函数的单调性知识点及例题解析.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备函数的单调性学问点及例题解析学问点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）学问点二：函数单调性的判定方法（常用的）（ 1）定义法（基本法） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取值：任取x1, x2D ，且x1x2 。作差：fx1fx2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变形：通常是因式分解或配方。定号：即判定差fx1fx2的正负。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下结论：即指出函数fx在给定区间D 上的单调性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）利用已知函数的单调性。（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（ 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用函数的图像。yx ， yx2 ， y21.x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法。两个增（减）函数的和仍为增（减）函数。一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 yf u 和ug x 单调性相同，那么yf g x 是增函数。假如yf u 和ug x 单调性相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反，那么yf g x 是减函数 . 对于 复合函数的单调性，列出下表以助记忆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf uug xyf g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上述规律可概括为“同增，异减”学问点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小。利用函数的单调性求参数的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结附加： yaxb a0 的单调性：a0 增函数， a0 减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ykk x0 的单调性： k0 减区间,0 , 0,。 k0 增区间,0 , 0,。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yax2bxc a0 的单调性：a0 ，减区间bb。,，增区间, 2a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0 ，增区间,b，减区间b ,。2a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 fx在区间 A 上是增（减）函数，就k0 时， kfx 在 A 上是增（减）函数。k0 时就相反。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 fx、 g x是区间 A 上的增（减）函数，就fxgx 在区间 A 上是增（减）函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fx0 且在区间A 上是增（减）函数，就1在 A 上是减（增）函数，fxfx 在 A 上是增（减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 函数 y=x2+4x 1 的递增区间是什么？名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：依据二次函数的开口方向和对称轴可判定出在对称轴右侧单调递增2解：函数y=x +4x 1 的图象开口向上，对称轴为x= 2， y=x 2+4x 1 在（，2）上单调递减，在（2， +）上单调递增故答案为（2， +）22. 函数 y=x 6x+5 在区间（ 0，5）上是（）A 递增函数B 递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：此题考察函数单调性的判定与证明，依据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解： y=x2 6x+5. y=（ x 3） 2 4，对称轴为x=3，依据函数y=x26x+5 可知 a=1 0，抛物线开口朝上，函数图象在（，3 上单调递减，在（3， +）上单调递增，在函数在（0， 5）上先递减后递增，应选C3. 如图，已知函数y=f （ x）， y=g （ x）的图象（包括端点） ，依据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数仍是减函数分析：此题考察函数单调性的性质，依据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（ 1）由图象知函数在 2， 1 ， 0 ， 1 上为减函数，就-1 ， 0 ， 1 ， 2 上为增函数，即函数的单调递增区间为-1 ， 0 ， 1 ， 2 ，函数单调递减区间为-2 ， -1 ， 0 ， 12）由图象知函数在-3 ， -1.5， 1.5 ， 3 上为减函数，就 1.5 ， 1.5 上为增函数，即函数的单调递增区间为-3 ， -1.5， 1.5 ， 3 ，函数单调递减区间为 1.5 ， 1.524. 已知函数f （x） =x 2ax+1 在（ - ， 1上是减函数，求实数a 的取值范畴分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：由于开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减。而其对称轴为x=a ，又在（ - ， 1上是减函数，故须 a 125. 已知函数f （x） =x +4（ 1 a） x+1 在1 ， +）上是增函数，求a 的取值范畴分析：通过二次函数的解析式观看开口方向，再求出其对称轴，依据单调性建立不等关系，求出a 的范畴即可解：函数f （ x） =x 2+4（ 1 a） x+1 是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2 （a 1），依据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（ a1） 1，解得 a 1.526. 如函数 y=x +2（ a 1） x+2 在区间（，6）上递减，求a 的取值范畴分析：由f （ x）在区间（，6 上递减知：（， 6 为 f （ x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可解： f （ x ）的单调减区间为： （， 1 a ，又 f （ x ）在区间（，6 上递减，所以（，6 . （， 1a ，就 1 a 6，解得 a 5，所以 a 的取值范畴是（，57. 如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉肯定值，依据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y 的单调性与单调区间解：函数y=|x+1|=。当 x 1 时， y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0， +）。当 x 1 时， y= x1，是单调减函数，单调减区间是（，0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 求函数 f （ x） =x4 2x名师举荐细心整理学习必备2+5 在区间 2， 2 上的最大值与最小值242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x ，可得 0 t 4，依据二次函数g（ t ）=f （ x ）=x2 2x+5=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ t 1） +4 的对称轴为t=1 ，再利用二次函数的性质求得函数g（t ） 在区间 0 ， 4 上的最值解：令 t=x 2，由 2 x 2，可得 0 t 4，由于二次函数g（t ）=f （ x）=x 4 2x2+5=t 2 2t+5= （ t 1） 2+4 的对称轴为 t=1 ，就函数 g（ t ） 在区间 0 ，4 上的最大值是g（ 4） =13，最小值为g （ 1）=4，故答案为13 ， 49. 