2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修.doc

5.2正弦函数的性质内容要求1.理解正弦函数ysin x，xR的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难点)知识点1正弦函数的性质函数正弦函数ysin x，xR图像定义域R值域1,1最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1周期性是周期函数，周期为2k(kZ，k0),2是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在2k，2k(kZ)上是增函数；在2k，2k(kZ)上是减函数对称轴xk，kZ对称中心(k，0)，kZ【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ysin(x)为奇函数().(2)函数ysin x，x，的值域是，().(3)函数ysin x在2k，2k(kZ)上是单调递增的().(4)函数ysin x在第一象限内是递增的().题型一与正弦函数有关的值域问题【例1】求下列函数的值域：(1)ysin(2x)，x0，；(2)y2sin2x5sin x2.解(1)0x，02x，2x，令2xt，则原式转化为ysin t，t，由ysin t的图像知y1，原函数的值域为，1(2)y2sin2x5sin x22(sin x)2.1sin x1，ymin2(1)25(1)29，ymax2125121.故函数y2sin2x5sin x2的值域是9,1规律方法1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集注意灵活选择一个周期的图像2求值域时，注意：(1)利用sin x的有界性；(2)利用ysin x的单调性【训练1】(1)函数y2sin x1的值域是()A1，3B1，3C1，1D1,3(2)设函数ysin x的定义域为a，b，值域为，则以下四个结论正确的是_（填序号）ba的最小值为；ba的最大值为；a不可能等于2k(kZ)；b不可能等于2k(kZ)解析(1)画出函数y2sin x1(x)的图像如图所示，当x或x时，最小值为1；当x，最大值为3.(2)由图像知，ba的最大值为(如a，b)；在ba取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取1的最小值点在a，b内，所以ba的最小值为，b可能等于2k(kZ)若a2k(kZ)，则由图像可知函数的最大值为的情况下，最小值不可能为1.所以a不可能等于2k(kZ)答案(1)B(2)题型二正弦函数的周期性与奇偶性【例2】求下列函数的周期：(1)ysinx；(2)y|sin x|.解(1)sinsinsinx，sinx的周期是4.(2)作出y|sin x|的图像，如图故周期为.规律方法1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论2函数ysin x为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性如ysin x，x0,2是非奇非偶函数【训练2】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xsin x；(2)f(x)|sin x|1.解(1)xR，且关于原点对称，又f(x)xsin(x)xsin xf(x)，f(x)为偶函数(2)xR，且关于原点对称，又f(x)|sin(x)|1f(x)，f(x)为偶函数方向1利用正弦函数的单调性比较大小【例31】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin 196与cos 156；(2)sin 1，sin 2，sin 3.解(1)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66，0<16<66<90，sin 16<sin 66.从而sin 16>sin 66，即sin 196>cos 156.(2)1<<2<3<，sin(2)sin 2，sin(3)sin 3.0<3<1<2<且ysin x在上递增，sin(3)<sin 1<sin(2)，即sin 3<sin 1<sin 2.方向2求函数的单调区间【例32】求函数ysin x3的单调区间解ysin x3与ysin x的增减性相反而ysin x的增区间是(kZ)，减区间是(kZ)函数ysin x3的单调增区间是(kZ)，单调减区间为(kZ)方向3求复合函数的单调区间【例33】求函数ylogsin x的单调递增区间解由sin x0得2kx2k，kZ，0<1，函数ylogsin x的递增区间即为usin x0的递减区间2kx2k，kZ.故函数ylogsin x的递增区间即为(kZ)规律方法1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小2求正弦函数的单调区间有二种方法：一是利用ysin x的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图像，从图像上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来.课堂达标1函数f(x)sin的一个递减区间是()A.B，0C. D.解析由x，解得x.故选D.答案D2下列函数中是奇函数的是()Ay|sin x|Bysin(|x|)Cysin |x|Dyxsin |x|解析利用定义，显然yxsin |x|是奇函数答案D3若函数f(x)sin 2xa1是奇函数，则a_.解析由奇函数的定义f(x)f(x)得a1.答案14函数y|sin x|的值域是_解析作出函数y|sin x|的图像(图像略)可知答案0,15求函数y32sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合解1sin x1，当sin x1，x2k，kZ，即x4k，kZ，ymax5，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ；当sin x1，x2k，kZ，即x4k，kZ时，ymin1，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ课堂小结1求正弦函数在给定区间a，b上的值域时，要注意结合图像判断在a，b上的单调性及有界性2利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内3观察正弦曲线不难发现：(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(k，0)(kZ)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是xk(kZ)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.基础过关1函数ycos(xR)是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D无法确定解析ycossin x.答案A2函数f(x)|sin x|的一个递增区间是()A.B.C. D.解析画出函数f(x)|sin x|的图像如图所示，由图像可知是函数f(x)|sin x|的一个递增区间答案C3设M和m分别是函数ysin x1的最大值和最小值，则Mm()A.BCD2解析M1，m1，Mm2.答案D4函数y的定义域是_，单调递减区间是_解析2sin x0，sin x0，2kx2k，kZ，即函数的定义域是2k，2k(kZ)y与ysin x的单调性相反，函数的单调递减区间为(kZ)答案2k，2k(kZ)(kZ)5设acos 29，bsin 144，csin 50，则a，b，c的大小关系为_解析acos 29sin 61，bsin 144sin 36，csin 50，由正弦函数的单调性可知sin 36sin 50sin 61，即bca.答案bca6不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：(1)sin与sin；(2)sin与sin.解(1)因为<<<，且ysin x在上是减少的，所以sinsin.(2)sinsinsinsin ，sinsinsin ，因为0，且ysin x在上是增加的，所以sinsin ，即sinsin.7设|x|，求函数f(x)1sin2 xsin x的最小值解f(x)1sin2xsin x2.|x|，sin x.当sin x时，f(x)min.能力提升8下列不等式中成立的是()AsinsinBsinsinCsin 3sin 2Dsin sin解析ysin x在上为增函数，而，故sinsin，故选A.答案A9设函数f(x)sin |x|，则f(x)()A在区间上是减函数B是周期为2的周期函数C在区间上为增函数D对称中心为(k，0)，kZ解析由图易知，f(x)在上是减函数答案A10若方程sin x在x上有两个不同的实根，则a的取值范围是_解析在同一坐标系中作出函数ysin x，x的图像(图略)，易知，当1，即1a1时，两图像有两个不同的交点，即方程sin x在x上有两个不同的实根答案(1,111函数f(x)2sin2x2sin x，x，的值域是_解析令tsin x，yf(t)，x，sin x1，即t1.y2t22t2(t)21，1y，函数f(x)的值域为1，答案1，12已知函数f(x)2asinb的定义域为，最大值为1，最小值为5，求a和b的值解0x，2x，sin1，易知a0.当a>0时，f(x)max2ab1，f(x)minab5.由解得当a<0时，f(x)maxab1，f(x)min2ab5.由解得13(选做题)已知函数f(x)|sin xa|，aR.(1)试讨论函数f(x)的奇偶性(2)求当f(x)取得最大值时，自变量x的取值范围解(1)当a0时，f(x)是偶函数；当a0时，f(x)是非奇非偶函数(2)当a0且sin x1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为；当a0且sin x1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为；当a0且sin x1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为.