高一上学期数学知识点总结 2.docx

精品名师归纳总结高一上学期数学学问 概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1. 集合元素具有 确定性、 无序性和互异性 . 在求有关集合问题时， 特殊要留意元素的互可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异性 ，如 1设 P、Q为两个非空实数集合，定义集合PQ ab | aP,bQ ，假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P0,2,5， Q1,2,6，就 PQ 中元素的有个。答： 8 2 非空集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1,2,3,4,5，且满意“假设 aS ，就 6aS ”，这样的 S 共有个答： 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 遇到 AB时，你是否留意到“极端 ”情形： A或 B。同样当 AB时，你是否遗忘 A的情形？要留意到是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如集合 A x | ax10， Bx | x23x20，且 ABB ，就实数 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：1a0,1,23. 对于含有 n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依次为2 n，2 n1， 2 n1， 2n2. 如满意 1,2M1,2,3,4,5 集合 M有个。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答： 74. 集合的运算性质： ABABA 。 ABBBA 。 ABu Au B 。 Au Bu AB 。 u ABUAB 。 CU AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CU ACU B 。CU ABCU ACU B . 如设全集 U 1,2,3,4,5，假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB 2， CU AB 4， CU ACU B1,5，就 A， B . 答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2,3 ， B2,4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 争论集合问题， 肯定要 懂得集合的意义抓住集合的代表元素。如：x | yfx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的定义域。y | yfx函数的值域。x, y | yfx函数图象上的点集，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如设集合 M x | yx2 ，集合 Ny | yx2 , xM，就 MN_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答： 4, 。6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在详细运算时不要忘了集合本身 和空集 这两种特殊情形， 补集思想 常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题。如已知关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax5于 x 的不等式20 的解集为 M ，假设 3M 且 5M 求实数 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答： axa1 59，25 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，37. 四种命题及其相互关系。假设原命题是“假设p 就 q”，就逆命题为“假设q 就 p”。 否命题为“假设p 就 q ” 。逆否命题为“假设q 就 p ”。 提示 ： 1互为逆否关系的命 题是等价命题， 即原命题与逆否命题同真、同假。逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价。 2在写出一个含有“或”、 “且”命题的否命题时，要留意“非或即且，非且即或 ”。 3要留意区分“否命题”与“命题的否认”：否命题要对命题的条件和结论都否认，而命题的否认仅对命题的结论否认。4对于条件或结论是不等关系或否认式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判定其真假，这也是反证法的理论依 据。 5哪些命题宜用反证法？如 1“在 ABC 中，假设 C=900，就 A 、 B 都是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结锐角”的否命题为答：在ABC 中，假设C90 ，就A,B 不都是锐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角。 2已知函数f xaxx x2 , a11，证明方程f x0 没有负数根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 充要条件 。关键是分清条件和结论划主谓宾，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件。 由结论可推出条件，就条件是结论成立的必要条件。从集合角度说明，假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2AB ，就 A 是 B 的充分条件。假设 BA ，就 A 是 B 的必要条件。假设A=B ，就 A 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 的充要条件。 如设命题 p： | 4 x3|1。命题 q: x2a1) xa a10 。假设 p 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0,q 的必要而不充分的条件，就实数a 的取值范畴是答：1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、不等式1. 不等式的性质 ：1同向不等式可以相加。异向不等式可以相减：假设ab,cd ，就 acbd 假可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 ab, cd ，就 acbd ，但异向不等式不行以相加。同向不等式不行以相减。2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除。异向不等式可以相除，但不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能相乘：假设 ab0, cd0 ，就 acbd 假设 ab0,0cd ，就 ab 。cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3左右同正不等式： 两边可以同时乘方或开方：假设 ab110 ，就 an11bn 或 n an b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4假设 ab0 ， ab ，就。假设 abab0 ， ab，就。ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 1对于实数a,b, c 中，给出以下命题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如ab,就ac2bc2 。 如ac 2bc 2, 就ab 。 如ab0,就a 2abb 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如ab0,就 1 a1。 如a bb0, 就 b aa 。 如abb 0,就 ab。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如cab0,就 a cab。 如ab, 11 cbab，就 a0, b0 。其中正确的命可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题是答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知 1xy1 ， 1xy3 ，就 3 xy 的取值范畴是答： 1,7 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3已知 abc ，且 abc0, 就c 的取值范畴是答：a2,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判定差的符号得出结果。 2作商常用于分数指数幂的代数式。3分析法。 4平方法。5分子或分母有理化。6利用函数的单调性。7查找中间量或放缩法。8图象法。其中比较法作差、作商是最基本的方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如设 a2 ， pa1， qa22 a 24a 2，试比较p, q 的大小答： pq 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、 去括号、 移项、 合并同类项等步骤化为axb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的形式，假设 a0 , 就 xb。假设 aa0 , 就 xb。假设 aa0 , 就当 b0 时， xR 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b0 时， x。如已知关于 x 的不等式 abx 2a3b0 的解集为 ,1 ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就关于 x 的不等式 a3b xb2a0 的解集为答： x | x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 一元二次不等式的解集 联系图象。