2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第三章 第五节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用 .docx

第五节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用2019考纲考题考情考纲要求考题举例考向标签1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题2018全国卷T15(三角函数的零点)2017全国卷T9(三角函数图象平移)2016全国卷T12(三角函数图象对称性、单调性)2016全国卷T7(三角函数图象平移)2016全国卷T14(三角函数图象平移)命题角度：1“五点法”作图及图象变换2函数yAsin(x)的图象3三角函数的综合问题核心素养：直观想象、数学建模1用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示。xx02yAsin(x)0A0A02.函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)的图象的步骤如下3简谐振动yAsin(x)中的有关物理量yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx1函数yAsin(x)k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”。2由ysinx到ysin(x)(>0，>0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度。 一、走进教材1(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y2sin的图象，可以将函数y2sin2x的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案A2(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现。下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y/(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格与相应月份之间的函数关系为_。解析设yAsin(x)B(A>0，>0)，由题意得A1，B6，T4，因为T，所以，所以ysin6。因为当x1时， y6，所以6sin6，结合表中数据得2k，kZ，可取，所以ysin66cosx。答案y6cosx二、走近高考3(2017全国卷)已知曲线C1：ycosx，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析把曲线C1：ycosx各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得曲线ycos2x，再向左平移个单位长度，得曲线ycos2cossinsin。故选D。答案D4(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数为_。解析因为0x，所以3x，由题可知3x，或3x，或3x。解得x或或。故有3个零点。答案3三、走出误区微提醒：横坐标伸缩与的关系不清；搞不清f(x)在x处取最值；确定不了解析式中的值。5函数ysinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是_。解析根据函数图象变换法则可得。答案ysinx6若函数f(x)sinx(0<<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_。解析由题意知当x时，函数取得最大值，所以有sin1，所以2k(kZ)，所以6k(kZ)，又0<<2，所以。答案7已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的初相为_。解析将点(0,1)代入函数表达式可得2sin1，即sin。因为|<，所以。答案考点一 “五点法”作图及图象变换【例1】(1)(2019福建漳州八校联考)若函数f(x)cos，为了得到函数g(x)sin2x的图象，则只需将f(x)的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度(2)(2019景德镇测试)已知函数f(x)4cosxsina的最大值为2。求a的值及f(x)的最小正周期；画出f(x)在0，上的图象。(1)解析函数f(x)cossinsin，为了得到函数g(x)sin2x的图象，则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可。故选A。答案A(2)解f(x)4cosxsina4cosxasin2x2cos2xasin2xcos2x1a2sin1a的最大值为2，所以a1，最小正周期T。由知f(x)2sin，列表：x02x2f(x)2sin120201画图如下：1yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标。2由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 【变式训练】(2018天津高考)将函数ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减解析把函数ysin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)sinsin2x的图象，由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，令k1，得x，即函数g(x)sin2x的一个单调递增区间为。故选A。答案A考点二 函数yAsin(x)的图象【例2】(1)已知函数yAsin(x)(A>0，>0，<<0)的部分图象如图所示，则_。