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大学物理角动量角动量守大学物理角动量角动量守恒恒3.5 质心质心 质心运动定理质心运动定理 质心质心-质点系的质量中心。质点系的质量中心。 两个质点的质心两个质点的质心 c 的位置的位置,定义如下定义如下:212211mmrmrmrc 它是物体位置它是物体位置 以质量为以质量为权重权重的的 平均值。平均值。一一. .质心的概念和质心位置的确定质心的概念和质心位置的确定xzy01m2mccr1r2rMmMxmxxc 21MmxMxmxc 212121xMxmMxmx 1122xxmxxM dlmMd m.8042005050 lMmmd得得ccx2x1x2x1mMdxy方法二：方法二： 动量守恒法。动量守恒法。0 xxmvMVxxvMmV x方向：方向：（负号表示什么？）（负号表示什么？）tvMmtVxTxTdd 00 dlMmd lMmmd 位移位移（相同）（相同）mMdvVx设设 ， 如图，从船尾走到船头需时如图，从船尾走到船头需时T,Vv三三. . 质心（参考）系质心（参考）系 1.质心系质心系质心系是固结在质心上的平动参考系，或质心质心系是固结在质心上的平动参考系，或质心在其中静止的平动参考系。在其中静止的平动参考系。质心系不一定是惯性系。质心系不一定是惯性系。 质点系的复杂运动通常可分解为：质点系的复杂运动通常可分解为： 即在质心系中考察质点系的运动。即在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质心系。质点系整体随质心的运动；质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动各质点相对于质心的运动 2. .质心系的基本特征质心系的基本特征0 CiivmvmP所以，质心参考系是所以，质心参考系是 零动量参考系。零动量参考系。例例. 两质点系统，两质点系统，在其质心参考系中，在其质心参考系中，总是具有等值、总是具有等值、反向的动量。反向的动量。ciivmvmp 因质点系的总动量为因质点系的总动量为对质心参考系来说对质心参考系来说质心系中看质心系中看两粒子碰撞两粒子碰撞11vm 22vm 101vm 202vm 第 5 章 角动量 角动量守恒 5.1 质点的角动量质点的角动量 角动量定理角动量定理一一. . 质点（对固定点）质点（对固定点） 的角动量的角动量物理学非常注意守恒量的研究。物理学非常注意守恒量的研究。在天体运动中在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点）常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时转动时, 行星始终在同一个平面内运动的现象。行星始终在同一个平面内运动的现象。例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：银河系中的例如：银河系中的每个恒星都有自己每个恒星都有自己的转动平面。的转动平面。银河系银河系在这些问题中，存在在这些问题中，存在着质点的角动量守恒着质点的角动量守恒的规律。的规律。 sinsinvrmrpL 单位：单位： kg m2/s 或或 J s 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，角动量的大小为角动量的大小为 L = mvR角动量的方向不变。角动量的方向不变。prL 质点对某一固定点的角动量（动量矩）质点对某一固定点的角动量（动量矩） 定义：定义： mO pr LR mOvL二二. . 角动量定理角动量定理tprptrprttLdddd)(dddd F（ -合力）合力）MFrtL dd 所以所以FrM 令令这里这里 先说一说它：先说一说它：rLpm0 tprvmvdd 方向：方向：右手法则右手法则大小：大小： sinrFM 图中图中 r0称为力臂。称为力臂。 sin0rr 0rFM MtL dd 质点对固定点角动量的时间质点对固定点角动量的时间 变化率等于合力对该点的力矩。变化率等于合力对该点的力矩。FrM rMFm0 0r称为力矩（对固定点）称为力矩（对固定点）tLMdd - 质点角动量定理质点角动量定理 的微分形式的微分形式 （对固定点）（对固定点） LtMdd 或或对对 t1t2 时间过程时间过程,有有1221LLtMtt d上式右边为质点角动量的增量上式右边为质点角动量的增量左边称为左边称为冲量矩冲量矩（请对比质点动量定理）。