特殊当0 和0 时的解集你会正确表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结吗？设 a0 , x1, x2 是方程ax2bxc0 的两实根，且x1x2 ，就其解集如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2bxc0ax 2bxc0ax2bxc0ax2bxc0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 x | xx1或xx2 x | xx1或xx2 x | x1xx2 x | x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0b x | x2abR x | x2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0RR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如解关于 x 的不等式：1ax2 a1 x110 。答：当 a0 时， x1 。当 a10 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 或 x。当 0aa1时， 1x。当 aa1 时， x。当 a1 时，ax1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 对于方程ax2bxc0 有实数解的问题 。第一要争论最高次项系数a 是否为 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次假设 a0 ，就肯定有b 24ac0 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中含有参数时，你是否留意到同样的情形？如：1 a2 x22 a2 x10 对一切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xR恒成立，就 a 的取值范畴是答： 1,2 。 2 关于 x 的方程 f xk 有解的条件是什么？ 答： kD ，其中 D 为 f x 的值域 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 一元二次方程根的分布理论。方程f xax 2bxc0 a0 在 k, 上有两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根、在 m, n 上有两根、在 y0, k 和 k, 上各有一根的充要条件分别是什么？0f m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f k0 、bk2 aa>0Okx1x 2xf n0 bm2 a、 f k 0 。根的分布理论成立n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的前提是开区间，假设在闭区间 m, n 争论方程f x0 有实数解的情形，可先利用在开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间 m, n 上实根分布的情形，得出结果，再令xn 和 xm检查端点的情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f x4 x22 p2) x2 p 2p1 在 区 间 1,1上 至 少 存 在 一 个 实 数 c ， 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f c0 ，求实数 p 的取值范畴。答：33, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 二次方程、二次不等式、 二次函数间的联系你明白了吗？二次方程ax 2bxc0 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两 个 根 即 为 二 次 不 等 式ax2bxc00的 解 集 的 端 点 值 ， 也 是 二 次 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2bxc 的图象与 x 轴的交点的横坐标。 如1不等式1xax23的解集是 4, b ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 a =答：。 2 假设关于x 的不等式 ax8bxc0 的解集为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结, mn, ，其中 mn0 ，就关于 x 的不等式cx2bxa0 的解集为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答： ,1 m1 ,n 。 3不等式3x22bx1 0 对 x1,2恒成立，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实数 b 的取值范畴是答：。8. 简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： 1分解成假设干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正。2将每一个一次因式的根标在数轴上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从最大根的右上方依次通过每一点画曲线。并留意奇穿过偶弹回。 3依据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如： 1解不等式 x1 x220 。答： 1,2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2不等式 x2x2x30 的解集是答： 3,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3设函数f x 、 g x 的定义域都是 R，且f x0 的解集为 x |1x2 ， g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的解集为，就不等式f xg x0 的解集为答：,12,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4要使满意关于 x 的不等式2 x29 xa0 解集非空的每一个x 的值至少满意不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式 x24 x30和x26 x80 中的一个，就实数 a 的取值范畴是 . 答：7, 818可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最终用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： 1解不等式5x1x22x3答：1,12,3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2关于 x 的不等式 axb0 的解集为1, ，求关于 x 的不等式 axbx20 的解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答：,12,10. 肯定值不等式的解法：1分段争论 最终结果应取各段的并集：如解不等式 | 22利用肯定值的定义。3 x |2| x41 |答： R 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3数形结合。如解不等式| x | x4两边平方： 如假设不等式 | 3x1|3 答：,12,2 | | 2 xa |对任意 xR恒成立，就实数 a 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结围。答：4311. 含参不等式的解法： 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类争论是关键”留意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。留意：按参数争论，最后应按参数取值分别说明其解集。但假设按未知数争论，最终应求并集.见 4 中例题12. 含肯定值不等式的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a、b 同号或有0| ab | a |a、b 异号或有0| ab |a |b | b |a |b | |ab |。| a | b | | ab | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如设 f xx2x13 ，实数 a 满意 | xa | 1 ，求证： |f xf a |2| a |1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否留意到：“一正二定三相等，和定积最大， 积定和最小”这 17 字方针。如： 1以下命题中正确的选项是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. yx1的最小值是 2B. yx4x232x2的最小值是 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. y23 xx0 的最大值是 243 D. yx23 x x0 的最小值是 24 3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 x2 y1 ，就 2x4y 的最小值是答： 22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3正数x, y 满意 x2 y1，就 1x1 的最小值为答： 322 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b2ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 常用不等式 有： 122ab11ab 当且仅当 abc时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取等号 ，依据目标不等式左右的结构选用。 