2019-2020学年新一线同步数学人教B版必修一练习：3.1.3 函数的奇偶性 .docx
3.1.3函数的奇偶性课后篇巩固提升夯实基础1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是()答案B2.(多选)下列函数既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=xC.y=1xD.y=x|x|解析选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项B是奇函数,是增函数;选项C是反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项D,去绝对值号,变为分段函数,符合题意.答案BD3.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()A.4B.0C.2mD.-m+4解析由已知,得f(x)+f(-x)=4,故f(-5)+f(5)=4.答案A4.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0),则不等式f(x-2)>0的解集为()A.x|x<-2或x>4B.x|x<0或x>4C.x|x<0或x>6D.x|x<-2或x>2解析当x0时,令f(x)=2x-4>0,所以x>2.又因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)>0的解集为x|x<-2或x>2.将函数y=f(x)的图像向右平移2个单位长度即得函数y=f(x-2)的图像,故f(x-2)>0的解集为x|x<0或x>4.答案B5.已知y=f(x)是偶函数,且图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是()A.4B.2C.1D.0解析因为f(x)是偶函数且图像与x轴有四个交点,这四个交点每组两个关于原点一定是对称的,故x1+x2+x3+x4=0.答案D6.如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在区间-7,-3上的最(填“大”或“小”)值为.解析由题意知f(3)=5,根据奇函数在对称区间上的单调性一致并结合图像可得f(x)在-7,-3上为增函数,且在-3处取得最大值,f(-3)=-f(3)=-5.答案大-57.设函数y=f(x)是偶函数,它在0,1上的图像如图所示,则它在-1,0上的解析式为.解析由题意知f(x)在-1,0上为一线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b(k0),将(-1,1),(0,2)代入得k=1,b=2.答案f(x)=x+28.已知函数f(x)=-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函数,则m=.解析当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=-x2-2x.f(x)=x2+2x=x2+mx,即m=2.答案29.已知函数f(x)=(x+a)(x+b)(a,bR)为R上的偶函数.(1)求a,b的关系式;(2)求关于x的方程f(x)=0的解集.解(1)f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函数,f(-x)=f(x)对于xR恒成立,(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,即2(a+b)x=0对于xR恒成立,a+b=0,即b=-a.(2)由(1)可知,f(x)=x2-a2.当a=0时,f(x)=x2=0,解得x=0;当a0时,f(x)=x2-a2=0,解得x=a.综上所述,当a=0时,方程f(x)=0的解集为0;当a0时,方程f(x)=0的解集为-a,a.10.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=2x-1.(1)求f(-1)的值;(2)求当x<0时函数的解析式;(3)用定义证明f(x)在(0,+)内是减函数.(1)解因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1)=2-1=1.(2)解当x<0时,-x>0,所以f(-x)=2-x-1.又f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-1=-2x-1.(3)证明设x1,x2是(0, +)内的任意两个不相等的实数,且0<x1<x2,则x=x2-x1>0,y=f(x2)-f(x1)=2x2-1-2x1-1=2x2-2x1=2(x1-x2)x1x2.因为x1-x2=-x<0,x1x2>0, 所以y<0.因此f(x)=2x-1在(0,+)内是减函数.能力提升1.设f(x)是(-,+)内的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x,则f(7.5)等于()A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5解析由已知,可得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-f(3.5)=f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1.5)=-f(2-0.5)=-f(-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案B2.函数f(x),g(x)在区间-a,0)(0,a上都是奇函数且g(x)0,给出下面四个结论:f(x)+g(x)在-a,0)(0,a上是奇函数;f(x)-g(x)在-a,0)(0,a上是奇函数;f(x)g(x)在-a,0)(0,a上是偶函数;f(x)g(x)在-a,0)(0,a上是偶函数.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案D3.若f(x)是奇函数,且在(0,+)上是增函数,又f(-3)=0,则x2f(x)<0的解集是()A.(-3,0)(1,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(0,3)D.(-3,0)(1,3)解析f(x)为奇函数,f(-3)=-f(3)=0,f(3)=0.函数f(x)在(0,+)上是增函数,f(x)在(-,0)上是减函数,对于x2f(x)<0等价于f(x)<0,即x<0,f(x)<0=f(-3)x<-3或x>0,f(x)<0=f(3)0<x<3.综上可得x的范围是(-,-3)(0,3).答案C4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)解析因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x,作出f(x)的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2<a<1,选C.答案C5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+x+1,则f(x)的解析式为.解析设x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以-x3-x+1=-f(x),即f(x)=x3+x-1.所以x<0时,f(x)=x3+x-1,又因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,所以f(x)=x3+x+1(x>0),0(x=0),x3+x-1(x<0).答案x3+x+1(x>0),0(x=0),x3+x-1(x<0)6.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x(x<0),-x2+x(x>0);(2)f(x)=(x+5)2-4,x(-6,-1,(x-5)2-4,x1,6).分析对于分段函数奇偶性的判断,要分段进行讨论,求f(-x)时,注意-x的取值范围.解(1)当x<0时,-x>0,则有f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);当x>0时,-x<0,则有f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x).综上所述,因为对任意不为0的x,都有f(-x)=-f(x)成立,所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为(-6,-11,6),关于原点对称.当x(-6,-1时,-x1,6),f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x);当x1,6)时,-x(-6,-1,f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x).综上可知,对于任意x(-6,-11,6),都有f(-x)=f(x),所以f(x)=(x+5)2-4,x(-6,-1,(x-5)2-4,x1,6)是偶函数.7.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,yR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0,f2=0.(1)求f(0),f()的值;(2)求证:y=f(x)是偶函数.(1)解对任意x,yR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0).又f(0)0,f(0)=1.令x=y=2,则有f()+f(0)=2f2f2,f2=0,f()+f(0)=0.f()=-1.(2)证明令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),f(-y)=f(y).y=f(x)是偶函数.8.函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)内的奇函数,且f12=25.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)内是增函数;(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.分析(1)利用f(0)=0与f12=25解出a,b的值即可;(2)利用函数单调性的定义证明;(3)先将f(t-1)+f(t)<0等价化归为f(t-1)<-f(t)=f(-t),再利用单调性将抽象不等式化为具体不等式.(1)解依题意,得f(0)=0,f12=25,即b1+02=0,a2+b1+14=25,解得a=1,b=0.f(x)=x1+x2.(2)证明设x1,x2是(-1,1)内的任意两个不相等的实数,且-1<x1<x2<1,则x=x2-x1>0,y=f(x2)-f(x1)=x21+x22-x11+x12=(x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22).-1<x1<x2<1,x2-x1=x>0,1+x12>0,1+x22>0,且-1<x1x2<1,1-x1x2>0.y>0.f(x)在(-1,1)内是增函数.(3)解由f(t-1)+f(t)<0,且f(x)为奇函数,得f(t-1)<-f(t)=f(-t).又f(x)在(-1,1)内是增函数,-1<t-1<1,-1<t<1,t-1<-t,解得0<t<12.
