立高中数学必修二立体几何知识点总结及例题.docx

精品名师归纳总结立体几何初步一、柱、锥、台、球的图形（ 1）棱柱：（ 2）棱锥（ 3）棱台：（ 4）圆柱：（ 5）圆锥：（ 6）圆台：（ 7）球体：二、空间几何体的三视图三视图：主视图、左视图、俯视图【注：主视图反映了物体的高度和长度。俯视图反映了物体的长度和宽度。左视图反映了物体的高度和宽度。】三、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点： 原先与 x 轴平行的线段仍旧与x 平行且 长度不变 。原先与 y 轴平行的线段仍旧与y 平行, 长度为原先的一半。四、柱体、锥体、台体的表面积与体积（ 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（ 2）特别几何体表面积公式（c 为底面周长, h 为高, h为斜高, l 为母线）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S直棱柱侧面积chS圆锥侧面积rlS圆柱侧S2 rh1 cc h'S正棱锥侧面积S圆台侧面积1 ch'2rR l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S圆柱表2 r rl正棱台侧面积S圆锥表122r rlS圆台表r 2rlRlR 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆柱（ 3）柱体、锥体、台体的体积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V柱ShVShr 2 hV1 Sh锥3V圆锥1r 2 h 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1''V1 S'S'SS h1 r 2rRR2h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V台 SS SS h圆台333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 4）球体的表面积和体积公式：V= 43。 S= 4R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结球五、空间点、直线、平面的位置关系R球面3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公理 1：假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上全部的点都在这个平面内。【 Al, Bl , A, Bl】公理 2： 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面公理 3： 假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。【P .= .】.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行等角定理： 假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。1、空间直线之间的位置关系： 共面直线（相交直线、平行直线）异面直线（ 1）异面直线所成角 ：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角。两条异面直线所成角的范畴是（0°, 90° ,如两条异面直线所成的角是直角,这两条异面直线相互垂直。（ 2）求异面直线所成角步骤：利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特别的位置,顶点选在特别的位置上。证明作出的角即为所求角利用三角形来求角2、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内 有很多个公共点。 【a】直线与平面相交一一有且只有一个公共点。【a A】直线与平面平行一一没有公共点。【a】注：直线与平面相交或平行统称为直线在平面外3、平面与平面之间的位置关系：两平面平行没有公共点。 【】两平面相交有一条公共直线。【 B】六、空间中的平行问题1、直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,就该直线与此平面平行。【线线平行线面平行】线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。 【线面平行线线平行】2、平面与平面平行的判定及其性质（ 1）两个平面平行的判定定理：假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。【线面平行面面平行】假如在两个平面内,各有两组相交 直线对应平行,那么这两个平面平行。【线线平行面面平行】垂直于同一条直线的两个平面平行,（ 2）两个平面平行的性质定理：假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。【面面平行线面平行】假如两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。【面面平行线线平行】七、空间中的垂直问题1、线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直： 假如两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线相互垂直。线面垂直： 假如一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：假如两个平面相交, 所成的二面角 （从一条直线动身的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角）,就说这两个平面垂直。2、垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理： 假如一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直, 那么这条直线垂直这个平面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直。性质定理： 假如两个平面相互垂直, 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。八、 空间角问题1、直线与直线所成的角 两平行直线所成的角：规定为0 。 两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 两条异面直线所成的角： 过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线a,b 平行的直线 a, b,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。2、直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为0o。平面的垂线与平面所成的角：规定为90o 。平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角（思路类似于求异面直线所成角）：“ 一作,二证,三运算 ”。（ 1）作斜线上任意一点到面的垂线。并得到射影。（ 2）连接斜线、垂线、射影构成三角形。（ 3）依据三角形算出斜线与平面的夹角。3、二面角和二面角的平面角（ 1）二面角的定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。（ 2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。（ 3）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面假如所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直。反过来,假如两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角（ 4） 求二面角的方法定义法：在棱上挑选有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角例.下面几何体中,过轴的截面肯定是圆面的是（）A. 圆柱B.圆锥C.球D. 圆台分析： 圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形, 球的轴截面是圆面,所以A 、B、D 均不正确 .答案： C例. 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为（）4,就此正方形的面积是A.16B.64分析： 依据直观图的画法,C.16 或 64平行于 x 轴的线段长度不变,D.都不对平行于 y 轴的线段变为原先的一半,于是长为 4 的边假如平行于 x 轴,就正方形边长为4,面积为 16,边长为 4 的边假如平行于 y 轴,就正方形边长为8,面积是 64.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： C例. 关于 “斜二测画法 ”,以下说法不正确选项（）A. 原图形中平行于 x 轴的线段,其对应线段平行于x 轴,长度不变B. 原图形中平行于 y 轴的线段,其对应线段平行于y 轴,长度变为原先的12C. 在画与直角坐标系xOy 对应的 x O时,y x O必y须是 45°D. 在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同分析： 在画与直角坐标系xOy 对应的 xO时y, xO也y可以是 135°,所以 C 不正确.答案： C例. 一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2 的正三角形, 就原三角形的面积是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 26B. 46C. 3D. 都不对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2分析： 直观图的面积为：1 ×2 ×2 ×sin 60 °= 3。由斜二测法中直观图和原图面积关.直. 观23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系得 .=原图4 ,原三角形的面积 = 24= 2 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： A例. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1 的等腰梯形, 就该平面图形的面积等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122A.B. 1C.12222D. 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 直观图的面积为：（ 1+1+ 2 ×222=1+ 22。由斜二测法中直观图和原图面积关系得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.直观=.原图2,原三角形的面积 =1+ 222 4= 2 + 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4答案： D例（ 2007 宁夏模拟,理 6）长方体 AC 1 的长、宽、高分别为3、2、1,从 A 到 C1 沿长方体的表面的最短距离为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 13答案： CB. 210C. 32D. 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例.（ 2005 湖南数学竞赛, 9）如干个棱长为2、3、5 的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,就正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（）A.64B.66C.68D.70分析： 由 2、3、5 的最小公倍数为 30,由 2、3、5 组成的棱长为30 的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个,所以由2、3、5 组成棱长为 90 的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3 的倍数 .答案： B可编辑资料 - - - 欢迎下载