（请对比质点动量定理）。即即“质点对固定点角动量的增量等于该质点质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩所受的合力的冲量矩”。-质点角动量定理质点角动量定理 的积分形式（对固定点）的积分形式（对固定点）三、角动量守恒定律及其应用三、角动量守恒定律及其应用 的的条条件件是是0 M0 F当合外力矩当合外力矩LM时时，0 =常矢量常矢量-质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律（如行星受的万有引力）（如行星受的万有引力）点：点：有心力有心力过固定过固定或或F例例. 证明开普勒第二定律证明开普勒第二定律: vFmrL【解解】 因为是有心力场，因为是有心力场，所以力矩所以力矩 M=0,行星对太阳的矢径在行星对太阳的矢径在 相等的时间内相等的时间内 扫过扫过 相等的面积。相等的面积。 角动量守恒：角动量守恒：常矢量常矢量 vmrLrvm与与所所以以 始终在同一平面内。始终在同一平面内。v2r1rFmrLS r若经若经 时间，时间，t rrrrS 21sin21 扫面速度：扫面速度：trrtStStt 2100limlimdd常量常量 vrtrr2121dd1v2v2r1rLFmr所以地球人造卫星所以地球人造卫星在近地点速度大，在近地点速度大，在远地点速度小。在远地点速度小。1970年年 ，我国发射，我国发射了第一颗地球人造了第一颗地球人造卫星。卫星。近地点高度为近地点高度为 266 km, 速度为速度为 8.13 km/s;远地点高度为远地点高度为 1826 km, 速度为速度为 6.56 km/s;计算出椭圆的面积计算出椭圆的面积,根据根据“扫面速度扫面速度”,就可以得到绕行周期为就可以得到绕行周期为 106分钟。（课下算一下）分钟。（课下算一下）prL FrM tLMdd .const, EWWmgT0动量不守恒动量不守恒 是很明显的。是很明显的。0, 0AA gmrTr角动量不守恒角动量不守恒对对 o点：点：000 gmrTr角动量守恒角动量守恒动量守恒不守恒？动量守恒不守恒？角动量守恒不守恒？角动量守恒不守恒？机械能守恒不守恒？机械能守恒不守恒？讨论锥摆的守恒量讨论锥摆的守恒量0 gmT从守恒条件看：从守恒条件看：Tmg ovAr0r对对点：点：第第13题题. 设地球可看作半径设地球可看作半径 R =6400km 的球体。的球体。 一颗人造地球卫星在地面上空一颗人造地球卫星在地面上空 h=800 km 的的 圆形轨道上以圆形轨道上以 v1=7.5 km/s 的速度绕地球的速度绕地球 运动。今在卫星外侧，点燃一个小火箭运动。今在卫星外侧，点燃一个小火箭,给给 卫星附加一个指向地心的分速度卫星附加一个指向地心的分速度 v2=0.2 km/s.求：此后卫星的椭圆轨道求：此后卫星的椭圆轨道 的近地点和远地点离的近地点和远地点离 地面多少公里？地面多少公里？R地地o1v2v使卫星转为椭圆轨道。使卫星转为椭圆轨道。所以角动量守恒。所以角动量守恒。0 外外因为因为M 设火箭点燃时，设火箭点燃时， 卫星卫星 m 对地心的对地心的 位矢为位矢为 ,rr 在近地点时在近地点时，位矢为，位矢为 ，速度为，速度为 ，则有，则有v vmrvvmr )(2121vv 速度为速度为【解】【解】对对“卫星卫星+ +地球地球”MmR地地rr 1vv 2v0对对“卫星卫星+ +地球地球”因为作椭圆运动时，只有万有引力作功，因为作椭圆运动时，只有万有引力作功，机械能守恒，有机械能守恒，有vmrvvmr )(21vmrvmrvmr 21为零为零)1(1vmrrmv （动量矩）（动量矩）（动量矩）（动量矩） rGMmvmrGMmvvm222212121MmR地地rr 1vv 2v0为了免去为了免去G、M 的计算，通常利用卫星作圆周运动的计算，通常利用卫星作圆周运动时的向心力（即万有引力）来时的向心力（即万有引力）来化简上式：化简上式：21212rvGMrvmrMmG 代入机械能守恒式：代入机械能守恒式： )2(2121212212221vrrvvvv rGMmvmrGMmvvm222212121得得解（解（1）（）（2）联立）联立 - 将（将（1）式的）式的 v 代入（代入（2），）， 022122122221 vrr rvrvv 0121121 rvrvvrvrvvkm.)(.701320578006400572111 vvrvr近地点高度近地点高度km6136400701311 Rrhkm.)