解三角形常用知识点归纳与题型总结3.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解三角形常用学问点归纳与题型总结1、三角形三角关系：A+B+C=180°。 C=180° A+B 。 .角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 .锐角三角形性质：如A>B>C 就 60A90 ,0C60.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、三角形中的基本关系：sin AB sin C ,cos ABcos C ,tan ABtan C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin ABcos C ,cos ABsin C , tan ABcot C222222（ 1）和角与差角公式sinsincoscossin;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscoscossinsin;（ 2） 二倍角公式tantantan.1tantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2 = 2cos. sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 2cos2sin 22cos 2112sin 21tan22.1tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin21cos 2,cos 21cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22（ 3）帮助角公式（化一公式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya sin xb cosxa2b2sin x其中tanba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、正弦定理：在C 中， a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边， R 为C 的外接abc圆的半径，就有2R sinsinsin C5、正弦定理的变形公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化角为边：a2 R sin， b2R sin， cab2R sin C 。c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化边为角：sin， sin2R， sin C。2 R2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a : b : csin: sin: sin C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abcabc=2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsinsin Csinsinsin C6、两类正弦定懂得三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要留意解的情形（一解、两解、三解）1112abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、三角形面积公式：SCbc sinab sin Cac sin=2R sinAsinBsinC=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r abc2224R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=p p2a pb pc 海伦公式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、余弦定理：在C 中，有 a2b 2c22bc cos， b2a 2c22ac cos，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a 2b22ab cos C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、余弦定理的推论：cosb 2c2 2bca 2，cosa2c22acb 2，cos Ca 2b2c22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，留意三角形中其他条件的应用：10、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角 11、如何判定三角形的外形：判定三角形外形时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边，就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a 2b 2c2 ，就 C90 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a 2b 2c2 ，就 C90 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a 2b 2c2 ，就 C90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一 ： 求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角或二角一边或三边，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线高线、角平分线、中线及周长等基本问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 （ 15 北京理科）在 ABC中， a4 ， b5 ， c6 ，就sin 2 Asin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试题分析：sin2A2 sinA cos A2ab2c2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinCsinCc2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2425361616256可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.（ 2005 年全国高考湖北卷 在 ABC 中，已知 AB46 ,3cos B6，AC 边上的中线6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -BD=5 ，求 sinA 的值分析：此题关键是利用余弦定理，求出AC 及 BC，再由正弦定理，即得sinA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 E 为 BC 的中点，连接DE ，就 DE / AB，且 DE1 AB22 6 ，设 BE x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 BDE 中利用余弦定理可得：BD 2BE 2ED 22 BEED cos BED ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5x 28226336 x ，解得 x61 ， x7 （舍去）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222822130可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 BC=2 ，从而 ACABBC2AB BCcosB，即 AC又 sin B，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结336221故23， sin A70sin A30146在 ABC 中，已知a 2 ，b 22 ， C 15 °，求 A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： BA，且 0 0A1800， A30 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型之二 ：判定三角形的外形：给出三角形中的三角关系式，判定此三角形的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 2005 年北京春季高考题在ABC 中，已知2 sinA cos Bsin C，那么ABC 肯定是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1：由2 sinA cos Bsin C sinA Bsin AcosB cosAsinB，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin AcosB cosAsinB 0，得 sin AB 0，得 A B应选 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：由题意，得cosBsin Cca 2，再由余弦定理，得cosBc2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin A2a2ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2c22acb2c2a，即 a2b2，得 a b，应选 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：判定三角形外形，通常用两种典型方法：统一化为角，再判定如解法1，统一 化为边，再判定如解法 2题型之三 ：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在ABC 中， sin A积。cos A22， AC2 ， AB3，求tanA 的值和ABC 的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： SABC1 ACAB sin A 212326243 26 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. （ 07 浙江理 18）已知（I ）求边 AB 的长。 ABC的周长为21，且 sin Asin B2 sin C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）如 ABC1的面积为sin C ，求角 C 的度数6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ I ）由题意及正弦定理，得ABBCAC2 1 ， BCAC2 AB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相减，得AB1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）由 ABC111的面积BCAC sin Csin C ，得 BCAC，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结263可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理，得cos CAC 2BC 2AB2 ACBC 22 AC BCAB 21，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 AC BC2 AC BC2所以 C60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型之四 ：三角形中求值问题1. 