们仍旧可以与正弦函数类同，以“函数”争论作为主线绽开。同时，我们也应关注这两个基本三角函数争论与应用中与正弦函数的关 联和不尽相同的特点。 对这些“同”与“不同”之处的处理，可以进一步表达争论函数问题的一般思路和特殊的解决方法。<六）适当挑选、使用两种数形结合的工具探究正弦型函数我们通常会用两个工具来描画正弦型函数的图象，并探究其函数性质与图象性质。1. 五点法作图五点法作图，从本质上看，是用复合函数的观点结合换元法<令）来解决作图问题，于是，在数学必修一学习的关于复合函数与换元法的思想皆可在这个工具下有所表达。进一步，我们也可以利用换元法的思想来考虑函数图象的几何特点。例 < 08辽宁理 16）已知，且在区间有最小值，无最大值，就。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 令，就，于是“ 在区间有最小值，无最大值”这一条件可等价为“在区间有最小值无最大值”，就有：，：，可据此解得。 此题目也可以依据“五点法作图”大致描出的图像，再依据题目条件推理判定出条件、，最终解决问题。2. 伸缩变换图象的伸缩变换，也可以用来解决正弦型函数的作图与性质争论等问题。但是，在学习过程中，可能有两个难点：< 1）由坐标变换的观点看等参数对图象外形的影响，一般来说，可以用多媒体帮助教案等方法帮忙同学明白这些参数的作用，比较有效的利用几何直观帮忙同学记忆结论。< 2 ）伸缩变换与以前学过的其他变换 <如平移、对称等等）结合，构成复合变换时，同学比较简洁出错 。 一般来讲，可以用逐步分解、规范表达复合过程的方法来帮忙同学正确处理复合变换问题 。例 < 08全国一 <理） 8）为得到函数的图像，只需将函数的图像 < A） 。A 向左平移个长度单位B 向右平移个长度单位C 向左平移个长度单位D 向右平移个长度单位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 这类问题，可以程序化的分解为如下程序：< 1）据诱导公式化为同名函数。< 2）用平移变换的代数表达写出变换后解读式。< 3）再求出平移参数应满意的方程。< 4）最终确定正确选项。例如，例 5的解题过程为：< 1）化同名：。< 2）写变换：。< 3）列方程：据 < 1）、 < 2）可知< *）。< 4）得结论：据 < *）式与选项，知应选A 。对详细题目而言，比较规范的解题程序，不肯定是最“好”的解题方法，但由于每一步都易懂得、好操作，且皆回来最基本的数学学问方法，所以往往是比较“保险”的方 法 。3. 例说两种方法的使用与比较我们用一个例子来说明两种方法的使用与比较：例： 求的单调区间、函数图象的对称轴。由“五点法作图”的方法来看：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令，就是关于 x 的复合函数，特殊的，由于内层函数为减函数，所以，必当外层函数为递增区间时，是关于 x 的单减区间 。由于当 y 取最值的时候，函数图象上的对应点在对称轴上，所以，令，可解得图象对称轴方程。由“图象 <复合）变换”的方法来看：我们可以通过逐次变换的方法，先作图，后从图上读出结论。可以以以下方式表达作图过程中的变换：也可以以另一种次序变换作图：假如我们要求同学在做复合变换题目时，都能如上逐步写出符号表达，并逐步画出对应的变换前后图象，就有可能有效削减同学在做此类题目时显现的错误。 特殊的，这种方法，对解决各类复合变换作图问题，皆可使用。由上两种处理问题的方法可知，“五点法作图”所用的复合函数与换元法思想，比较简捷，在解决函数问题时，也更具有一般性和广泛性。三、同学学习目标的检测<一）课程标准与高考对“三角函数的概念、图象与性质”的要求课程标准对“三角函数的概念、图象与性质”的要求可分为三个层次，其中：1层次 A< 明白）： 对所列学问内容有初步的熟识，会在有关问题中进行识别与直接应用 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2层次 B< 懂得）： 对所列学问内容有理性的熟识，能够说明、举例或变形、推断，并能利用所列的学问解决简洁问题。3层次 C< 把握）： 对所列学问内容有较深刻的理性熟识，形成技能，并能利用所列学问解决有关问题。其中高一级的学问要求包含低一级的要求。