(.739720578006400572112 vvrvr远地点高度远地点高度km9976400739722 Rrh同理同理可得可得例例. . 如图所示，光滑水平面中央有一小孔，轻的细如图所示，光滑水平面中央有一小孔，轻的细绳穿过小孔。水平桌面上部分一端拴一质量绳穿过小孔。水平桌面上部分一端拴一质量 的质点，在桌面上沿着半径为的质点，在桌面上沿着半径为 的圆周运动，轻的圆周运动，轻绳下端挂一质量绳下端挂一质量 的重物刚好平衡。今用手将重的重物刚好平衡。今用手将重物向上托起物向上托起 后松开。问：放手后能否保持后松开。问：放手后能否保持平衡？若不平衡，重物向什么方向运动？平衡？若不平衡，重物向什么方向运动？ m1rM1.0 cmMm1rO5.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 一个质点系对一固定点的角动量一个质点系对一固定点的角动量 定义为其中定义为其中各个质点对该固定点的各个质点对该固定点的角动量的矢量和，即角动量的矢量和，即 iiiiiprLL其中其中 ijijiiiifFrMtLdd0irjr1m2mimjmiFjifijf第第 i 质点受到质点受到 的全部力的全部力 ijijiiifFrtLdd将上式对质点系内所有质点求和，得将上式对质点系内所有质点求和，得 iijijiiiiiifrFrtLdd iiiFrM外外 iijijiin)fr(M-各质点所受外力矩各质点所受外力矩 的矢量和称为的矢量和称为 质点系所受合外力矩质点系所受合外力矩-各质点所受内力矩各质点所受内力矩 的矢量和的矢量和式中式中inMMtL 外外dd记作记作0irjr1m2mimjmjirr jifijf ijjijijijifrrfrfr ijf jirr 与与 共线，共线，所以这一对内力矩之和为零。所以这一对内力矩之和为零。同理可得所有内力矩之和为零。同理可得所有内力矩之和为零。于是得于是得tLMdd 外外“一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的 角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率”-质点系的角动量定理质点系的角动量定理 内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，对对i , j 两个质点来说两个质点来说，它们相互作用的内力矩之和为，它们相互作用的内力矩之和为1. 质点系的角动量定理也是适用于质点系的角动量定理也是适用于惯性系惯性系。2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的外力矩和角动量都是相对于惯性系中的 同一固定点同一固定点说的。说的。3. 当合外力矩为零时，质点系总角动量不随当合外力矩为零时，质点系总角动量不随 时间变化，时间变化， -质点系的角动量守恒定律。质点系的角动量守恒定律。 4. 内力矩内力矩不影响质点系总角动量，但可影不影响质点系总角动量，但可影 响质点系响质点系 内内 某些质点的角动量。某些质点的角动量。说明说明例例. . 两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮 的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后 右边的小孩右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓用力向上爬绳，另一个小孩仍抓 住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。 问：哪一个小孩先到达滑轮？问：哪一个小孩先到达滑轮？设滑轮半径为设滑轮半径为R R，两小孩，两小孩的质量分别为的质量分别为m1、m2，【解】【解】把小孩看成质点，把小孩看成质点，以滑轮中心为以滑轮中心为“固定点固定点”，m1= m21m2m(爬爬)(不爬不爬)对对“m1+m2 + + 轻绳轻绳 + + 滑轮滑轮”系统：系统：外力：外力：条件：条件：N,gm,gm210 外外M所以角动量守恒所以角动量守恒设两小孩设两小孩分别以分别以 速度上升。速度上升。21vv,设角动量以指向纸内为正设角动量以指向纸内为正。