高中数学选修-完整知识点 .docx
精品名师归纳总结1、不等式的基本性质对称性 abba高中数学选修 4-5 学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结传递性ab,bcac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可加性 abacbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同向可加 性 a异向可减 性 ab, cdb, cdacbdacbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可积性 aab, c0b, c0acbcacbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 同向正数 可乘性 ab0, cd0acbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异向正数 可除性 ab0,0cdab cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平方法就开方法就ab0annab0abn nN ,且n1n b nN ,且n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倒数法就 ab011 ; ab011abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、几个重要不等式a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2b22ab a，bR, 当且仅当 ab 时取 "" 号 .变形公式： ab.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 基本不等式ababa， bR 2,当且仅当 ab 时取到等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变形公式：ab2ab2abab.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用基本不等式求最值时积定和最小，和定积最大，要留意满意三个条件 “一正、二定、三相等”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三个正数的算术几何平均不等式abc 33 abc a、 b、cR 当且仅当 abc 时取到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2b2c2abbcca a， bR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 abc时取到等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a3b3c33abc a0, b0, c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 abc时取到等号 .ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如ab如ab0, 就a bb a0, 就ab2 当仅当 a=b 时取等号2 当仅当 a=b 时取等号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 bbm1an aambna，其中 abb0， m0， n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：小于 1 同加就变大，大于1 同加就变小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当a0时，xax2a2xa或xa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xax2a2axa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结肯定值三角不等式a babab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、几个闻名不等式11平均不等式：2aba2abb ，（ a,bR，当且仅当 ab 时取 "" 号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ab22即调和平均几何平均算术平均平方平均 .变形公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ababa2b2;a 2b2ab2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222幂平均不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2a 2.a 21 aa.a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n12nn二维形式的三角不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2x 2y 2 xx 2 yy 2 x , y , x, yR.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112212121122二维形式的柯西不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2b2 c2d 2 acbd 2 a, b, c, dR. 当且仅当 adbc 时，等号成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三维形式的柯西不等式：2222222a1a2a3 b1b2b3 a1b1a2b2a3b3 .一般形式的柯西不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 2a 2.a 2 b 2b 2.b 2 a ba b.a b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n12n1 12 2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量形式的柯西不等式：设 ,是两个向量，就, 当且仅当是零向量，或存在实数k ，使k时，等号成立 .排序不等式排序原理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a1a2.an, b1b2.bn 为两组实数 .c1,c2,., cn是 b1, b2,., bn 的任一排列，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1bna2bn 1.anb1a1c1a2c2.ancna1b1a2b2.anbn.反序和乱序和次序和 ，当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且仅当 a1a2.an 或 b1b2.bn 时，反序和等于次序和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结琴生不等式 : 特例 : 凸函数、凹函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设定义在某区间上的函数f x, 对于定义域中任意两点x1, x2 x1x2 , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1x2 2f x1 f x2 或2f x1x2 2f x1 2f x2 . 就称 fx为凸或凹函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、不等式证明的几种常用方法常用方法有： 比较法作差，作商法 、综合法、分析法。其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法 等.常见不等式的放缩方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结舍去或加上一些项，如a1 23a1 2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结242将分子或分母放大缩小 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 11,11,2212,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2k k1k 2kk12kkkkkk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 kN * , k1) 等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kkk15、一元二次不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求一元二次不等式ax2bxc0或 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0,b 24ac0 解集的步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一化：化二次项前的系数为正数.二判：判定对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：依据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法： 穿根法 .分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿奇穿偶切 ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集 .7、分式不等式的解法：先移项通分 标准化，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0f xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g x“或 ”时同理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0f xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xg x0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa a0f xa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xaa0f xa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0f xg xgx0或f x gx 2f x0f xg xg x0f x gx2f x0g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg xf x0g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a1 时,a f xag xf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0a1时,a f xag x f xgx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：依据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a1 时,log af xlog ag xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0a1时,logaf xlog ag xf x0g x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：依据对数函数的性质转化. 11、含肯定值不等式的解法：f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义法： aaa0.a a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平方法：f xgxf 2 xg 2 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同解变形法，其同解定理有： xaaxa a0; xaxa或xa a0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xgxgxf xg x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xg xf xg x 或f xg x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：关键是去掉肯定值的符号.12、含有两个或两个以上肯定值的不等式的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规律：找零点、划区间、分段争论去肯定值、每段中取交集，最终取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解形如ax 2bxc0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类争论，分类争论的标准有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结争论 a 与 0 的大小。争论与 0 的大小。争论两根的大小.14、恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式ax2bxc0 的解集是全体实数或恒成立的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a0 时b0, c0;当 a0 时a0 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式ax2bxc0 的解集是全体实数或恒成立的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a0 时b0, c0;当 a0 时a0 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xa 恒成立f xmaxa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa 恒成立f x maxa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xa 恒成立f xmina;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa 恒成立f xmina.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判定： 法一：取点定域法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于直线AxByC0 的同一侧的全部点的坐标代入AxByC 后所得的实数的符号相同.所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以，在实际判定时，往往只需在直线某一侧任取一特别点 x0 , y0 如原点，由Ax0By0C 的正负即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可判定出AxByC0 或0 表示直线哪一侧的平面区域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即：直线定边界，分清虚实。选点定区域，常选原点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： 依据AxByC0 或0 ，观看 B 的符号与不等式开口的符号，假设同号，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AxByC0 或0 表示直线上方的区域。假设异号，就表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数zAxBy A, B 为常数的最值： 法一：角点法：假如目标函数zAxBy x、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标的最值存在，就这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值法二：画移定求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一步，在平面直角坐标系中画出可行域。其次步，作直线l0 :AxBy0 ，平移直线l 0 据可行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结域，将直线l 0 平行移动确定最优解。第三步，求出最优解 x,y) 。第四步，将最优解x, y 代入目标函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 zAxBy 即可求出最大值或最小值.其次步中 最优解的确定方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用 z 的几何意义：A zyx,B Bz为直线的纵截距 .B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 B0, 就使目标函数 zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值， 使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值。假设 B0, 就使目标函数 zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值， 使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值 .常见的目标函数的类型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“截距”型：zAxBy;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“斜率”型： zy 或 z xy b ;xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“距离”型：z x2y2 或zx2y2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z xa 2 yb2 或 zxa2 yb 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在求该 “三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义 求解，从而使问题简洁化.可编辑资料 - - - 欢迎下载
