2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题08数列理.docx

专题08 数列1【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和已知，则ABCD【答案】A【解析】由题知，解得，,故选A【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断2【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3【2019年高考浙江卷】设a，bR，数列an满足a1=a，an+1=an2+b，则A当B当C当D当【答案】A【解析】当b=0时，取a=0，则.当时，令，即.则该方程，即必存在，使得，则一定存在，使得对任意成立，解方程，得，当时，即时，总存在，使得，故C、D两项均不正确.当时，则，.（）当时，则，则，故A项正确.（）当时，令，则，所以，以此类推，所以，故B项不正确.故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.4【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【答案】【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误5【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和，则_.【答案】4【解析】设等差数列an的公差为d,因，所以，即，所以【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案6【2019年高考北京卷理数】设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_【答案】 0，.【解析】等差数列中,得又,所以公差,由等差数列的性质得时,时,大于0,所以的最小值为或,即为.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质,难度不大,注重重要知识基础知识基本运算能力的考查.7【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_.【答案】16【解析】由题意可得：，解得：，则.【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.8【2019年高考全国II卷理数】已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，.（I）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（II）求an和bn的通项公式.【答案】（I）见解析；（2），.【解析】（1）由题设得，即又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列由题设得，即又因为a1b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，9【2019年高考北京卷理数】已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、第im项（i1<i2<<im），若，则称新数列为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列（）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为若p<q，求证：<；（）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，），求数列an的通项公式【答案】() 1,3,5,6（答案不唯一）；()见解析；()见解析.【解析】（）1，3，5，6.（答案不唯一）（）设长度为q末项为的一个递增子列为.由p<q，得.因为的长度为p的递增子列末项的最小值为，又是的长度为p的递增子列，所以.所以（）由题设知，所有正奇数都是中的项.先证明：若2m是中的项，则2m必排在2m1之前（m为正整数）.假设2m排在2m1之后.设是数列的长度为m末项为2m1的递增子列，则是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是中的项.假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k1之前（k=1，2，m1），所以2k和不可能在的同一个递增子列中.又中不超过2m+1的数为1，2，2m2，2m1，2m+1，所以的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为.与已知矛盾.最后证明：2m排在2m3之后（m2为整数）.假设存在2m（m2），使得2m排在2m3之前，则的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于.与已知矛盾.综上，数列只可能为2，1，4，3，2m3，2m，2m1，.经验证，数列2，1，4，3，2m3，2m，2m1，符合条件.所以【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.10【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列已知（）求和的通项公式；（）设数列满足其中（i）求数列的通项公式；（ii）求【答案】（）；（）（i）（ii）【解析】（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意得解得故所以，的通项公式为的通项公式为（）（i）所以，数列的通项公式为（ii）【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力11【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【答案】（1）见解析；（2）bn=n；5.【解析】解：（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.（2）因为，所以由，得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+)+0f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力12【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（I）求数列的通项公式；（II）记证明：【答案】（I），；（II）证明见解析.【解析】（I）设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以（II）我们用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即那么，当时，即当时不等式也成立根据（i）和（ii），不等式对任意成立【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.13【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列中，是方程的两根，则数列的前11项和等于A66B132C66D 32【答案】D【解析】因为，是方程的两根，所以，又，所以，故选D.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.14【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在0,+)上的函数fx满足：当0x<2时，fx=2x-x2；当x2时，fx=3fx-2.记函数fx的极大值点从小到大依次记为a1,a2,an,并记相应的极大值为b1,b2,bn,则a1b1+a2b2+a20b20的值为A19320+1B19319+1C20319+1D20320+1【答案】A【解析】由题意当0x<2时，,极大值点为1，极大值为1，当x2时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列，故an=2n-1.,bn=3n-1,故anbn=2n-13n-1，设S=a1b1+a2b2+a20b20=11+331+532+39319，3S=131+332+39320，两式相减得-2S=1+2(31+32+319)-320=1+231-3191-3-39320=-2-38320S=19320+1，故选：A.【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定an及bn的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题.15【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列an中，a1=2，且，则数列1(an-1)2前2019项和为A40362019B20191010C40372019D40392020【答案】B【解析】：an+an-1=nan-an-1+2（n2），整理得：an-12-an-1-12=n，an-12-a1-12=n+n-1+2，又a1=2，an-12=nn+12，可得：1an-12=2nn+1=21n-1n+1则数列1an-12前2019项和为：21-12+12-13+12019-12020=21-12020=20191010故选：B【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题16【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁“哀”得,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为ABCD【答案】A【解析】设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意得,解得,故选A【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用17【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为_【答案】200【解析】，且，时，两式相减可得，（）即时，即，数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，则数列，则的前10项和为.故答案为200.【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.18【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列中，则的值为_【答案】1【解析】因为所以，,各式相加，可得，所以，故答案为1.【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.19【2019北京市通州区三模数学试题】设是等比数列，且，则的通项公式为_【答案】，.【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以，因此，.故答案为，.【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.20【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为若，（I）求数列与的通项公式；（II）求数列的前项和【答案】（I）；（II）.【解析】（I）由，则，设等差数列的公差为，则，所以.所以.设等比数列的公比为，由题，即，所以.所以；（II），所以的前项和为.【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前项和公式即可，属于常考题型.21【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列的公差是1，且，成等比数列（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和【答案】（I）；（II）.【解析】（I）因为是公差为1的等差数列，且，成等比数列，所以，即，解得.所以.（II），两式相减得，所以.所以.【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型22【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足，且是的等比中项.（I）求数列的通项公式；（II）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值【答案】（I）.（II）8.【解析】（I）设等差数列的公差为，即，是，的等比中项，即，解得.数列的通项公式为.（II）由（I）得.，由，得.使得成立的最大正整数的值为.【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.23【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列满足：，数列中，且，成等比数列.（I）求证：数列是等差数列；（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.【答案】（I）见解析；（II）.【解析】（I），数列是公差为1的等差数列；（II）由题意可得，即，所以，所以，.【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.