gm1gm2N0R1m1v1rR0r2v2m2rR 0r111111111111vRmvrRmvrmPrL )(（指向纸内）（指向纸内）111RvmL 222112222222vRmvrRmvrmPrL )(（指向纸外）（指向纸外）222RvmL gm1gm2N0R1m1v1rR0r2v2m2rR 0r系统的角动量守恒：系统的角动量守恒：021 LL02211 RvmRvm2211vmvm 2121vvmm 爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！有人说该系统机械能守恒，对不对？有人说该系统机械能守恒，对不对？有人说该系统动量守恒，对不对？有人说该系统动量守恒，对不对？思考：思考：（启动前）（启动前）（启动后）（启动后） 若若 ，此时系统的角动量，此时系统的角动量 也不守恒了，会出现什么情况？也不守恒了，会出现什么情况？21mm 讨论讨论不对。不对。不对。不对。系统所受的合外力矩为系统所受的合外力矩为（仍以朝向纸内为正）（仍以朝向纸内为正）（1 1）设）设 （右边爬绳的是较轻的小孩）（右边爬绳的是较轻的小孩）21mm 0)21 gRmmM（外外思考思考 ： 的方向是什么？的方向是什么？ 外外M角动量定理角动量定理tLMdd 外外Ld的方向的方向朝向纸外朝向纸外（为负）（为负）初始时小孩未动，初始时小孩未动， 。0L 现在现在 02211 RvmvmLLd2211vmvm 1m2m(爬爬)(不爬不爬)2121vvmm 即质量为即质量为 m2 （轻的轻的、爬的）小孩先到。、爬的）小孩先到。（2）设）设 m2 m1 （右边右边爬绳的小孩较重）爬绳的小孩较重）2211vmvm 1212vvmm 即质量为即质量为 m1 （轻的轻的、不爬的）、不爬的）小孩先到。小孩先到。2211vmvm 总之，总之， 轻的小孩总是先到，轻的小孩总是先到， 爬绳的小孩不一定先到。爬绳的小孩不一定先到。同理可得，同理可得，1m2m(爬爬)(不爬不爬)例例. 一长为一长为 l 的轻质细杆两端分别固接小球的轻质细杆两端分别固接小球 A 和和 B, 杆可绕其杆可绕其中点处的细轴中点处的细轴在光滑水平面上转动。在光滑水平面上转动。 初始时杆静止初始时杆静止,后另一小球后另一小球C以速度以速度v0垂直于杆碰垂直于杆碰A, 碰后与碰后与 A合二而一。设三个小球的质量都是合二而一。设三个小球的质量都是 m, 求求:碰后杆转动的角速度碰后杆转动的角速度 。ABCv0【解解】选系统选系统 : A+B+C答：轴处有水平外力，动量不守恒。答：轴处有水平外力，动量不守恒。 22)2(20lmvlvmlmvlv320 可得可得碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？ 答：轴处有水平外力，但没有外力矩，答：轴处有水平外力，但没有外力矩， 角动量守恒。角动量守恒。碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？2202222 lmlmlmv 即即设碰后设碰后 B 球的速度为球的速度为v,一一. 质心系中的角动量质心系中的角动量 设设O 是惯性系中的一个固定点，是惯性系中的一个固定点，C 是质心、兼质心坐标系原点，是质心、兼质心坐标系原点，) (iiivmrL 质心系中质点系对质心质心系中质点系对质心 的角动量的角动量 质点系对质点系对O点的角动量点的角动量 )(iiivmrL 质心质心C 对对O点的角动量点的角动量 CiCCvmrL)(附附 质心参考系中的角动量质心参考系中的角动量 y x 0ri CO系为惯性系系为惯性系 zimircvivcr式中式中cLLL 有有LLLc 或或质点系对质点系对O点的角动量为点的角动量为iiivrmL y x 0ri CO系为惯性系系为惯性系 zimircvivcr证明证明 iCiCivvrrm iiiCiiiiCCCvrmvrmvmrvmrmrmriiic mvmviiic CLLL iiiCccCCCvrmvrmvmrvmr iiiCccCCCvrmvrmvmrvmrL00质心系中质点系质心系中质点系的角动量，即的角动量，即L 质心相对于质心相对于O点的角动量点的角动量 即即CCLpr LLLC 所以有所以有 vC）（0 ）（0 Cr质点系对质点系对o点的角动量点的角动量 等于等于质心对质心对o点的角动量点的角动量 加上加上质心参考系中质点系对质心的角动量。质心参考系中质点系对质心的角动量。质心系是零动量系质心系是零动量系二二. . 