高考数学一轮复习第十四章推理与证明数学归纳法对点训练理 .docx

精品名师归纳总结2022 高考数学一轮复习 第十四章 推理与证明 14.3数学归纳法对点训练 理n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11已知数列 an 的各项均为正数,bn n 1 nan n N , e 为自然对数的底数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1 求函数 f x 1 xex 的单调区间,并比较1 1n与 e 的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2b1a2运算 ,1b1b2 a1a ,b1b2b33a1a2a ,由此估计运算1b1b2 bnna1a2 a 的公式,并给出证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 令 cn a1a2 ann,数列 an , cn 的前 n 项和分别记为 Sn ,Tn,证明： Tn<eSn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x解1 f x 的定义域为 , , f x 1 e .当 f x>0 ,即 x<0 时, f x 单调递增。当 f x<0 ,即 x>0 时, f x 单调递减x故 f x 的单调递增区间为 , 0 ,单调递减区间为0 , 当 x>0 时, f x< f 0 0,即 1 x<e .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11令 x111,即 1<e. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n ,得<en可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnb11 1b1b2b1b21 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21· 1a111 1 2。a1a2a1·a22·2 1 22 1 3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1b2b3b1b2b321 333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2a3·a1a2a33 ·3 1 3 3 1 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此估计：b1b2 bnnan1a2 a n 1 . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面用数学归纳法证明.a. 当 n 1 时,左边右边 2,成立b1b2 bkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. 假设当 n k 时,成立,即a1 a2 ak k 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k当 nk 1 时, bk 1 k 11k 1k 1· ak 1,由归纳假设可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1b2 bkbk 1a1a2 akak 1b1b2 bk·a1a2 akbk 1 k1 ak 1 k1 · 11k1k 1 k 2k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cn所以当 n k 1 时,也成立依据 a、b,可知对一切正整数n 都成立3 证明： 由 cn 的定义, ,算术- 几何平均不等式,bn 的定义及得 Tn c1 c2 c3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1 1b1 b2b1 b2 b3b1 b2 bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结×2 2×3113×41nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结×21b2 22×31nn 111 bn·可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结×3 3×4nn 1nn112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11111b1b2bn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn b1 1 n 1 b2 2 n 1 bn 1 < 1 2 n 11a1 1 2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1nnan<ea1 ea2 ean eSn. 即 Tn<eSn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*2已知集合 X 1,2,3, Yn 1,2,3, n n N ,设 Sn a, b| a 整除 b 或 b整除 a, a X, b Yn 令 f n 表示集合 Sn 所含元素的个数(1) 写出 f 6 的值。(2) 当 n6时,写出 f n 的表达式,并用数学归纳法证明解1 S6 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6 , 2,1, 2,2,2,4,2,6, 3,1, 3,3, 3,6,所以 f 6 13.2 当 n6时, f n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 2nn32 , n 6t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 2n 12n 13, n6t 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 2nn 232, n 6t 2,* t N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 223 , n 6t 3,nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 22 3, n 6t 4,n 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 22 3, n6t 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面用数学归纳法证明：66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 6 时, f 6 62 2 13,结论成立。 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 n k k6 时结论成立,那么n k 1 时, Sk 1 在 Sk 的基础上新增加的元素在1 , k 1 , 2 , k1 , 3 ,k 1 中产生,分以下情形争论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a如 k 1 6t ,就 k 6 t 1 5,此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f k 1 f k 3 k 2k 12k 23 3 k 1 2k 12k 13,结论成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b如 k 1 6t 1,就 k 6t ,此时有kkk 1k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f k 1 f k 1 k 2 2 3 1 k 1 2立。c如 k 1 6t 2,就 k 6t 1,此时有23,结论成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f k 1 f k 2 k 2立。k 12k 13 2 k1 2k 12k 23,结论成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d如 k 1 6t 3,就 k 6t 2,此时有f k 1 f k 2 k 2kk 22 k 1 2k1 k 1 2323,结论成立。e如 k 1 6t 4,就 k 6t 3,此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f k 1 f k 2 k 2 k 1k2k 1k 12 k 1 2,结论成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结323f 如 k 1 6t 5,就 k 6t 4,此时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f k 1 f k 1 k 2kk 11 k 1 2k 1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结论成立2323,结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述,结论对满意n6的自然数 n 均成立ax3. 函数 f x ln x 1 x a a>1 (1) 争论 f x 的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 设 a1 1, an 1 ln an 1 ,证明： n3 an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解1 f x 的定义域为 1, ,x x a2 2an 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x xx a2.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 1<a<2 时,如 x 1, a 2a ,就 f x>0 , f x 在 1, a 2a 是增函数。22如 x a 2a, 0 ,就 f x<0 , f x 在 a 2a, 0 是减函数。如 x0 , ,就 f x>0 ,f x 在0 , 是增函数当 a2 时, f x 0, f x 0 成立当且仅当x 0, f x 在 1, 是增函数。当 a>2 时,如 x 1,0 ,就 f x>0 , f x 在 1,0 是增函数。22如 x0 , a 2a ,就 f x<0 , f x 在 0 ,a 2a 是减函数。22如 x a 2a, ,就 f x>0 , f x 在 a 2a, 是增函数2 证明：由 1 知,当 a 2 时, f x 在 1, 是增函数 当 x0 , 时, f x> f 0 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x即 ln x 1> x2 x>0 又由 1 知,当 a 3 时, f x 在0,3是减函数 当 x0,3时, f x< f 0 0,3x即 ln x 1< x30< x<3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面用数学归纳法证明23n <an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n223当 n 1 时,由已知 <a1 1,故结论成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设当 n k 时结论成立,即23 <ak .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 nk 1 时,ak 1ln ak 1>lnk2k 2222× k 22k 1 >,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22k 3k 223× 33k 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ak 1ln ak 1 lnk 2 1 <3 k 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2即当 n k 1 时有k<ak 1k 2 33,结论成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3k 3*依据,知对任何nN 结论都成立sin x*4已知函数 f 0 x x x>0 ,设 f n x 为 f n1 x 的导数, nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 求 2f 12 f 222的值。*2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 证明：对任意的 n N ,等式nf n14 4 f n4 2 都成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解1 由已知,得f 1 x f 0x sin xxcosxxsin xx2,于是 f 2 x f 1x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosxxsin xx2sin xx2cos xx22sin xx3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4216可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f 12 2, f 22 3. 故 2f 12 2 f 22 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 证明：由已知,得 xf 0 x sin x,等式两边分别对 x 求导,得 f 0 x xf 0x cos x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 f 0 x xf1 x cosx sinx,类似可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22f 1 x xf 2 x sin x sin x ,33f 2 x xf 3 x cosx sinx 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4f 3 x xf 4 x sin x sin x 2 下面用数学归纳法证明等式nf n 1 x xf n x sinx当 n 1 时,由上可知等式成立n*2对全部的 nN 都成立k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设当 n k 时等式成立,即 kf k 1 x xf k x sinx2成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 kf k 1 x xf k x kf k 1x f k x xf kx k 1 f k x xf k 1 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinxk2 cos xkkk2· x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sinx2,k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 k 1 f k x xf k 1 x sinx2.因此当 n k 1 时,等式也成立n*综合,可知等式nf n1 x xf n x sinx 2对全部的 n N 都成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 x ,可得 nf4n 14 f n44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin4 2 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 nf n 14 4 f n4 2 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载