四川省成都市新都一中数学选修2-1同步测试：第二章 第12课时 圆锥曲线的综合应用 .docx
第12课时圆锥曲线的综合应用基础达标(水平一 )1.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率是().A.32B.5C.32或52D.32或5【解析】因为m=4,当m=4时,离心率为32,当m=-4时,离心率为5,故选D.【答案】D2.下列说法中不正确的是().A.若动点P与定点A(-4,0),B(4,0)连线PA,PB的斜率之积为定值49,则动点P的轨迹为双曲线的一部分B.设m,nR,常数a>0,定义运算“*”:m*n=(m+n)2-(m-n)2,若x0,则动点P(x,x*a)的轨迹是抛物线的一部分C.已知圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x-1)2+y2=25,动圆M与圆A外切,与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆D.已知点A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线【解析】A选项中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分;B选项中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分;C选项中符合椭圆定义是正确的;D选项中应为双曲线一支.故选D.【答案】D3.已知A是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,G是PF1F2的重心,若GA=PF1,则双曲线的离心率为().A.2B.3C.4D.与的取值有关【解析】因为GA=PF1,所以GAF1,所以|OA|OF1|=|OG|OP|=13,即ac=13,所以e=ca=3,故选B.【答案】B4.已知椭圆的中心在原点,离心率e=12,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆的方程为().A.x24+y23=1B.x28+y26=1C.x22+y2=1D.x24+y2=1【解析】抛物线的焦点为(-1,0),c=1.又椭圆的离心率e=12,a=2,b2=a2-c2=3,椭圆的方程为x24+y23=1,故选A.【答案】A5.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成53两段,则此双曲线的离心率为.【解析】因为抛物线的焦点坐标为b2,0,由题意知b2-(-c)c-b2=53,解得c=2b,所以c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=3c2,所以2a=3c,故e=ca=233.【答案】2336.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角满足cos =-13,则E的离心率为.【解析】设点M在第一象限,ABM是等腰三角形,则有AB=BM,由cos =-13得sin =223,所以M点坐标为a+2a13,2a223,即53a,423a,代入双曲线方程有259-32a29b2=1,b2=2a2,又因为b2=c2-a2,所以c2-a2=2a2,c2a2=3,e=ca=3.【答案】37.已知动直线l的倾斜角为45,若l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且A,B两点纵坐标之和为2.(1)求抛物线方程;(2)若直线l与l平行,且l过原点关于抛物线的准线与x轴的交点的对称点,M为抛物线上一动点,求动点M到直线l的最小距离.【解析】(1)设直线l的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=y-b代入y2=2px,得y2-2py+2pb=0.由题意知y1+y2=2p=2,得p=1.故抛物线方程为y2=2x.(2)抛物线y2=2x的准线与x轴的交点为-12,0,则l过点(-1,0),所以l的方程为y=x+1,故点M(x,y)到直线l的距离d=|x-y+1|2.因为点M(x,y)在抛物线y2=2x上,所以d=y22-y+12=|y2-2y+2|22=|(y-1)2+1|22.故当y=1时,d的最小距离为24.拓展提升(水平二)8.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为().A.214B.6C.8D.12【解析】设点P(x,y),则OPFP=(x,y)(x+1,y)=x2+x+y2,因为点P在椭圆上,所以x24+y23=1,所以x2+x+3-34x2=14x2+x+3=14(x+2)2+2,又-2x2,所以当x=2时,14(x+2)2+2取得最大值为6,即OPFP的最大值为6,故选B.【答案】B9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为42,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p的值为().A.4B.3C.2D.1【解析】抛物线x2=2py的焦点为0,p2,所以可得b=p2,因为2a=42a=22,所以双曲线方程为x28-4y2p2=1,可求得其渐近线方程为y=p42x,不妨设y=kx-1与y=p42x平行,则有k=p42.联立方程y=p42x-1,x2=2py,得x2-p222x+2p=0,所以=-p2222-8p=0,解得p=4,又p>0,故p=4.【答案】A10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,ABC的顶点都在抛物线上,且满足FA+FB=-FC,则1kAB+1kBC+1kCA=.【解析】设A,B,C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).FA+FB=-FC,ABC的重心是F.又抛物线y2=2px的焦点F的坐标为p2,0,y1+y2+y3=0.又点A,B在抛物线上,y12=2px1,y22=2px2,两式相减,得y12-y22=2p(x1-x2),kAB=2py1+y2,同理kBC=2py2+y3,kCA=2py1+y3,1kAB+1kBC+1kCA=y1+y22p+y2+y32p+y3+y12p=y1+y2+y3p=0.【答案】011.已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线C2:x22-y2=1的顶点,直线x+2y=0与椭圆C1交于A,B两点,且点A的坐标为(-2,1),点P是椭圆C1上异于A,B的任意一点,点Q满足AQAP=0,BQBP=0,且A,B,Q三点不共线.(1)求椭圆C1的方程;(2)求点Q的轨迹方程;(3)求ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.【解析】(1)双曲线C2:x22-y2=1的顶点为F1(-2,0),F2(2,0),椭圆C1两焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0).设椭圆C1方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),椭圆C1过点A(-2,1),2a2+1b2=1.a2=b2+2,由解得a2=4,b2=2.椭圆C1的方程为x24+y22=1.(2)设点Q(x,y),点P(x1,y1),由点A(-2,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(2,-1),AQ=(x+2,y-1),AP=(x1+2,y1-1),BQ=(x-2,y+1),BP=(x1-2,y1+1).由AQAP=0,得(x+2)(x1+2)+(y-1)(y1-1)=0,即(x+2)(x1+2)=-(y-1)(y1-1).同理,由BQBP=0,得(x-2)(x1-2)=-(y+1)(y1+1).得(x2-2)(x12-2)=(y2-1)(y12-1).由于点P在椭圆C1上,则x124+y122=1,得x12=4-2y12,代入式得-2(y12-1)(x2-2)=(y2-1)(y12-1).当y12-10时,有2x2+y2=5;当y12-1=0,则点P(-2,-1)或P(2,1),此时点Q对应的坐标分别为(2,1)或(-2,-1),其坐标也满足方程2x2+y2=5.当点P与点A重合时,即点P(-2,1),由得y=2x-3,解方程组2x2+y2=5,y=2x-3,得点Q的坐标为(2,-1)或22,-2.同理,当点P与点B重合时,可得点Q的坐标为(-2,1)或-22,2.点Q的轨迹方程为2x2+y2=5,除去四个点(2,-1),22,-2,(-2,1),-22,2.(3)由于|AB|=(2+2)2+(-1-1)2=23,故当点Q到直线AB的距离最大时,ABQ的面积最大.设与直线AB平行的直线为x+2y+m=0,由x+2y+m=0,2x2+y2=5,消去x,得5y2+42my+2m2-5=0,由=32m2-20(2m2-5)=0,解得m=522.若m=522,则y=-2,x=-22;若m=-522,则y=2,x=22.故当点Q的坐标为22,2或-22,-2时,ABQ的面积最大,其最大值为S=12|AB|22+2212+(2)2=522.
