高等代数北大版第章习题参考答案2.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第七章 线性变换1 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中， A,其中V 是一固定的向量。323。2） 在线性空间V 中， A其中V 是一固定的向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33） 在 P中， A x1, x2, x3 x2 , xx , x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14） 在 P3 中， A x1 , x2 , x3 2x1x2 , x2x3 , x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5） 在 P x 中， Af xf x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6） 在 P x 中， A f xf x 0 , 其中 x0P 是一固定的数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，A。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n8） 在 Pn 中， AX=BXC其中 B,CP nn 是两个固定的矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 1当0 时,是;当0 时,不是。2当0 时,是;当0 时 ,不是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3不是 .例如当1,0,0 , k2 时, k A 2,0,0 , A k4,0,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A kk A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4是.因取x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A = A x1= 2x1y1 , x22 y1x2y2 , x3y2 , x2y3 y2x3y3 , x1y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 2x1x2 , x2x3 , x1 2 y1y2 , y2y3 , y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A k= A+ A，A kx1 , kx2 , kx3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2kx1 2kx1=k A kx2 , kx2 kx2 , kx2 ，kx3 , kx1 kx3 , kx1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 A 是 P 3 上的线性变换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 是.因任取f xP x , g xP x ,并令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u xf xg x 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A fxg x = A u x= u x1 =f x1g x1 =Af x + A g x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再令 v xkf x 就 A kf xA v xv x1kf x1k A f x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 A 为P x 上的线性变换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6是.因任取f xP x, g xP x 就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A fxg x =f x0 g x0A fxA g x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A kf xkf x0 k A f x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7不是，例如取a=1,k=I ，就 Aka=-i , k Aa=i, Akak Aa。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8是，因任取二矩阵X , YP n n ， 就 A XY B XY CBXCBYCA X +A Y ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ak X =BkX k BXC k A X ，故 A 是 P nn 上的线性变换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.在几何空间中,取直角坐标系oxy, 以 A 表示将空间绕ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换 ,以 B 表示绕 oy 轴向 ox 方向旋转90 度的变换 ,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转90 度的变换，证明： A 4 =B 4 =C 4 =E,ABBA,A 2 B 2 =B 2 A 2 ，并检验 AB 2 =A 2 B 2 是否成立。 解 任取一向量a=x,y,z ，就有1) 由于Aa=x,-z,y,A 2 a=x,-y,-z ， A 3 a=x,z,-y,A 4 a=x,y,z ，234Ba=z,y,-x,Ba=-x,y,-z ， Ba=-z,y,x,Ba=x,y,z ，234Ca=-y,x,z,Ca=-x,-y,z ， Ca=y,-x,z,Ca=x,y,z ，所以 A 4 =B 4 =C 4 =E 。2由于 ABa=Az,y,-x=z,x,y ， BA a=Bx,-z,y=y,-z,-x ，所以 ABBA。3由于 A 2 B 2 a= A 2 -x,y,-z=-x,-y,z ， B 2 A 2 a= B 2 x,-y,-z=-x,-y,z ，所 以 A 2 B 2 =B 2 A 2 。2224由于 AB a=AB AB a_= AB z,x,y=y,z,x ， ABa=-x,-y,z ，'所以 AB 2A 2 B 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.在 Px 中， Af xf x, Bf xxf x ，证明 : AB-BA=E 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证 任取f xPx ， 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB-BA f x =ABf x -BAf x =A xf x -Bf ' x =f xxf ; x - xf ' x =f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以AB-BA=E 。4.设 A,B 是线性变换，假如AB-BA=E ，证明： A k B-BA k = k A k 1k>1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证 采纳数学归纳法。当k=2 时A 2 B-BA 2 =A 2 B-ABA+ABA-BA 2 =AAB-BA+AB-BAA=AE+EA=2a，结论成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结归纳假设 km 时结论成立，即A m B-BA m = m A m1 。就当 km1 时，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 1mAB-BA1=Am 1mmB-ABA+ABA-BAm 1mmmm=AAB-BA+AB-BAA=AE+ m A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 1 A= m1 A m 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 km1 时结论成立 .故对一切 k1 结论成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.证明：可逆变换是双射。证 设 A 是可逆变换，它的逆变换为A1 。如 ab，就必有AaAb，不然设 Aa=Ab，两边左乘A1 ，有 a=b，这与条件冲突。其次，对任一向量b，必有 a 使 Aa=b，事实上 ,令 A1 b=a 即可。因此 ,A 是一个双射。6.设1 ,2 ,n 是线性空间V 的一组基， A 是 V 上的线性变换。 证明： A 是可逆变换当且仅当 A1 ,A2 ,An 线性无关。证 因 A1 ,2 ,n = A1 ,A2 ,An =1 ,2 ,n A，故 A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆， 而矩阵 A 可逆的充要条件是A1 ,A2 ,An 线性无关，故 A 可逆的充要条件是A1 ,A2 ,An 线性无关 .。7.求以下线性变换在所指定基下的矩阵:1第 1 题 4中变换 A 在基1 =1,0,0,2 =0,1,0,3 =0,0,1 下的矩阵。2) o;1 ,2 是平面上始终角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影 ,B 是平面上的向量对2 的垂直投影，求A,B,AB 在基1 ,2 下的矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 在空间 Px n 中，设变换A 为f xf x1f x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试求 A 在基i = x x1 xi1 1i.I=1,2,n-1下的矩阵A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结axaxaxax4) 六个函数1 =ecos bx ,2 =esin bx ，3 = x ecos bx ,4 = x esin bx ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121=xe ax cosbx ,2e ax11=2x 2 sin bx ，的全部实数线性组合构成实数域上一个六维线性空可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间，求微分变换D 在基i i=1,2,6 下的矩阵。中线性变换A 在基101=0,1,1 下的矩阵是110，35已知 P1 =-1,1,1,2 =1,0,-1,3121求 A 在基1 =1,0,0,2 =0,1,0,3 =0,0,1 下的矩阵。6) 在 P 3 中， A 定义如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A15,0,3A20,1,6 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A3其中5,1,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11,0,220,1,1，33,1,0求在基1 =1,0,0,2 =0,1,0,3 =0,0,1 下的矩阵。