2019-2020学年高中数学北师大版必修4练习：第2章 第4节 平面向量的坐标 .docx
4平面向量的坐标课后篇巩固探究A组基础巩固1.设向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=c(R),则+x的值是()A.-112B.112C.-292D.292答案C2.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=1a+2b,则1,2的值分别为()A.-2,1B.1,-2C.2,-1D.-1,2解析c=1a+2b,(3,4)=1(1,2)+2(2,3).3=1+22,4=21+32,解得1=-1,2=2.答案D3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与AB同方向的单位向量是()A.35,-45B.45,-35C.-35,45D.-45,35解析易得AB=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与AB同方向的单位向量为AB|AB|=15(3,-4)=35,-45,故选A.答案A4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析设a=k1e1+k2e2,A选项,(3,2)=(k2,2k2),k2=3,2k2=2,无解.B选项,(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),-k1+5k2=3,2k1-2k2=2,解得k1=2,k2=1.故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C,D选项同A选项,无解.答案B5.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).答案D6.在ABCD中,若AB=(1,3),AC=(2,5),则AD=,BD=.解析AD=BC=AC-AB=(1,2),BD=AD-AB=(0,-1).答案(1,2)(0,-1)7.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),以e1,e2为基底将a分解为a1e1+a2e2的形式为.解析设a=a1e1+a2e2(a1,a2R),则(-1,2)=a1(1,2)+a2(-2,3)=(a1-2a2,2a1+3a2),所以-1=a1-2a2,2=2a1+3a2,解得a1=17,a2=47.所以a=17e1+47e2.答案a=17e1+47e28.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+b2的值是.解析A,B,C三点共线,AB与AC共线,存在实数,使(a-1,1)=(-b-1,2),a-1=-b-,1=2,解得=12,a+b2=12.答案129.已知边长为2的等边三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量AB,AC,BC,BD的坐标.解如图,等边三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),C(1,3),D12,32,AB=(2,0),AC=(1,3),BC=(1-2,3-0)=(-1,3),BD=12-2,32-0=-32,32.10.设A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当x为何值时,AB与CD共线且方向相同?此时点A,B,C,D能否在同一直线上?解设点O为坐标原点,则根据题意有AB=OB-OA=(2x,2)-(x,1)=(x,1),BC=OC-OB=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2),CD=(5,3x)-(1,2x)=(4,x).由AB与CD共线,得x2-4=0,即x=2.又AB与CD方向相同,x=2.此时,AB=(2,1),BC=(-3,2),而22-1(-3)=70,AB与BC不共线,A,B,C三点不在同一直线上.点A,B,C,D不在同一直线上.11.已知点O是ABC内一点,AOB=150,BOC=90,设OA=a,OB=b,OC=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量AB,BC的坐标.解(1)设点A(x,y),B(x0,y0),|a|=2,且AOx=45,x=2cos 45=2,且y=2sin 45=2.又|b|=3,xOB=90+30=120,x0=3cos 120=-32,y0=3sin 120=332.故a=OA=(2,2),b=OB=-32,332.(2)如图所示,以点O为原点,OA所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.|OB|=1,AOB=150,B(-cos 30,sin 30),B-32,12.|OC|=3,C(-3sin 30,-3cos 30),即C-32,-323.又A(2,0),AB=-32,12-(2,0)=-32-2,12,BC=-32,-323-32,12=3-32,-33-12.B组能力提升1.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“”为mn=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),pq=(-4,-3),则q等于()A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,-1)解析设q=(x,y),由题设中运算法则,得pq=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),即x-2y=-4,y+2x=-3,解得x=-2,y=1.故q=(-2,1).答案A2.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=a+b(,R),则实数m的取值范围是()A.(-,0)(0,+)B.(-,3)C.(-,-3)(-3,+)D.-3,3)解析因为平面上任意向量c都可以用a,b唯一表示,所以a,b是平面向量的一组基底,即a,b为不共线的非零向量,则3m2m-3,即m-3,故选C.答案C3.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC=12BC,连接DC延长至点E,使|CE|=14|ED|,则点E的坐标为.解析AC=12BC,A为BC中点,点C的坐标为(3,-6).又|CE|=14|ED|,且E在DC的延长线上,CE=-14ED.设E(x,y),则(x-3,y+6)=-14(4-x,-3-y).于是x-3=-14(4-x),y+6=-14(-3-y),解得x=83,y=-7.故点E坐标是83,-7.答案83,-74.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+AC(R),试求当点P在第三象限时的取值范围.解由题意得AP=(3+5,1+7).设点P(x,y),则AP=(x-2,y-3).于是(x-2,y-3)=(3+5,1+7),所以x-2=3+5,y-3=1+7,即x=5+5,y=4+7.又点P在第三象限,所以x=5+5<0,y=4+7<0,解得<-1.所以的取值范围为(-,-1).5.导学号93774073如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.解(方法一)设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),则AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),AC=OC-OA=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由AP,AC共线的条件知(4t-4)6-4t(-2)=0,解得t=34,OP=(4t,4t)=(3,3),点P的坐标为(3,3).(方法二)设P(x,y),则OP=(x,y),OP,OB共线,OB=(4,4),4x-4y=0.又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP,CA共线,-6(x-2)+2(6-y)=0.解由组成的方程组,得x=3,y=3,点P的坐标为(3,3).6.导学号93774074已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.(1)证明设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).(2)解f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).(3)解设向量c=(x3,y3),则y3=3,2y3-x3=5,解得x3=1,y3=3,所以c=(1,3).
