2019-2020学年高中数学北师大版必修4练习：第2章 第5节 从力做的功到向量的数量积 .docx
www.ks5u.com5从力做的功到向量的数量积课后篇巩固探究A组基础巩固1.若向量a,b满足|a|=3,ab=-5,则b在a方向上的射影等于()A.15B.-35C.-53D.-15解析b在a方向上的射影为|b|cos =ab|a|=-53=-53.答案C2.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)(m-3n),mn,则k等于()A.43B.34C.-43D.-34解析由mn,得mn=0,由(m+kn)(m-3n),得(m+kn)(m-3n)=0,即|m|2-3k|n|2=0,3k=|m|2|n|2=41=4,k=43.答案A3.若向量a,b的夹角为3,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为()A.6B.3C.23D.56答案A4.若向量a与b不共线,ab0,且c=a-aaabb,则向量a与c的夹角为()A.0B.6C.3D.2解析c=a-aaabb,ac=aa-aaabab=0,a与c的夹角为2.答案D5.如图,已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,则(OA+OB)(OA+OC)等于()A.19B.-19C.16D.-16解析点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,|OA|=|OB|=|OC|=33,AOB=BOC=AOC=23,(OA+OB)(OA+OC)=OA2+OAOC+OAOB+OBOC=332+3332cos23=-16.答案D6.在ABC中,AB=6,O为ABC的外心,则AOAB等于()A.6B.6C.12D.18解析如图,过点O作ODAB于点D,易知AD=12AB=3,则AOAB=(AD+DO)AB=ADAB+DOAB=36+0=18,故选D.答案D7.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)a=0,则a与b的夹角为.解析设a与b的夹角为,由已知得a2=ab,又|a|=1,|b|=2,12cos =1.cos =22.又0,180,=45.答案458.在ABC中,已知|AB|=|AC|=4,且ABAC=8,则ABC的形状为.解析由ABAC=8,得16cos A=8,即cos A=12,A=60,又AB=AC,所以ABC是等边三角形.答案等边三角形9.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则|a+3b|=.解析|a+3b|2=a2+2a3b+9b2=1+612cos 60+94=43,|a+3b|=43.答案4310.已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=21,求值:(1)ab;(2)(2a+b)(a-2b);(3)|2a-3b|.解(1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2,ab=12(|a+b|2-|a|2-|b|2)=12(21-42-52)=-10.(2)(2a+b)(a-2b)=2a2-3ab-2b2=2|a|2-3ab-2|b|2=242-3(-10)-252=12.(3)|2a-3b|=(2a-3b)2=4a2-12ab+9b2=442-12(-10)+952=409.11.如图,在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且ab=bc=cd=da,且ac=bd,则四边形ABCD是什么形状?解a+b+c+d=0,a+b=-(c+d),(a+b)2=(c+d)2,即a2+2ab+b2=c2+2cd+d2.又ab=cd,a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.-,得|b|2=|d|2,变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.ABCD,a=-c.又ab=bc,b(a-c)=0,即b(2a)=0.ab=0,ABBC.故四边形ABCD为正方形.B组能力提升1.若ABBC+AB2=0,则ABC为()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形解析ABBC+AB2=0,ABBC+ABAB=0,AB(BC+AB)=0,ABAC=0,ABAC,A=90,ABC为直角三角形.答案A2.在OAB中,已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线l上的任意一点,则OPAB=()A.6B.-6C.12D.-12解析如图,设AB的中点为M,则OPAB=(OM+MP)AB=OMAB=12(OA+OB)(OB-OA)=12(OB2-OA2)=-6.答案B3.下列四个命题:若a-b=0,则a=b;若ab=0,则a=0或b=0;若R且a=0,则=0或a=0;对任意两个单位向量e1,e2,都有e1e21.其中正确的命题是()A.B.C.D.解析是正确的;因为ab=|a|b|cos =0|a|=0或|b|=0或cos =0a=0或b=0或=90,故是错误的;是正确的;中,e1e2=|e1|e2|cos =cos 1,故是正确的.答案C4.设a,b是非零向量,xR,若函数f(x)=(xa+b)(a-xb)的图像是一条直线,则必有()A.abB.abC.|a|=|b|D.|a|b|解析f(x)=-abx2+(a2-b2)x+ab.f(x)的图像是一条直线,ab=0,ab.答案A5.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E为BC的中点,点F在CD上,若ABAF=3,则AEBF的值是()A.-5-3B.5+3C.4+3D.5-3解析如图所示,过点F作FGAD交AB于点G,易知ABAF=|AB|AF|cosBAF=|AB|AG|=3,故|AG|=3|AB|=1,所以AEBF=(AB+BE)(BC+CF)=ABBC+ABCF+BEBC+BECF=0-3(3-1)+24+0=5+3,故选B.答案B6.在RtABC中,C=90,AC=3,CB=4,设AC=b,CB=a,BA=c,则ab+bc+ca的值为.解析由勾股定理得BA=5,又cos B=45,cos A=35,故ab+bc+ca=0+35-35+45-45=-25.答案-257.平面上三个向量OA,OB,OC满足|OA|=1,|OB|=3,|OC|=1,OAOB=0,则CACB的最大值是.解析CACB=(OA-OC)(OB-OC)=OC2-(OA+OB)OC=1-|OA+OB|OC|cos =1-2cos ,其中为向量OA+OB与OC的夹角,当=时,CACB取得最大值3.答案38.导学号93774076已知向量a,b的夹角为30,且|a|=3,|b|=1,求向量p=a+b与q=a-b夹角的余弦值.解pq=(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=3-1=2.|p|=|a+b|=a2+2ab+b2=3+23cos30+1=7,|q|=|a-b|=a2-2ab+b2=3-23cos30+1=1,设p与q的夹角为,cos =pq|p|q|=271=277.9.导学号93774077证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.证明设平行四边形为ABCD,则AC=AB+BC,AC2=(AB+BC)2=AB2+BC2+2ABBC.因为BC=AD,所以BD=AD-AB=BC-AB,BD2=(BC-AB)2=BC2+AB2-2BCAB.由+,得AC2+BD2=2(AB2+BC2)=AB2+BC2+DC2+AD2.故平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