7) 同上，求 A 在1 ,2 ,3 下的矩阵。解 1A1 =2,0,1=21 +3 ， A2 =-1,1,0=-1 +2 ， A3 =0,1,0=2 ，210，3 下的矩阵为011。100故在基1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12）取1 =（ 1，0），2 =（ 0， 1），就 A1 =2111 +2 ， A2 =2211+2 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11故 A 在基1，2 下的矩阵为A=22。112200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 B1=0，B2 =2 ，所以 B 在基1，2 下的矩阵为B=0，另外，（AB ） 2 =A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（B2） =A12 = 211 +2 ，201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 AB 在基1 ，2 下的矩阵为AB =2。012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3）由于01,1x,2xx2.1 ,n 1xx1) x n n1.2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 A0110 ，A1 x1x0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结An 1 x1 xn x n1.3xx1) xn n1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx=1 xn n1.3 x1 x n2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=n 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 A 在基0 ,1 ,0101n 1 下的矩阵为A=。10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4）由于D1 =a1 -b2 ,D2 =b1 -a2 ,6 ，D3 =1 +a3 -b4 ,D4 =2 +b3 +a4 ,D5 =3 +a5 -b6 ,D6 =4 +b5 +a6 ，ab1000ba010000ab10所以 D 在给定基下的矩阵为D=0。00ba0100000000abba110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5）由于 1 ,2 ,3 =1,2 ，3 1101，所以11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111 ,2 ，3 =1 ,2 ,3 011011=1 ,2 ,3 X ，1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 A 在基1,2 ，3 下的矩阵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10101011101B=X1 AX=1111121111011101112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=220。302学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1036）由于 1 ,2 ,3 =1,2 ，3 011，210103所以 A1 ,2 ,3 =A1 ,2 ，3 011,210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5但已知 A1 ,2 ,3 =1 ,2 ，3 030511，69可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结505故 A1 ,2 ，3 =1,2 ，3 0113691030111210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结133505777261=1 ,2 ，3 01177736921177752020777。777271824777452=1 ,2 ，3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结107）由于 1 ,2 ，3 =1 ,2 ,3 0121311 ，0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10所以 A1 ,2 ,3 =1 ,2 ,3 01213505110110369可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结235=1 ,2 ,3 101。110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 28 在Pab中 定 义 线 性 变 换A 1 X =cdabX,A 2 X =Xcd,A 2 X =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abaXcdcb, 求 A 1 , A 2 , A 3 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵。d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 因 A 1 E 11 =a E 11 +cE 12 , A 1 E 12 =a E 12 +c E 22 , A 1 E 21 =bE 11 +dE 21 , A 1 E 22 = bE 21 +d E 22 ,a0b00a0bc0d00c0d故 A 1 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为A 1 =。又因 A 2 E 11 =a E 11 +b E 12 , A 2 E 12 = cE 11 +dE 12 ,ac00bd0000ac00bdA 2 E 21 = aE 21 +bE 22 , A 2 E 22 = cE 21 +d E 22 ,故 A 2 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为A 2 =。2又因 A 3 E 11 = aE 11 +abE 12 +acE 21 +bcE 22 ，2A 3 E 12 = acE 11 +adE 12 +cE 21 +cdE 22 ，2A 3 E 21 = abE 11 +bE 12 +adE 21 +bdE 22 ，2A 3 E 22= bcE 11 +bdE 12 +cdE 21 +dE 22 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 A 3 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为A3a2acabadacc 2bccdabbcb2bd。adcdbdd 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基1 ,2 ,3 下的矩阵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11A=a21a31a12 a22 a32a13a23，a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1) 求 A 在基3 ,2 ,1 下的矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 求 A 在基1 , k 2 ,3 下的矩阵，其中且。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 求 A 在基12 ,2 ,3 下的矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解1因 A3 = a333 +a 232a131 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2 = a323a222a12A1= a313a212a1111 ，a33a 32a313 ,2 ,1 下的矩阵为B3a 23a13a 22a12a 21a11。故 A 在基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 因 A= a+ a21 ka，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111 12k313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ak2 = ka121 + a22 k2 + ka323 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A= aa23+ k+ a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3131k2333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 A 在1, k 2 ,3 下的矩阵为B2a11 a 21k a 31ka12a22 ka32a13a 23。k a 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3因 A12 =a11a12 13 + a21a22a11a12 2 +a31a32 3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2 = a12 12 +a22a12 2 + a323 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A3 = a13 12 +a23a13 2 + a333 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 A 基12 ,2 ,3 下的矩阵为B3a21a11 a 22a 31a12 a11 a32a12a12 a 22a32a12a13 a 23a33a13。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 110. 设 A 是线性空间V 上的线性变换，假如Ak0,但 A=0，求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1,A,A k 1 k >0 线性无关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证 设有线性关系l 1l 2 Al k A0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用 A k 1 作用于上式 ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1l1An=0 因 A0 对一切 nk 均成立 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 A k 10,所以 l10 ,于是有可编辑资料 -