（京津专用）2019高考数学总复习优编增分练：8＋6分项练4平面向量与数学文化理.doc

86分项练4平面向量与数学文化1(2018贵阳模拟)如图，在ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若a，b，则等于()A.abB.abC.abD.ab答案B解析在ABC中，BE是AC边上的中线，O是BE边的中点，()，a，b，ab.2若两个非零向量a，b满足|a|1，|b|2，|2ab|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案C解析设a，b的夹角为，0，则由|a|1，|b|2，|2ab|2，得(2ab)212，即(2a)24abb244ab412，所以ab1，所以cos ，所以.3(2018上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC2，则等于()A. B. C. D.答案C解析如图，|2，60，D，E是边BC的两个三等分点，|2|24224.4(2018南昌模拟)在周易中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有238(种)组合方法，这便是系辞传所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是()A. B. C. D.答案B解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为n2664，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为mC20，所以这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是P.5(2018聊城模拟)在ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是ABC所在平面上的任意一点，则的最小值为()A1 B2 C2 D1答案C解析建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)设点P的坐标为(x，y)，则，(x，y)，故22222，当且仅当x0，y1时等号成立所以的最小值为2.6(2018大连模拟)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0<x<1,0<y<1)；若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为m；根据统计数m估计的值假如本次试验的统计结果是m113，那么可以估计的值约为()A. B. C. D.答案A解析由题意，500对都小于1的正实数对(x，y)满足面积为1，设能与1构成锐角三角形的最大角为，则三边的数对(x，y)需满足cos >0且即x2y2>1且面积为1，因为统计能与1构成锐角三角形三边的数对(x，y)的个数m113，所以1，所以.7(2018南平质检)我国古代著名的数学著作有周髀算经、九章算术、孙子算经、五曹算经、夏侯阳算经、孙丘建算经、海岛算经、五经算术、缀术、缉古算机等10部算书，被称为“算经十书”某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是()A乙甲丙丁 B甲丁乙丙C丙甲丁乙 D甲丙乙丁答案D解析由题意可列表格如下：甲乙丙丁甲说丁>乙乙说甲>丙丙说丙>丁丁说丙>乙对于选项A，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项B，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项C，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项D，甲说的对，也正好是最少的，符合，选D.8已知在三角形ABC中，AB<AC，BAC90，边AB，AC的长分别为方程x22(1)x40的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF1，EAF，则tan 的取值范围为 ()A. B.C. D.答案C解析由题意可知AB2，AC2，BC4.建立如图所示的坐标系，则点A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)设，则F(22，2)，E.所以(22，2)34342122316243162.因为点A到BC边的距离d，所以AEF的面积SAEFEF为定值所以tan ，故tan ，故选C.9已知向量a(2,4)，|b|2，|a2b|8，则a在ab方向上的投影为_答案解析由a(2,4)，|b|2，|a2b|8，可知|a|2，(a2b)2a24b24ab64，则ab7，所以a在ab方向上的投影为.10(2018东北师大附中模拟)孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是_答案18解析设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得S55a1360，解得a16，则a5a1(51)361218.11(2018石家庄模拟)已知向量a与b的夹角是，|a|1，|b|，则向量a2b与a的夹角为_答案解析abcos ，a(a2b)a22ab，|a2b|1.设向量a2b与a的夹角为，cos ，又因为0，所以.12(2018宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在张丘建算经中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组的解其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m的值为_答案4解析由得y25x，故x必为4的倍数，当x4t时，y257t，由y257t>0得，t的最大值为3，故判断框应填入的是t<4？，即m4.13(2018湘潭模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCDA1B1C1D1)的粮仓，宽3丈(即AD3丈)，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是_(填写所有正确结论的序号)该粮仓的高是2丈；异面直线AD与BC1所成角的正弦值为；长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为平方丈答案解析由题意，因为10 0002.73045AA1，解得AA120(尺)2(丈)，故正确；异面直线AD与BC1所成角为CBC1，则sinCBC1，故错误，此长方体的长、宽、高分别为4.5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面积为42(平方丈)，所以是正确的14(2018咸阳模拟)已知圆的半径为1，A，B，C，D为该圆上四个点，且，则ABC面积的最大值为_答案1解析如图所示，由知，四边形ABDC为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，四边形ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，ABC的面积SABACAD2，当AD是圆的直径时，ABC的面积最大当ABAC 时，ABC的面积取得最大值41.