我们可以从下表来看各学问内容的要求：要求层次学问内容ABC1任意角的概念与弧度制2弧度与角度互化3任意角的正弦、余弦、正切的定义4用单位圆中的三角函数线表示三角函数5诱导公式6同角三角函数基本关系7周期函数定义、三角函数的周期性8三角函数的图象与性质9正弦型函数的图象10用三角函数解决一些简洁的实际问题在高考中，对 3、 6、 7、 9等学问内容皆可能提出更高一级的要求。 7、8 、 9等学问内容也可能在综合性较强的题目中有所应用。<二）典型题目的检测分析在同学的学习过程中，我们可以选用一些典型的题目来测验同学对所学内容的把握程度 。 我们可以以随堂测试、阶段性练习、模块考试等等不同形式的笔试方法对同学进行形成性检测，主要明白教案内容中学问与技能是否为同学所把握。我们也可以通过课上提可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问或课下辅导、课后探究性作业等等方式对同学进行过程性检测，在检测中尽可能使同学暴露思维过程，同时通过有针对性的师生、生生等沟通形式帮忙老师与同学调整教与学的方式，突破学习难点，有效提高学习才能 。在形成性测试时，同类题目，我们可以依据不同的学习阶段或同学学习水平，挑选不同的问题，以便更精确的明白同学不同的认知层次。我们可以通过下面几个问题，例说题目的挑选与检测分析。例 1已知是其次象限角，< 1）图示角的终边所在区域 M 。< 2）图示角的终边所在区域 N。终边在区域 N中的角的范畴与角的取值范畴一样吗？为什么？。< 3）你能表达图示的终边所在区域的一般规律吗？ 简答：< 1）< 2）图如右示。不一样，终边在区域N 中的角的范畴为。角的取值范畴是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结< 3）匀称分布的 n 个区域 <答案不唯独）。例 1中的第 < 1）问，在形成性检测或过程性检测时皆可用，在形成性检验中，同学的常见错误是：< a）只画了第一象限的部分。 导致这样错误的可能性许多，但大多数同学的错误缘由可能是：误将“是其次象限角”与“”等价，得到的错误结论，这主要是不能很好懂得任意角与终边的“多对一”关系所致。或者先将其次象限角作出，将其所在区域或“边界”“折半”，这往往是由于数形结合方法使用不当造成的。这些错误都可以通过要求同学懂得、落实规范的解决问题程序加以矫正。即要求同学：i ）用不等式或区间形式精确表达的取值范畴，特殊应留意边界值的多对一关系。ii ）通过运算得到的取值范畴，特殊留意应对边界值中的“”亦进行相应的运算。iii ）画出的终边所在区域，特殊留意，可以结合试K的取值得到全部满意条件的区域 。< b）区域边界为实线。这些同学，基本把握明白决问题的方法，但因留意更为精确的将“不等号”中是否包涵“相等”关系与“边界”的虚实建立正确对应关系。在过程性检测时，将更为侧重同学是否会有意识的先解决角“数”的表达形式，再将转化为“形“的表达，观看同学的做题过程，我们可以比较清晰的明白，同学是否有使用数形结合方法的意识，使用过程是否精确，同学是否明白任意角 与终边的“多对一”的关系，等等。第< 2）问的第一小问难度不大，但其次小问常常会导致一些同学的困惑。这道题比较适合在过程性检验中使用，能更好的帮忙老师明白同学对任意角与终边“多对一”关系的各层含义的明白程度。第< 3）问，不仅需要同学对任意角与终边“多对一”关系有比较精确的懂得，也需要同学对“周期性”的概念有肯定的体悟，同时具备肯定的归纳才能，因此，比较适合作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为课后探究类的题目请同学依据自己的学习意愿与才能自主完成，老师可据其完成时探究的主动性与完成的质量检测同学的学业水平与学习才能。例 1中的 < 1）、 < 2）、 < 3）皆可加“写出<或等）的取值范畴”这一要求，这样可以更精确的诊断同学出错的缘由，但加这一问，有可能会降低题目的难度，所以老师可以依据测试的目标与同学的状况挑选设问方式。例 2已知函数。< 1）求的值域。< 2）当时，求的值域。简答：< 1）。< 2）。例 2第< 1）问主要检测同学是否能留意到通过令可以将函数表示为关于新元的二次函数在有限域上求值域问题，从而可以检测同学对“换元法求函数值域”和“正弦函数的值域”等学问方法的把握情形。 如：有些同学将值域错求为，这通常是由于同学没有“换元”的意识，而是仅仅将的值域简洁叠加而成。