质点系对质心的角动量定理质点系对质心的角动量定理)(ddd dCLLttL iCiiFrFr0iCiFrr )( 外外MFrii )(ddPrLtC tPrPtrtLCCdddddd tLMd d 外外LLLC y x 0ri CO系为惯性系系为惯性系 zimircvivcriF“质点系所受的对质心的合外力矩等于质心参考系中质点系所受的对质心的合外力矩等于质心参考系中 该质点系对质心的角动量的变化率该质点系对质心的角动量的变化率” 质心系中的（对质心）角动量定理质心系中的（对质心）角动量定理tLMd d 外外 这再次显示了质心的特殊之处。这再次显示了质心的特殊之处。这里质心系这里质心系可以不是惯性系！可以不是惯性系！tLMdd 外外对惯性系曾有对惯性系曾有对质心系对质心系tLMd d 外外所以，有时选择质心系来讨论问题有它的优点。注：质心系中的功能原理，质心系中机械能守恒定律，也都与惯性系中形式相同（不管质心系是否为惯性系）。称为称为质心系中的（对质心）角动量守恒质心系中的（对质心）角动量守恒定律。定律。当合外力矩当合外力矩L = 常矢量常矢量时时，外外0 M5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体刚体-形状与大小都不变的物体（理想模型）。形状与大小都不变的物体（理想模型）。 刚体是一个特殊的质点系刚体是一个特殊的质点系 -质点之间的距离与相对位置都保持不变。质点之间的距离与相对位置都保持不变。 刚体的运动基本形式刚体的运动基本形式: 1. 平动平动 2. 转动转动 定轴转动定轴转动 定点转动（有瞬时轴）定点转动（有瞬时轴） 这章学习方法这章学习方法: 对比法（对比质点力学）对比法（对比质点力学）一般运动一般运动(可包括前面两种可包括前面两种)它可分解为以下两种刚体的基本运动它可分解为以下两种刚体的基本运动： 随随基点基点O（可任选）的（可任选）的平动平动 绕通过绕通过基点基点O的的瞬时轴的瞬时轴的定点转动定点转动O O OO 转动与基点的选取无关转动与基点的选取无关两种分解，基点选取不同。两种分解，基点选取不同。例如：例如：平动可以不同，平动可以不同，或或常选常选质心质心为基点。为基点。转动却相同：转动却相同： =当然也有当然也有 d d= 刚体作刚体作定轴转动定轴转动时时, 刚体上各质点都作刚体上各质点都作圆周运动圆周运动。（线位移、（线位移、 线速度、线速度、 线加速度）线加速度）（角位移、角速度、角加速度）（角位移、角速度、角加速度）设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴 z 转动转动, 转动参考方向为转动参考方向为 x。vi, , 定轴定轴zmiRx 大小：大小：tdd 角速度矢量角速度矢量 方向：方向：右手螺旋关系右手螺旋关系 沿轴（有正负）沿轴（有正负）角量完全相同角量完全相同各质点运动的线量一般不同各质点运动的线量一般不同 角加速度角加速度 22ttdddd tdd 大小：大小：方向：方向：当越转越快时，与当越转越快时，与 同方向。同方向。 当当越转越慢越转越慢时，时， 与与 反方向。反方向。 vi, , 定轴定轴zmiRx 当刚体作匀变速转动时当刚体作匀变速转动时 )(const02022000221 ttt，dLMdt外质点系的角动量定理质点系的角动量定理z轴分量轴分量zdLMdtz?irirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr 5.4 定轴转动刚体的角动量定理及守恒定轴转动刚体的角动量定理及守恒irirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrioiiiLrm vo iirviioiiLm r v siniziLLiLizLsini oiim r v izi iiLm rv sinioirrim质元质元到转轴的垂直距离到转轴的垂直距离iivr2()i im r 刚体到转轴的刚体到转轴的转动惯量转动惯量2zi iiJmr2()zi iiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz对固定轴对固定轴MJzJ刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律MJ轴外与牛顿第二定律对比与牛顿第二定律对比amF外刚体到转轴的转动惯量刚体到转轴的转动惯量2i iiJmr 转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义:1. 刚体转动惯性大小的量度刚体转动惯性大小的量度2. 