2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章 第二节　两条直线的交点与距离公式 .docx

第二节两条直线的交点与距离公式2019考纲考题考情1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。与AxByC0平行的直线，可设为AxBym0(mC)。(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1l2k1k21。特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。与AxByC0垂直的直线可设为BxAyn0。2两直线相交(1)交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应。(2)相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。(3)平行方程组无解。(4)重合方程组有无数个解。3三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为|AB| 。(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离为d。(3)两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20(C1C2)间的距离为d。4对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0)。(2)设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为P(x，y)，则有可求出x，y。1两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20。2过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2。3点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式。(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等。 一、走进教材1(必修2P101A组T10改编)已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_。解析由题意知1，所以m42m，所以m1。答案12(必修2P114A组T10改编)已知直线3xy30与直线6xmy10平行，则它们之间的距离为()A4 BC D解析由两直线平行，可得m2，直线3xy30变形为6x2y60，所以两直线间的距离d。故选D。答案D二、走近高考3(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A B2C2 D3解析由题意知F(1,0)，直线FM的方程为y(x1)，与y24x联立得y2y40，因为M在x轴上方，解得M的纵坐标为2，则M(3,2)。由l：x1，MNl得N(1，2)，所以直线NF的方程为yx，即xy0，点M到NF的距离d2。故选C。答案C三、走出误区微提醒：判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况；求平行线间距离忽视x，y的系数相同。4若直线l1：xy10与直线l2：xa2ya0平行，则实数a_。解析因为直线l1的斜率k11，l1l2，所以a21，且a1，所以a1。答案15已知P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为_。解析先把两直线方程化为同系数方程：6x8y240和6x8y50，|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，故d。答案6过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为_。解析过两直线交点的直线系方程为x3y4(2xy5)0，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为x3y4(2xy5)0，即3x19y0。答案3x19y0考点一 两条直线的平行与垂直问题【例1】(1)已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3。若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10 B2C0 D8(2)已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_。解析(1)因为l1l2，所以2(m2)，解得m8(经检验，l1与l2不重合)，因为l2l3，所以211n0，解得n2，所以mn10。(2)l1的斜率k1a。当a0时，l2的斜率k2。因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1。当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1l2。综上可知，实数a的值为1或0。答案(1)A(2)1或01讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在。2“直线A1xB1yC10，A2xB2yC20平行”的充要条件是“A1B2A2B1且A1C2A2C1(或B1C2B2C1)”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2B1B20”。 【变式训练】(1)“a2”是“直线axy20与直线2x(a1)y40平行”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件(2)已知倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直，则cos的值为()A BC2 D解析(1)由直线axy20与直线2x(a1)y40平行，得a(a1)2，且4a40，所以a2，所以a2是直线axy20与直线2x(a1)y40平行的充要条件。(2)直线x2y30的斜率为，因为倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直，所以tan2，则coscoscossin2。故选A。答案(1)A(2)A考点二 两条直线的交点与距离问题【例2】(1)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_。(2)(2019广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_。(3)(2019厦门模拟)若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是_。解析(1)由方程组得即P(0，2)。因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即4x3y60。(2)由题意得，点P到直线的距离为。又3，即|153a|15，解之得0a10，所以a的取值范围是0,10。(3)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，解得c2或6。答案(1)4x3y60(2)0,10(3)2或6【互动探究】若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”，如何求解？解由方程组得即P(0,2)。因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即3x4y80。解：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420。因为l与l3平行，所以3(2)(4)(1)0，且(4)(42)5(2)，所以，所以直线l的方程为3x4y80。1求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程。2利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等。 【变式训练】(1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_。(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_。解析(1)如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)。而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2，1)，斜率为k的动直线。因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足kPA<k<kPB。因为kPA，kPB。所以<k<。(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20。由题意知，即|3k1|3k3|，所以k，所以直线l的方程为y2(x1)，即x3y50。当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意。故所求直线l的方程为x3y50或x1。解析：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50。当l过AB的中点时，AB的中点为(1，4)，所以直线l的方程为x1，故所求直线l的方程为x3y50或x1。答案(1)(2)x3y50或x1考点三 对称问题【例3】已知直线l：2x3y10，点A(1，2)。求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程。解(1)设A(x，y)，由已知解得所以A。(2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上。设M(a，b)，则解得M。设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)。又因为m经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m方程为9x46y1020。(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90。解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解。 【变式训练】光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程。解由得所以反射点M的坐标为(1,2)。又取直线x2y50上一点P(5,0)，设P关于直线l的对称点P(x0，y0)，由PPl可知，kPP。而PP的中点Q的坐标为，又Q点在l上，所以3270。由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330。解：设直线x2y50上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P(x，y)，则，又PP的中点Q在l上，所以3270，由可得P点的横、纵坐标分别为x0，y0，代入方程x2y50中，化简得29x2y330。所以所求反射光线所在的直线方程为29x2y330。1(配合例1使用)已知b>1，直线(b21)xay20与直线x(b1)y10互相垂直，则a的最小值等于()A21 B21C22 D22解析因为直线(b21)xay20与直线x(b1)y10互相垂直，所以(b21)a(b1)0，又因为b>1，所以ab1222，当且仅当b1时，等号成立。故选C。答案C2(配合例2使用)已知曲线y在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为()A2xy20B2xy20或2xy180C2xy180D2xy20或2xy180解析y，当x2时，2，因此kl2。设直线l的方程为y2xb，即2xyb0，由题意，得2，解得b18或b2，所以直线l的方程为2xy180或2xy20。故选B。答案B3(配合例3使用)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A3 B6C2 D2解析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线经过的路程为|CD|2。答案C