有些同学将值域错求为，这些同学基本把握了“换元法求值域”的想法，但未意识到正弦函数的值域对新变元定义域的影响。第< 2）问除兼有第 < 2）问检测的内容外，仍可以检测同学对正弦函数单调性的懂得程度。如，有些同学将值域错解为，未留意当时是非单调函数。例 2中的两问，作为过程性检测或形成性检测题目皆比较相宜。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上述两道例题，分别是在三角函数的学习过程中，“学习新知”与“新旧结合”类检测题目的示例，老师们可以依据我们教案的重点和同学学习的难点，挑选、改编、开发出更多有助于我们明白同学学习状况、帮忙我们落实教案要求、帮忙同学矫正、深化对学习内容的认知的题目。互动对话【参加人员】 谷丹：北京四中赵菁：北京四中纪荣强：北京四中【话题】1. 如何指导同学更快更准的记住三角函数部分的概念与公式？2. 单位圆与三角函数图象，哪个更重要？3. 五点法作图与伸缩变换，哪个更重要？4. 谈谈函数的周期性。5. 如何在教案过程中渗透函数思想？ 互动话题 .ppt案例评析【案例信息】案例名称：三角函数线授课老师：程国红<北京四中） 评析老师：谷丹<北京四中）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教材版本：人教版B教材必修 4【课堂实录】【案例评析】与以往的数学要求相比，新课程标准的核心理念更为强调同学为供应更为开阔的思维空间和进展空间，这就需要我们在教案中赐予同学适度的摸索时间和表现自己思维内容与思维过程的机会，而课程的设置，往往会使得老师们感到教案进度比以往“紧”了不少， 如何在详细的教案过程中克服这一冲突，是新课程实施过程中每个老师都必需仔细对待的课题。程国红老师在这节课上比较好的呈现了她对这个问题的解决方法与途径：突出表现解决数学问题的基本思想与方法，从而使得教案过程重点突出，简约流畅。在教案过程中，程国红老师有几个的方处理得很好：1 探究的途径突出、鲜明：程老师牢牢把握了利用单位圆将三角函数“简约”为“一个变量”的想法，进而顺当实现用“三角函数线”这始终观的图形工具来“统一”表达三角函数这一主线，其中“最简化”、“统一”的要求，在教案过程中被反复强调着， 而这样的理念或思想，既能表达本节课数学方法的特点，也在数学教案的全过程中占据着重要的位置，具有普适性。2 探究的过程有肯定的层次性：可以看到，在探究过程中，“引入单位圆”、“确定正弦函数线”、“确定正切函数线”这三个环节中各有各的难点，程老师在处理这些难点时也各有不同：引入单位圆，同学比较难以想到解决问题的方法，程老师更多的是通过自己的讲解，将引进“单位圆”的目的、作用清晰精确表述出来。对正弦函数线，同学可以有几何的直观感受，但可能很难表述一些诸如“有向线段”、“有向线段的数量”等等比较数学化的概念，程老师就随时补充这些概念的说法，同时将同学的留意力主要集中到关注“图形”与“数量”的对应关系上来，自然而然的突出了探究与确定“三角函数线” 的形成过程与基本方法，在这个阶段，程老师给同学供应了更为开阔一些的空间。到争论“正切函数线”时，同学就自觉或不自觉的在用探究“正弦函数线”的方法，解决新的问题，程老师只是在关键之处略加提示、点拨，而且“点拨”的重点，也仅仅是突出基本思想方法，重申“最简”与“统一”的原就而已。3 探究过程中，对同学的评判比较得当、适度：老师在课堂上对同学探究过程评判，往往直接影响到同学参加探究的热忱与质量。程国红老师比较留意挖掘与确定同学在回答疑题的过程中比较有价值的的方，适当的为同学越过障碍搭桥垫砖，使得课堂气氛活而不散，热而不乱，也保证了课堂的师生对话、沟通能顺畅的进行。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在本节课教案过程中，也有一些遗憾。比如，在最开头提出能否“用一个量来刻画正弦值”，问题本身不够明确，当一位同学按他的懂得，试图以函数思想来解决问题<尽管好像此路不通）时，程老师可能对同学的想法也不甚明白，只得先予以否定。这一师生沟通不够顺畅的片断，实际上正是反应了我们在课堂上常常会遇到的问题：如何提高一个问题的“引导性”价值，尽可能降低“误导性”或“误会性”？在与同学沟通的时候，老师由于对所教的学问方法很娴熟，很明确，所以往往会自觉不自觉的以是否接近老师所期望的答案来评判同学回答疑题的方向或价值