转动惯量与刚体的质量有关转动惯量与刚体的质量有关3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关在质量一定的情况下与质量的分布有关4. J与转轴的位置有关与转轴的位置有关对比刚体的对比刚体的角动量和质点的动量角动量和质点的动量LJmvp 与与对应对应mJdLMdt外质点系的角动量定理质点系的角动量定理z轴分量轴分量zdLMdtz:im质元质元iF对对O点的力矩点的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直（垂直z轴）轴）?oiiiiizirFrFrFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr（垂直（垂直z轴）轴）|iziiMrFsiniiir FizMMzsiniiirF?zizLLiirF 5.4 定轴转动刚体的角动量定理及守恒定轴转动刚体的角动量定理及守恒二、二、转动惯量的计算转动惯量的计算 转动惯量的定义：转动惯量的定义： iiirmJ2 dmrJ2转动惯量由质量对轴的分布转动惯量由质量对轴的分布决定，与下列因素有关：决定，与下列因素有关： （1）密度大小）密度大小 （2）质量分布）质量分布 （3）转轴位置）转轴位置定轴定轴zrimi zzJM 外外转动惯量的意义：转动惯量的意义： J 反映了转动惯性的大小。反映了转动惯性的大小。（实验）（实验）例例: 一均匀细棒长一均匀细棒长 l 质量为质量为 m1) 轴轴 z1 过棒的中心且垂直于棒过棒的中心且垂直于棒2) 轴轴 z2 过棒一端且垂直于棒过棒一端且垂直于棒求求: 上述两种情况下的转动惯量上述两种情况下的转动惯量 odxxxZ 1dxdmdxdmdxdm解解: 棒质量的线密度棒质量的线密度lmlm12zzII2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zzJJ所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义dx oZ 2l2l2l例例:匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图如下图:解解:圆盘半径为圆盘半径为 R, 2RmdmrJz22rdsRrdrr022RrdrRmr0222221mR总质量为总质量为 m .设质量面密度设质量面密度例例:匀质圆环半径为匀质圆环半径为 R,总质量为总质量为 m,求绕垂直求绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量于环面通过中心轴的转动惯量 如下图如下图:ZRdm2zJRd m2Rdm2mR解解:zRrdrdmdSm形状复杂刚体的形状复杂刚体的 J 常通过实验来测定常通过实验来测定.常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的J 很易计算得到。很易计算得到。应记住的几个常用结果应记住的几个常用结果:（1）细圆环）细圆环 2mRJ 2121mlJ c231mlJ A（3）均匀圆盘、圆柱）均匀圆盘、圆柱221mRJ （2）均匀细棒）均匀细棒RmOR mcl ,mAl ,mc 计算转动惯量计算转动惯量 J 的的2条有用的定理：条有用的定理： （1）叠加）叠加定理定理:对同一转轴对同一转轴 J 有可叠加性有可叠加性 （2）平行）平行轴定理轴定理: iJJ2mdJJ cA所以所以 Jc 总是最小的总是最小的.mJACdJC平行平行（证明见书（证明见书 P 115） RMO OmL利用转动惯量的利用转动惯量的可叠加性可叠加性和和平行轴定理：平行轴定理：231mL222)(2131RLMMRmL O J2)(RLM OJ圆盘圆盘细杆细杆写出下面刚体对写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量轴（垂直屏幕）的转动惯量例例.三、三、对定轴的角动量守恒对定轴的角动量守恒讨论力矩对时间的积累效应。讨论力矩对时间的积累效应。利用对质点系的角动量定理：利用对质点系的角动量定理：对点：对点：，外外 tLMdd 对轴：对轴：刚体：刚体： zzJL 1221d zzttzJJtM 外外刚体定轴转动刚体定轴转动的角动量定理的角动量定理，外外 ddtLMzz ，外外 d)d(tJMzz .const0 zzJM ，则，则外外 正、负不变正、负不变大小不变大小不变刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体系：刚体系： M外外z = 0 时，时， .const iizJ 此时角动量可在系统内部各刚体间传递，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。