四川省成都市新都一中数学选修2-2同步测试：第一章 第2课时 导数的几何意义 .docx
第2课时导数的几何意义基础达标(水平一)1.函数f(x)=x2-1在x=1处的导数是().A.0B.1C.2D.以上都不对【解析】f(1)=limx0f(1+x)-f(1)x=limx0(1+x)2-1-(12-1)x=limx0(2+x)=2.【答案】C2.若函数f(x)=ax2+4的图象在点(1,f(1)处的切线斜率为4,则a等于().A.2B.1C.3D.4【解析】由题意得f(1)=limx0a(1+x)2+4-a-4x=limx02ax+a(x)2x=limx0(2a+ax)=2a=4,a=2.【答案】A3.函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的函数图象可能是().【解析】由图可得-1<f(x)<1,切线的斜率k(-1,1),且函数f(x)在R上切线的斜率的变化是先快后慢又变快,结合选项可知选项B符合.【答案】B4.已知抛物线y=f(x)=-2x2+bx+c在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,则b+c的值为().A.20B.9C.2D.-2【解析】因为抛物线y=-2x2+bx+c在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,所以f(2)=1.又点(2,-1)在y=-2x2+bx+c上,所以f(2)=-1,即f(2)=limx0-2(2+x)2+b(2+x)+c+8-2b-cx=1,f(2)=-222+2b+c=-1,解得b=9,c=-11,故b+c=-2.【答案】D5.抛物线y=14x2在点(-2,1)处的切线方程为,倾斜角为.【解析】f(-2)=limx0yx=limx014(-2+x)2-(-2)2x=limx0-1+14x=-1,则切线方程为x+y+1=0,倾斜角为135.【答案】x+y+1=01356.已知函数f(x)=x3-3ax(aR).若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,则实数a的取值范围为.【解析】由题意,得f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=3x2-3a=-1无解,即3x2-3a+1=0无解,故<0,解得a<13.【答案】a<137.已知曲线y=2x2-7,求:(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0;(2)过点P(3,9)且与曲线相切的切线方程.【解析】y=limx0yx=limx02(x+x)2-7-(2x2-7)x=limx0(4x+2x)=4x.(1)设切点为(x0,y0),则4x0=4,x0=1,y0=-5,故切点坐标为(1,-5).(2)设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k=4x0,故切线方程为y-y0=4x0(x-x0).将点P(3,9)及y0=2x02-7代入上式,得9-(2x02-7)=4x0(3-x0),解得x0=2或x0=4,故切点坐标为(2,1)或(4,25),切线斜率k=8或k=16.故所求切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0.拓展提升(水平二)8.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f(1)的值是().A.12B.1C.32D.2【解析】点(1,f(1)在直线x-2y+1=0上,1-2f(1)+1=0,f(1)=1.又f(1)=12,f(1)+2f(1)=1+212=2.故选D.【答案】D9.设P(x0,y0)为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0,4,则点P横坐标的取值范围为().A.-1,-12B.-1,0C.0,1D.12,1【解析】y=limx0(x0+x)2+2(x0+x)+3-x02-2x0-3x=2x0+2,切线倾斜角0,4,切线的斜率k满足0k1,即02x0+21,-1x0-12.【答案】A10.设f(x)为可导函数,且满足limx0f(1+2x)-f(1)x=-2,则函数y=f(x)在x=1处的导数为.【解析】函数y=f(x)在x=1处的导数为f(1)=12limx0f(1+2x)-f(1)x=-1.【答案】-111.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】存在.由导数的定义知y=limx0yx=limx0(x+x)2+1-(x2+1)x=2x.设切点为(t,t2+1),因为y=2x,所以切线的斜率为y|x=t=2t,可得切线方程为y-(t2+1)=2t(x-t).将(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.因为切线有两条,所以=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且实数a的取值范围是(-,2).