2a、b、cR ，a 2b 2c2abbcca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 abc时，取等号。 3假设 ab0, m0 ，就 bbmaam糖水的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结浓度问题 。假如正数 a 、b 满意 abab3 ，就 ab 的取值范畴是 答： 9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15. 证明不等式的方法： 比较法、 分析法、综合法和放缩法比较法的步骤是： 作差商后通过分解因式、配方、通分等手段变形判定符号或与1 的大小，然后作出结论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常用的放缩技巧有 ：1111111nn1nn1n2n n1n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111k1kkk1k1k2kk1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 1已知 abc ，求证：a2 bb 2cc2 aab2bc 2ca 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知a, b,cR ，求证：a 2b 2b 2c 2c2 a 2abcabc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3已知a, b, x, yR ，且 11 , xy ，求证：xy。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abxayb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 假设nN *，求证：n121 n1n21n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | b | a | b | 。| ab | ab |(5) 已知 | a | |b | ，求证：16. 不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题： 不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用函数方程思想和 “别离变量法” 转化为最值问题，也可抓住宅给不等式的结构特点，利用数形结合法1恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设不等式 fx假设不等式 fxA 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上B 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上fx minAfx maxB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如1不等式 x4x3a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2假设不等式 2 x1m x21) 对满意 m2的全部 m 都成立，就 x 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3假设不等式围.2x2mx2 m10 对 0x1的全部实数 x 都成立，求 m 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2能成立问题假 设 在 区 间 D 上 存 在 实 数 x 使 不 等 式 fxA 成 立 , 就 等 价 于 在 区 间 D 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx maxA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假 设 在 区 间 D 上 存 在 实 数 x 使 不 等 式 fxB 成 立 , 就 等 价 于 在 区 间 D 上 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx minB . 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知不等式 x43恰成立问题x 3a 在实数集 R 上的解集不是空集， 求实数 a 的取值范畴 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设不等式 fx假设不等式 fx三、函数A 在区间 D 上恰成立 ,就等价于不等式fx B 在区间 D 上恰成立 ,就等价于不等式fxA 的解集为 D 。B 的解集为 D .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 函数的定义域 A 和值域 B 都是非空数集 ！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与 y 轴垂线的公共点可能没有， 也可能有任意个。 如 1已知函数 f x ，xF ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么集合 x, y | yf x, xF x, y | x1 中所含元素的个数有个答： 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或 1。2假设函数 y1 x 222x4 的定义域、值域都是闭区间 2,2b，就 b 答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法就。而值域可由定义域和对应法就唯独确定，因此当两个函数的定义域和对应法就相同时，它们肯定为同一函数。如假设一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，就称这些函数为“天一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数”，那么解析式为y x2 ，值域为 4 ， 1 的“天一函数”共有个答： 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 求函数定义域的常用方法在争论函数问题时要树立定义域优先的原就：1依据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0 次幂的底数不能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为零。 如 1函数 yx 4x0x3的定义域是 答： 0,22,33,4 。 2 假可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数 ykx7的定义域为 R，就 k 答：0, 3 。 3函数f x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kx24kx34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域是 a, b， ba0 ，就函数F xf xf x的定义域是 答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a,a 。2依据实际问题的要求确定自变量的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3复合函数的定义域： 假设已知f x的定义域为 a, b ,其复合函数f g x 的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结域由不等式ag xb 解出即可。 假设已知f g x 的定义域为 a, b ,求f x的定义域，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相当于当 x a,b 时，求g x的值域即f x 的定义域。 如1假设函数 yf x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域为1 ,22，就 f2 x 的定义域为答： x |2x 4 。 2假设函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 f x21 的定义域为 2,1 ，就函数f x 的定义域为答： 1,5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 求函数值域最值的方法：1配方法 二次函数 二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 m, n 上的最值。二是求区间定动，对称轴动定的最值问题。求二次函数的最值问题，勿 忘数形结合 ，留意“ 两看 ”：一看开口方向。二看对称轴与所给区间的相对位置关系，如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1求函数y x22 x5, x1,2 的值域答： 4,8 。 2 当 x0,2时，函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xax 24a1) x3 在 x2 时取得最大值， 就 a 的取值范畴是 答： a1 。 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊说明： 二次函数在区间m, n 上最值的求法， 肯定要留意顶点的横坐标是否在定义域内。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如是挑选、填空可以很快写答案: 先看看b是否在2am, n 内，假如在的话，算三个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名