例如例如. 花样滑冰。花样滑冰。注： 对非刚体的定轴转动 ， 若 M外z=0 , 也有J11= J22，（不证）第第1题题. 有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，（1）两个力都平行于轴时，合力矩一定为零。）两个力都平行于轴时，合力矩一定为零。对。对。（ 每个力对轴的力矩皆为零每个力对轴的力矩皆为零）（2）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。对。对。（ 两个力的力矩相反时合力矩为零两个力的力矩相反时合力矩为零）（3）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。错。错。 （ 力等值反向，力矩仍可不等值反向力等值反向，力矩仍可不等值反向）（4）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。错。错。 （ 合力矩为零，两力仍可不等值反向合力矩为零，两力仍可不等值反向）【答】【答】【答】【答】【答】【答】【答】【答】四、刚体定轴转动定律的应用四、刚体定轴转动定律的应用 已知：两物体已知：两物体 m1、m2（m2 m1 ) 滑轮滑轮 m、R, 可看成质量均匀的圆盘可看成质量均匀的圆盘, 轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且（设绳轻，且 不伸长不伸长,与滑轮无相对滑动）。与滑轮无相对滑动）。求求:物体的加速度及绳中张力。物体的加速度及绳中张力。解题思路解题思路;（1）选物体）选物体（2）看运动）看运动（3）查受力（注意）查受力（注意:画隔离体受力图）画隔离体受力图）（4）列方程（注意）列方程（注意:架坐标）架坐标）例例1.m1m2mR因绳不伸长因绳不伸长,有有 a1= a2= a因绳轻因绳轻,有有2211,TTTT 对对m1有有?TT21 对对 m2有有以加速度方向为正，可列出两以加速度方向为正，可列出两式式设出各量如图所示。设出各量如图所示。【解】【解】分别对分别对m1, m2, m 看运动、分析力，看运动、分析力， T1 - m1g = m1a -（1） m2g - T2= m2 a -（2）gm11T1agm22T2amg2T 1T fMNR 对滑轮对滑轮 m 由转动方程由转动方程-（3）三个方程三个方程,四个未知数四个未知数.再从再从运动学关系上有运动学关系上有 Raat - （4）联立四式解得：联立四式解得：(以以“ 方向方向”为正为正) 21221mRJMRTRTf gm2mggm12T 2T1T1T 1a2afMNR mmmRMgmmaf212112 mmmRMgmmaf212112 2222111211mmmRMmgmmmagmTf 2222122122mmmRMmgmmmagmTf 当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时: gmmmma1212 gmmmmTT2121212 （与中学作过的一致！）（与中学作过的一致！）m = 0, Mf = 0 ，有有讨论讨论 已知：如图，已知：如图，R=0.2m，m=1kg，vo=o， h=1.5m，匀加速下落时间，匀加速下落时间 t =3s, 绳、轮无相对滑动，轴光滑。绳、轮无相对滑动，轴光滑。 求：轮对求：轮对o轴轴 J=？ （测定转动惯量（测定转动惯量J 的实验方法之一）的实验方法之一）定轴定轴0Rthmv0= 0绳绳设出各量如图所示。设出各量如图所示。【解】【解】分别对物体分别对物体m 和轮和轮 看运动、分析力，看运动、分析力，例例 2.RmaGgmNTT T【解】：【解】：由动力学关系：由动力学关系：四个未知量四个未知量a,J,T 由运动学关系：由运动学关系：221ath Raat 2212mRhgtJ ）（得得 JTR 对对轮轮：maTmg ：对对m 2mkg.).(411201151238922RmGgmNTT Ta 5.5 转动中的功和能转动中的功和能一一. . 