2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章 导数及其应用章末检测试卷（一） .docx

章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1由曲线yx2，直线y0和x1所围成的图形的面积是()A. B.C. D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案C解析由题意知，其围成的图形的面积为x2dx.2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A1 B2C3 D0考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案A解析设极值点依次为x1，x2，x3且a<x1<x2<x3<b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上单调递增，在(x1，x2)，(x3，b)上单调递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点3已知某物体运动的路程与时间的关系为st3ln t，则该物体在t4时的速度为()A. B.C. D.考点求瞬时速度题点用极限的思想求瞬时速度答案D解析s(t)t2，则该物体在t4时的速度为s|t442.4函数f(x)x2ln 2x的单调递减区间是()A. B.C.， D.，考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案A解析因为f(x)2x，所以f(x)0等价于解得0<x.5已知曲线f(x)ln x在点(2，f(2)处的切线与直线axy10平行，则实数a的值为()A. B2C2 D答案D解析f(x)ln x的导数为f(x)，可得曲线f(x)ln x在点(2，f(2)处的切线斜率为，由切线与直线axy10平行，可得a，解得a.故选D.6若函数f(x)2xf(1)x2，则等于()A B.C D考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案C解析f(x)2f(1)2x，则f(1)2f(1)2，f(1)2，f(x)42x，f(1)6，又f(1)2f(1)15，.7下列定积分不大于0的是()A|x|dx B(1|x|)dxC|x1|dx D(|x|1)dx考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案D解析A项，|x|dx2xdx1>0；B项，(1|x|)dx1dx|x|dx21>0；C项，|x1|dx(1x)dx2>0；D项，(|x|1)dx|x|dx1dx12<0，故选D.8若函数y1sin 2x1，函数y2x23，则(x1x2)2(y1y2)2的最小值为()A. B.C.2 D.考点导数的综合运用题点导数的综合运用答案D解析表示两函数图象上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离y12cos 2x1，令y11，cos 2x1，x1x1，y1，故切点坐标为，切点到直线y2的距离为，(x1x2)2(y1y2)2的最小值为.故选D.9设函数f(x)xln x(x>0)，则f(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案C解析由题意得f(x).令f(x)>0得x>3；令f(x)<0得0<x<3；令f(x)0得x3.故函数f(x)在区间(0,3)内为减函数，在区间(3，)内为增函数，在x3处有极小值f(3)1ln 3<0.因为f(1)>0，f(e)1<0，f1>0，所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点10函数f(x)在定义域R上的导函数是f(x)，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)<0.设af(0)，bf()，cf(log28)，则()Ac<a<b Ba>b>cCa<b<c Da<c<b考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案A解析当x(，1)时，(x1)f(x)<0，f(x)>0，f(x)在区间(，1)上为增函数又f(x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(x)在区间(1，)上为减函数af(0)f(2)，bf()，cf(log28)f(3)，c<a<b.11如果函数f(x)在m，n上存在x1，x2(m<x1<x2<n)满足f(x1)，f(x2)，则称函数f(x)是m，n上的“双中值函数”已知函数f(x)x3x2a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.考点数学思想方法在导数中的应用题点转化与化归思想在导数中的应用答案C解析f(x)x3x2a，f(x)3x22x，在区间0，a上存在x1，x2(0<x1<x2<a)，满足f(x1)f(x2)a2a，方程3x22xa2a在区间(0，a)上有两个不相等的解令g(x)3x22xa2a(0<x<a)，解得<a<1.12已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案B解析当a0时，由f(x)3x210，解得x，函数f(x)有两个零点，不符合题意当a>0时，令f(x)3ax26x3ax0，解得x0或x>0，此时f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极大值极小值当x时，f(x)，且f(0)1>0，存在x0<0，使得f(x0)0，不符合题意当a<0时，令f(x)3ax26x3ax0，解得x0或x<0，此时f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x0f(x)00f(x)极小值极大值f(0)1>0，且当x时，f(x)，存在x0>0，使得f(x0)0.又f(x)存在唯一的零点x0，极小值fa3321>0，a>2或a<2.a<0，a<2.综上可知，a的取值范围是(，2)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切线的斜率答案1解析yk，y|x1k10，k1.14已知函数f(x)x3ax在区间(1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案3，)解析由题意知f(x)3x2a0在区间(1,1)上恒成立，则a3x2在区间(1,1)上恒成立，故a3.15.