(2)已知函数f(x)Msin(x)的部分图象如图所示，其中A(2,3)(点A为图象的一个最高点)，B，则函数f(x)_。解析(1)由题设图象知，A2，可得f(x)2sin(x)。由函数图象过点(0，1)，可得2sin1，即sin，则2k(kZ)或2k(kZ)。因为<<T，所以<T<，所以<<。由函数图象过点，得sin0，则2k(kZ)。由得(kZ)，又<<0，所以。(2)由题意得M3，T2，所以T6，所以，所以f(x)3sin，将A(2,3)代入可得33sin，因为|<，所以，所以f(x)3sin。答案(1)(2)3sin利用图象求函数yAsin(x)(A>0，>0)的解析式主要从以下三个方面考虑：1根据最大值或最小值求出A的值。2根据周期求出的值。3根据函数图象上的某一特殊点求出的值。 【变式训练】已知函数f(x)2sin(x)(>0，|<)的部分图象如图所示，且A，B(，1)，则值为_。解析根据函数f(x)2sin(x)(>0，|<)的图象，且A，B(，1)，可得从点A到点B正好经过了半个周期，即，所以2。再把点A，B的坐标代入函数解析式可得2sin2sin1,2sin(2)2sin1，所以sin，所以2k或2k，kZ。再结合“五点作图法”，可得。答案考点三 三角函数的综合问题微点小专题方向1：三角函数性质的综合应用【例3】(2019河北名校联考)已知函数f(x)12cosxcos(x3)是偶函数，其中，则下列关于函数g(x)cos(2x)的正确描述是()Ag(x)在区间上的最小值为1Bg(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到Cg(x)的图象的一个对称中心是Dg(x)的一个单调递减区间是解析因为函数f(x)12cosxcos(x3)是偶函数，y1，y2cosx都是偶函数，所以ycos(x3)是偶函数，所以3k，kZ，所以，kZ，又0<<，所以，所以g(x)cos。当x时，2x，cos0,1，故A项错误；f(x)12cosxcos(x)12cos2xcos2x，显然B项错误；当x时，g(x)cos0，故C项正确；当0x时，2x，g(x)cos有增有减，故D项错误。故选C。答案C先将yf(x)化为yAsin(x)B的形式，再借助yAsin(x)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题。 方向2：三角函数零点(方程的根)问题【例4】已知关于x的方程2sin2xsin2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_。解析方程2sin2xsin2xm10可转化为m12sin2xsin2xcos2xsin2x2sin，x。设2xt，则t，所以题目条件可转化为sint，t有两个不同的实数根。所以y1和y2sint，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1)。答案(2，1)【互动探究】本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_。解析由例题知，的取值范围是，所以2m<1，所以m的取值范围是2,1)。答案2,1)三角函数的零点问题可转化为两个函数图象的交点问题。 【题点对应练】1(方向1)将偶函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)在上的最小值是()A2B1CD解析由题意可知f(x)2sin，因为函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，所以g(x)2sin2sin。因为函数f(x)2sin为偶函数，所以k(kZ)，k(kZ)。又因为0<<，所以。所以g(x)2sin。因为x，所以2x，所以sin。所以g(x)2,1，所以函数g(x)在上的最小值为2。故选A。答案A2(方向2)若函数f(x)sin(>0)满足f(0)f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为_。解析因为f(0)f，所以x是f(x)图象的一条对称轴，所以f1，所以k，kZ，所以6k2，kZ，所以T(kZ)。又f(x)在上有且只有一个零点，所以，所以T，所以(kZ)，所以k，又因为kZ，所以k0，所以T。答案1(配合例1使用)函数ysin的图象可以由函数ycos的图象()A向右平移个单位长度得到B向右平移个单位长度得到C向左平移个单位长度得到D向左平移个单位长度得到解析解法一：由ycossin，ysinsin，知函数ysin的图象可以由ycos的图象向右平移个单位长度得到。解法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B。答案B2(配合例2使用)函数f(x)sin(x)的图象如图所示，为了得到g(x)cos的图象，则只需将f(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析根据函数f(x)sin(x)的部分图象知，所以T，即，解得2。根据“五点画图法”可知2，解得，所以f(x)sin。所以g(x)cossinsin。为了得到g(x)的图象，只需将f(x)的图象向左平移个单位长度即可。答案A3(配合例3使用)已知函数f(x)sin(x)，若将函数图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则的取值不可能是()A2B4C6D10解析函数f(x)sin(x)。将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为ysin，由于所得图象关于y轴对称，故函数ysin为偶函数，故k，kZ。将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为ysin，由于所得函数的图象关于原点对称，故函数ysin为奇函数，所以n，nZ。化简可得4(kn)2，即4m2，mZ，即是被4除余2的整数。故选B。答案B4(配合例4使用)函数f(x)3sinxlogx的零点的个数是()A2B3C4D5解析函数f(x)零点个数即为y3sinx与ylogx两函数图象的交点个数，如图，函数y3sinx与ylogx有5个交点。答案D