2005 年全国高考天津卷 在ABC 中，A、B、C 所对的边长分别为a、 b、 c ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a、b、c 满意条件 b 2c 2bca 2 和 c1b23 ，求A 和tan B 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析：此题给出一些条件式的求值问题，关键仍是运用正、余弦定理b 2c2a 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由余弦定理cos A，因此，A 60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bc2在 ABC 中， C=180 ° A B=120 ° B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由已知条件，应用正弦定理3csin Csin120B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin 120 cos Bcos120sin Bbsin B31sin B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Bcot B2, 解得2cot B2, 从而BCtan B. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ABC 的三个内角为A、B、C并求出这个最大值。，求当 A 为何值时，cos A2cos取得最大值，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由 A+B+C= ，得 B+C =A，所以有B+CA=sin。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222cos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B+CA2AAA1232=cosA+2sin 2=1 2sin 2+ 2sin 2 = 2sin 2 2 +2cosA+2cos。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A当 sin 2=1，即 A=23 时, cosA+2cosB+C 取得最大值为 3。 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3在锐角 ABC中，角 A， B，C所对的边分别为a， b， c ，已知sin A22 ，（ 1）求3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan2 BCsin 2A的值。（ 2）如 a2 ， S2 ，求 b 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（ 1）由于锐角ABC 中， A B C ， sin A就221，所以 cosA ，33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan2BC sin2sin2A BC 2sin 2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22cos2BC22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 co（s BC）11cosA17 （1 cosA ） 1cos（BC）21cosA33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 由于 S2，又 S 1 bcsin A 1 bc22 ，就 bc 3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABCABC223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 a 2， cosA ， c3代入余弦定理：ba b c 2bccos A 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 b46b290 解得 b3 。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时， 敏捷逆用公式求得结果即可。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4在 ABC 中，内角A， B， C 对边的边长分别是a， b，c ，已知 c2 ， C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如 ABC的面积等于3 ，求 a， b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如 sin Csin BA2sin 2 A ，求 ABC的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础学问，考查综合应用三角函数有关学问的才能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）由余弦定理及已知条件得，a 2b 2ab4 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 ABC的面积等于3 ，所以 1 ab sin C23 ，得 ab4 ············4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立方程组a2b2ab4，a解得ab4，2 ， b2 ························6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由题意得sin BAsin BA4sin A cos A ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin B cos A2sinA cos A ， ·····································8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 cos A0 时， A， B， a2643 ， b23 ，33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 cos A0 时，得 sin B2sinA ，由正弦定理得b2a ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2ab4，2343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立方程组解得 a， b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2a，33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ABC的面积 S1 ab sin C23·················12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23题型之五（解三角形中的最值问题）1. （ 2021江 西 理 ） 在 ABC中 ， 角A ， B ， C所 对 的 边 分 别 为a ， b ， c ， 已 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos Ccos A3sinA) cos B0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求角 B 的大小。 2 如 ac答案：（ 1） 60°12 ， 1）21 ，求 b 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 2021 新课标 ）在内角的对边分别为, 已知. 求; 如, 求面积的最大值 .答案：（ 1）45° 22 +16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.y««a ,yrj J.a.J”r.j pju r î ;Jt«,it«'* - «'« .2 l iz»' ,-+ ax zgÜ ¡$ z Û *=z, aalPrciüÜiüAln.3.1tj ,1“,' £îî-c «B=g2+cos2B= -4cos&- , ” sîn6-2JLh44. b=2,+42ac, ac3 ,S&ABC=13a=c îIÎ.fî 4 SA»C Y/t 2:/413可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.2021 新课标 理已知a, b, c 分别为ABC 的三个内角A, B ,C 的对边， a =2，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bsin AsinB) c bsinC ，就ABC 面积的最大值为3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.6.在内角的对边分别为, 且=3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 求角 A 的大小2 如 a=4,求3b-c 的最大值答案：（ 1）60°28.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7.（2007 全国 1 理） 设锐角三角形ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，a=2bsinA.（）求B 的大小。（）求cosA+sinC 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（）由 a2b sinA ，依据正弦定理得sin A2sinB sinA ，所以sin B1 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 ABC为锐角三角形得B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） cos Asin Ccos Asin6Acos AsinA6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos A1 cos A3 sin A3 sinA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 ABC22为锐角三角形知，0A23，A2265可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得A32所以A，336可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 1 sinA3 由此有33 sinA33 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结232232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以， cos Asin C 的取值范畴为33，22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 三角形 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c， 22 （ .2.A.-.2 .）.=a-bsinB,三角形外接圆的半径为21 求角 C 的大小2 求面积的最大值.答案：（ 1）60°3 32 29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9，ABC 的三个内角为A、B、C并求出这个最大值。，求当 A 为何值时，cos A2cosB C取得最大值，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：