三角函数专题总复习知识点总结与经典例题讲解-高三数学 .docx

精品名师归纳总结三角函数专题复习讲义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弧长与扇形面积公式同角三函数的基本关系应用诱导公式运算与化简应用证明恒等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任意角的概念应用角 度 制 与弧度制任 意 角 的三角函数三角函数的应用图象和性质已知三角函数值求角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用和角公式应用倍角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结差角公式应用1、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度。y三角函数线：如右图,有向线段AT与 MP、 OM 分别叫做的正切线、正弦线、余弦线。P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角度制与弧度制的互化：36002 ,1800,AMOxT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1rad 180 ° 57.30 °=57°18 1°180 0.01745（rad ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结003004506009 00120 01350150 018 0027 0036 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结023532643234622、特别角的三角函数值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 00 = 00cos 0 = 10tan 0 = 0sin3 0 = 10203cos30 =20tan3 0 =33sin 45 =202cos 450 =22tan 450 =1sin6 0 =30201cos6 0 =2tan6 00 =3sin9 00 =10cos9 0 =0tan9 00 无 意 义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、弧长及扇形面积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弧长公式：l.r扇形面积公式 :S=1 l .r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径4、任意角的三角函数设 是一个任意角,它的终边上一点p（ x,y ）, r=x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 正弦 sin= y余弦 cos= x正切 tan= yrrx(2) 各象限的符号：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yOx+cossin2yy+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OO+sincostan225. 同角三角函数的基本关系：（1） ）平方关系： sin+ cos=1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）商数关系：6. 诱导公式：sin=tan（cosk, kz）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k把的三角函数化为 的三角函数,概括为： 奇变偶不变,符号看象限。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 sin 2ksin, cos 2kcos, tan 2ktank可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 sinsin, coscos, tantan3 sinsin, coscos, tantan4 sinsin, coscos, tantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 sin2cos, cos2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 sin2cos, cos2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质y=sinxy=cosxy=tanx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域 :RRx | xR, xk2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域 :-1,1-1,1R周期 :2奇偶性 :奇函数2偶函数奇函数单调区间 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结增区间 ;2k ,2k;222k ,2k;k,k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结减区间2对称轴 : x2k, 32k;2k22k,2kxk无减区间无对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称中心 :k,0k,02k,0 （以上 k 均为整数）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点一:求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）这类问题在挑选题、填空题、解答题中显现较多,主要是考查三角的恒等变换及三角函数的基础学问。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、已知函数 fx=log 1 sin x2cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求它的定义域和值域。求它的单调区间。判定它的奇偶性。判定它的周期性。 解 ：（ 1 ） x必 须满 足 sinx-cosx>0, 利 用单位圆 中的 三角 函数 线及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2kx2k 45,kZ 函数定义域为42k,2k45 , kZ4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin xcos x2 sin x 当 x 2k4, 2k45 时, 04sin x1 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0sin xcos2 ylog 1221 函数值域为 1 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） fx定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 fx不具备奇偶性（4） fx+2 =fx 函数 fx最小正周期为 2 注。利用单位圆中的三角函数线可区分sinx-cosx的符号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、化 简 fxcos6k132 xcos6k132x23 sin 32x xR, kZ , 并可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求函数 f x 的值域和最小正周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f xcos2k2x3cos2k2 x323 sin 32 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 cos32 x23 sin 32x4 cos2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以函数 f x 的值域为8、三角函数公式：4,4,最小正周期 T2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两角和与差的三角函数关系sin=sin·coscos·sin cos=cos·cossin·sin倍角公式sin2=2sin·cos cos2=cos2-sin2=2cos2-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantan1tantantantan 2=1-2sin22 tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结降幂公式：升幂公式：1tan 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1+cos= 2 cos 2cos221-cos= 2 sin 2sin221cos 221cos 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结合一变形公式 asin bcos a 2b2sin（ ）a2b2cos（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、常数代换法：如： 12、配角方法：sin 2cos2tancotsec2tan 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、a sinbcosa2b 2sin（其中tanb）的应用,留意a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的符号与象限。5、常见三角不等式：（1）、如 x0,.就sin x 2xtan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、如 x0,.就12sin xcos x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）、nisxocsx1例 3、（ 1）已知 cos2 +5cos =0,求 tan + ·tan 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）已知2 sin sincos 3 cos5 ,求 3 cos 24 sin 2的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：从变换角的差异着手。 2 += + ,= + - 8cos+ +5cos+ - =0 绽开得： 13cos + cos -3sin + sin =0同除以 cos + cos 得： tan +tan =133以三角函数结构特点动身可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 sin sincos 3 cos2 tan tan1 2 tan13tan35 tan =2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3cos2sin 28 sincos33 tan 28 tan7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3 cos 24 sin 2sin 2cos21tan 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22例 4求函数 y=sin x+2sinxcosx+3cos的最大值解： 2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2 x=1,cos 2x=1cos2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=sin2x+2sinxcosx+3cos2 x=sin2x+cos2x+2sinxcosx+2cos 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1+sin2x+2 · 1cos2x 2=sin2x+cos2x+2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=2 sin2x ·cos+cos2x·sin+2=2 sin2x+2444当 2x+=+2k时,y max=2+2 42即 x=+K K Z,y 的最大值为 2+2 8注。齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 正弦定理：abc2R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变形公式有：sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）a2RsinA,b2 Rsin B, c2 Rsin C。（ 2）sin Aa , sin B 2Rb ,sin Cc。2 R2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） sinA : sinB : sin Ca : b : c 等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余弦定理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b2b2c2c2a 2c2 2bc cos A; a2 2ca cos B ; b2 2ab cos C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角形面积定理： S1 ab sin C1 bc sin A1 casin B .22210、利用正弦定理、 余弦定理和三角形内角和定理, 可以解决以下四类解斜三角形问题：（1） ）已知两角和任一边,求其它两边和一角。