证明函数在 2， +）上是增函数分析： 此题考查的是函数单调性的判定与证明，在解答时要依据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答证明：任取x 1， x 2 2， +），且 x1 x2，就 f （ x1） f （ x2） =x12 x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x12=x22 x12x12x22x22 =x1x2，x12x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 x1-x 2 0，x12 +x22 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 f （ x 1） f （ x 2）所以函数在 2， +）上是增函数10. 函数 f （ x ）=，用定义证明函数的单调性并写出单调区间。求 f （ x ）在 3 ， 5 上最大值和最小值分析：分别常数得到f （ x）=，依据反比例函数的单调性便可看出f （ x）的单调递增区间为（， 1），（ 1， +），依据单调性的定义证明：设任意的x 1， x2 1，且 x 1 x 2，然后作差，通分，说明x 1， x 2（，1），或 x1， x2（ 1， +）上时都有f （ x 1） f （ x 2），这样即可得出f （ x）的单调区间。依据 f （ x）的单调性便知f （ x ）在 3 ，5 上单调递增，从而可以求出f （x ）的值域，从而可以得出f （x ）在3 ， 5 上的最大、最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f （ x） = 2 xx1 = 2 x11x11 =2-1。x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结该函数的定义域为x|x 1 ，设 x1， x2x|x 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11且 x1 x2，就： f （ x1） - f（ x2） =-=x21x11 x1x1x2。1 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x 1 x 2。 x1x 2 0。 x 1， x 2（，1）时， x 1+10， x 2+1 0。x 1， x 2（ 1， +）时， x 1+10， x 2+1 0。（ x 1+1）（x 2+1） 0。 f （ x 1） f （ x 2）。 f （ x ）在（，1），（ 1， +）上单调递增，即f （ x ）的单调增区间为（，1），（ 1，+）。由上面知f （ x）在 3 ，5 上单调递增。f （ 3） f （x ） f （ 5）。 7 4f （ x） 11 6。 f （x ）在 3 ，5 上的最大值为11 6，最小值为7 41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 已知 f （ x ）+2f （） =3x （ 1）求 f （ x）的解析式及定义域。 （ 2）指出 f （ x ）的单调区间并加以证明x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）由fx+2f21 3x ，用x1 代 替 x，得fx1 +2fxx3。× 2- ，得3fxx6 -3x ，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以fx-x （ x 0）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由（ 1）， fx2 -x （ x0）其递减区间为（- ， 0）和（ 0， +），无增区间x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结事实上，任取x 1， x 2（ - ， 0）且 x1 x2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 fx 1-fx2 2-x 1-x12+x2x22 x1x1 x2x2 -x 1-x 2 x 2-x 1 .2 x1 x2，x1 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x 1 x 2 0x 2-x 1 0， x 1x 2 0， 2+x 1x2 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以x 2-x 1 .2x1 x2 x1 x2名师举荐细心整理学习必备 0，即 f （ x 1） f （ x2）故 f （ x ）在（ - ， 0）上递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理可证其在（0， +）上也递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 证明： f （x ） =x+x1在（ 3，+）上是增函数，在（2， 3 上是减函数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：利用函数单调性的定义证明证明：设任意的x 1，x 2（ 3， +），且 x 1x 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 f （ x 1） f （ x 2） =（x1+1x1）- （ x2+1 2x2x1） =（ x 1 x 2）.2 x12 x22 x221，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x 1， x 2（ 3， +），且 x 1 x 2， x 1 x 2 0， x 12 1， x 22 1，（ x1 2）（ x2 2） 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1（ x 1 x 2）. x12 x22 x2212 0， f （x 1） f （x2） 0，即 f （ x 1） f （ x2），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f （ x ） =x+x1在（ 3，+）上是增函数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理可证， f （ x） =x+x1在（ 2， 3 上是减函数21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例6】 争论函数fx x的单调性，并画出它的大致图像x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解定义域为 ， 0 0， ，任取定义域内两个值x 1、 x2，且 x 1 x2x1 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 fx 1 fx2 x 1 x 2 x 1 x2，又 x1 x 2 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0 x 1 x2 1 或 1 x1x 2 0 时，有 x1x 2 1 0， x1x2 0， fx 1 fx 2 fx 在0， 1 ， 1， 0上为减函数当 1 x 1x 2 或 x 1 x2 1 时，有 x1x21 0， x1x2 0，fx 1 fx 2， fx 在， 1 ， 1 ， 上为增函数依据上面争论的单调区间的结果，又x0 时， fx min f1 2，当 x 0 时， fx max f 1 2 由上述的单调区间及最值可大致画出图像。函数 y |x22x 3|的单调增区间是 【解析】y |x2 2x3| |x124|，作出该函数的图像 如图由图像可知，其增区间为 1,1和3， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载