已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：函数f(x)在区间(1，)上是增函数；函数f(x)在区间(1,1)上无单调性；函数f(x)在x处取得极大值；函数f(x)在x1处取得极小值其中正确的说法有_考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案解析由图象上可以发现，当x(1，)时，xf(x)>0，于是f(x)>0，故f(x)在区间(1，)上是增函数，故正确；当x(1,0)时，f(x)<0，所以函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，错误，也错误；当0<x<1时，f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，)上是增函数，所以函数f(x)在x1处取得极小值，正确16若函数f(x)x33a2xa(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为_考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案解析f(x)3x23a2(a>0)，当x<a或x>a时，f(x)>0，当a<x<a时，f(x)<0，则当xa时，f(x)有极小值，当xa时，f(x)有极大值，由题意得解得a>.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知f(x)log3，x(0，)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：f(x)在(0,1)上是减函数，在1，)上是增函数；f(x)的最小值是1.若存在，求出a，b，若不存在，请说明理由考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解设g(x)，则g(x)，f(x)在(0,1)上是减函数，在1，)上是增函数，g(x)在(0,1)上是减函数，在1，)上是增函数，又f(x)的最小值为1，则g(x)的最小值为3，解得经检验，当a1，b1时，f(x)满足题设的两个条件18(12分)设函数f(x)a(x5)26ln x，其中aR，f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值考点函数在某点处取得极值的条件题点含参数求极值问题解(1)f(x)a(x5)26ln x(x>0)，f(x)2a(x5)(x>0)令x1，得f(1)16a，f(1)68a，f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)切线与y轴相交于点(0,6)，616a8a6，a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x>0)，f(x)(x5)(x>0)令f(x)0，得x2或x3.当0<x<2或x>3时，f(x)>0，f(x)在区间(0,2)，(3，)上为增函数；当2<x<3时，f(x)<0，f(x)在区间(2,3)上为减函数故f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2，在x3处取得极小值f(3)26ln 3.19(12分)已知函数f(x)xexxax2.(1)当a时，求f(x)的单调区间；(2)当x0时，f(x)0，求实数a的取值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解(1)当a时，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，则x1或0，当x(，1)时，f(x)>0；当x(1,0)时，f(x)<0；当x(0，)时，f(x)>0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax，则g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)0.若a>1，则当x(0，ln a)时，g(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0，不符合题意综上，实数a的取值范围为(，120(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2a5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)设该产品一年的销售量为Q(x)，则500，所以k500e40，则该产品一年的销售量Q(x)，则该产品一年的利润L(x)(xa30)500e40(35x41)(2)L(x)500e40.若2a4，则33a3135，当35x41时，L(x)0，L(x)单调递减，所以当x35时，L(x)取得最大值为500(5a)e5；若4<a5，则35<a3136，令L(x)0，得xa31，易知当xa31时，L(x)取得最大值为500e9a.综上所述，当2a4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5a)e5万元；当4<a5，且每件产品的售价为(31a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9a万元21(12分)设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小解(1)由f(x)ln x，得f(x)，即g(x)ln x，所以g(x).令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递减当x(1，)时，g(x)>0，故g(x)在(1，)上单调递增，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点所以最小值为g(1)1.(2)gln xx.设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x)0，即h(x)在(0，)上单调递减当x1时，h(1)0，即g(x)g.当0<x<1时，h(x)>h(1)0，即g(x)>g.当x>1时，h(x)<h(1)0，即g(x)<g.22(12分)已知函数f(x)x2mln x，h(x)x2xa.(1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解(1)由f(x)h(x)，得m在(1，)上恒成立令g(x)，则g(x)，当x(1，e)时，g(x)<0；当x(e，)时，g(x)>0，所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增故当xe时，g(x)有最小值且最小值为g(e)e.所以me.即m的取值范围是(，e(2)由题意，得k(x)x2ln xa.令(x)x2ln x，又函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数(x)x2ln x与直线ya有两个不同的交点(x)1，当x(1,2)时，(x)<0，(x)单调递减，当x(2,3)时，(x)>0，(x)单调递增又(1)1，(2)22ln 2，(3)32ln 3，要使直线ya与函数(x)x2ln x有两个交点，则22ln 2<a<32ln 3.即实数a的取值范围是(22ln 2,32ln 3)