（2） ）已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角从而进一步求其它的边和角,（3） ）已知三边求三内角。（4） ）已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个内角。11、解斜三角形的应用题的解题步骤：（1） ）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等）。（2） ）依题意画出示意图,并把已知量标在示意图中。（3） ）最终确定用哪个定理转化、哪个定理求解,并进行求解。（4） ）检验并作答 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、函数yA sinx 的图像和性质：作图经常用两种方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五点法：xx03222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象变换法：yA sinx0A0-A0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysin x(1) ysin xysinxyAsinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) ysinxysixx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13、结合函数 yAsinxB（其中 A0,0）的简图可知： 该函数的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大值是 AB ,最小值是 BA ,周期是 T2,频率是 f,相位是 x,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结初相是 。例 4、设函数 fx=2(1) 求的值 ;sinxcos 22cos x sinsinx0 在 x处取最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 在ABC中,a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边 , 已知 a1cos1,b2, f A3, 求角 C.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:（ 1）f x2sin x2cos x sinsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xsinx coscos x sinsinxsinx coscos xsinsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于函数fx在 x处取最小值,所以sin1 , 由诱导公式知 sin1 , 由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0, 所以. 所以2f xsin xcos x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由于f A3, 所以2cos A3, 由于角 A 为ABC 的内角 , 所以2A. 又由于6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1,b2, 所 以 由 正 弦 定 理 , 得sin Bbsin A a212 , 因 为 ba , 所 以22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B或 B3.44733所以当 B时, C; 当 B时, C.4641246412考点三 :关 于三 角函 数的 图 象,立足于正 弦余 弦的图象 , 重 点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。依据图象求函数的表达式,以及三角函数图象的对称性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7（05 年福建）函数 ysinx xR ,0,02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的部分图象如图,就（ C）A,B ,2436C,D,54444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8、（05 年全国卷 17）设函数f xsin 2 x 0, yf x 图像的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一条对称轴是直线 x8 。（）求 。（）求函数 yf x的单调增区间。（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结画出函数 yf x 在区间 0, 上的图像。（本小题主要考查三角函数性质及图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的基本学问,考查推理和运算才能,满分12 分. ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）x是函数 y 8f x 的图像的对称轴,sin 281,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k, kZ.420,3.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由（）知由题意得3,因此 y 42k2 xsin 2 x32 k3.4, kZ.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以函数 ysin 2 x2423的单调增区间为 k, k 485, kZ.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由 ysin 2 x3知4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03578888可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2 1010222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故函数 yf x在区间0,上图像是 略可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点四,三角函数与其它学问交汇设计试题,是突出才能、试题出新的标志,近年来多显现于三角函数与向量等学问交汇。例9（05年江西）已知向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 cosx , tan x 22, b42 sin x2, tan x 42, 令f4xa b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求函数 f x 的最大值,最小正周期,并写出f x 在0 , 上的单调区间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f xa b22 cosxxsin22xtan 42x tan424可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tan xtan x1x2x2x2222 cossincosxx222221tan1tan22xx2 x2sincos2cos1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinxcos x =2 sin x .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f x的最大值为2 ,最小正周期为2 , fx在0,4上单调增加, , 上单42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结调削减.例 10、（05 年山东卷）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知向量求cos2mcos 的值.8,sin和n2sin, cos , ,2, 且 mn82 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： mncossin2, cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mncossin2 2cossin 2422 cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44cos2 14cos 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知 mn82 ,得 cos 57425可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又cos2 cos2 1428可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 cos 2 162825可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos2热点猜测2 ,584859288cos028可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、以下函数中,既是（ 0, ）上的增函数,又是以 为周期的偶函数是2A、y=lgx 2B、y=|sinx|C、y=cosxD、y= 2sin 2 x2、假如函数 y=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=-对称,就 a 值为8A、-2B、-1C、1D、 23、函数 y=Asin x+ （A>0, >0）,在一个周期内,当 x=时, ymax=2。85可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=8时, ymin =-2,就此函数解析式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 y2 sin x24B、 y2 sin2x4C、 y2 sin xD、4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2 sin2x 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、已知 tan ,tan 是方程 x 2 + 等于3 3x4 0 两根,且 , ,就22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、2B、 2或33300C、或32D、33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、函数 fx=3sinx+10+5sinx+70 的最大值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、5.5B、6.5C、7D、86. 方程 sinx=lgx的实根个数是 (A) 1B2 C3D 以上都错 考查三角函数与对数函数的图像 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 在 ABC中, 1 已知 tanA=5sinB=124 ,就 C 有且只有一解, 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 tanA= 12 ,sinB=53 , 就 C有且只有一解,其中正确选项 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 只有1B只有2 C1与2 都正确D1 与2 均不正确 考查综合有关公式,敏捷处理三角形中的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、（20XX年辽宁卷） ABC 的三内角A, B, C 所对边的长分别为a, b, c 设向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pac, b , qba, ca , 如p / q , 就角 C 的大小为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A6BC3D223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、（ 20XX 年辽宁卷）设O 0,0 ,A1,0 ,B0,1 , 点 P 是线段 AB 上的一个动可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点, APAB , 如OP ABPA PB , 就实数的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A11(B) 121C112D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222221122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、 20XX年湖南卷）已知 | a |2|b |0 , 且关于 x 的方程x2| a | xa b0 有可编辑资料