力矩的功力矩的功F对转动（功）无贡献对转动（功）无贡献现在讨论现在讨论力矩对空间的积累效应力矩对空间的积累效应 设刚体上设刚体上P点受到点受到外力外力 的作用，的作用，F0 r drd FP r0 z FFPFrd, 功为功为 , d A位移为位移为 ddsinsindMrFrF 此式称为此式称为力矩的功力矩的功（实质上仍然是力的功）。（实质上仍然是力的功）。(d )AFr对比21dAMdddcosAFrFr0 r drd FP 二二 . . 定轴转动动能定理定轴转动动能定理刚体的定轴转动动能刚体的定轴转动动能:2221 iiirm221 JE K（可对比质点的动能）（可对比质点的动能）2221112221ddddd1122AMJJtJJ 外外定轴转动动能定理定轴转动动能定理.即即K2K1AEE外im0 iriv iiivmE221K2222322312121ccmv/lvmlJ 应该：应该：2222121212121 mlmvJc22223221212121cccmv/lvmlmv mlcvc 0对对c点点第第2题题.刚体的势能等于刚体的势能等于如图所示，某人说：刚体如图所示，某人说：刚体的动能等于的动能等于221cmv你同意吗？你同意吗？cmgh对对0点点C点，点， 相同相同【答】【答】mlcvc 某人说：刚体的角动量某人说：刚体的角动量就是就是2lmvc你同意吗？你同意吗？ccmlvlvmlJ322/312 应该应该 212122/lvmllmvJcc 21212mllmvJccccmlv/lvmllmv32212122 对对c点点【答】【答】1。质心系不必是惯性系。质心系不必是惯性系。刚体平动时，质心的运动完全可以代表刚体平动时，质心的运动完全可以代表 刚体的运动；刚体的运动；刚体转动时，质心的运动不能完全代表刚体转动时，质心的运动不能完全代表 刚体的运动！刚体的运动！刚体质心的运动刚体质心的运动+刚体相对于质心的转动（质心系）刚体相对于质心的转动（质心系）刚体的运动刚体的运动 = 从此题我们可以看到：从此题我们可以看到：2。对刚体上任一点（基点）的转动角速度。对刚体上任一点（基点）的转动角速度 都是相同的。都是相同的。三三 . . 刚体定轴转动的机械能守恒定律刚体定轴转动的机械能守恒定律 刚体的重力势能刚体的重力势能 iighmEp hc-质心的高度质心的高度刚体系刚体系仍是个质点系仍是个质点系,根据质点系的功能原理：根据质点系的功能原理：若若 dA外外+dA内非内非=o，则，则 Ek+Ep=常量常量.- 机械能守恒定律机械能守恒定律cmgh mhmmgii A外外+A内非内非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）mimchihc求求: 杆下摆到杆下摆到 角时，角时， 角速度角速度 ？ 轴对杆的作用力轴对杆的作用力 ？ N【解】【解】“杆杆+地球地球”系统，系统， (1)22204874121mllmmlJ )( (2)由由(1)、(2)解得：解得：lg7sin62 只有重力作功，只有重力作功，E机机 守恒。守恒。 已知：均匀直杆质量为已知：均匀直杆质量为m，长为，长为l，轴，轴o光滑，光滑， 初始静止在水平位置。初始静止在水平位置。4/ lAO 例例3.EP重重=0042120 sinlmgJ0CABl , ml /4 应用应用质心运动定理质心运动定理 求轴对杆的作用力：求轴对杆的作用力：camgmN BCOAl , mNlNtNmgactacllt 24 lalc sin76g Olt cJmglJMlla cos44440 7cos3 g 设轴力设轴力 如图，有如图，有NlclmaNmgl sin ： (3)tctmaNmgt cos ： (4) 代入代入(3)(4) ，得：，得：COABl , mNlNtNlt,sin713 mgNl cos74mgNt tmglmgNcos74sin713 16sin1537222 mgNNNtl)ctg134(tg|tg11 ltNN或或(负号代表什么？负号代表什么？)质量质量 m 长长 l 的均匀细杆可绕过其中点处的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴的水平光滑固定轴 0 转动，如果一质量为转动，如果一质量为 m的小球以速度的小球以速度 竖直落到棒的一端，竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。u例例4.lm uvmo【解解】求：碰后小球的速度及杆的角速度。求：碰后小球的速度及杆的角速度。 杆的角速度杆的角速度 肯定如图，肯定如图， 假设小球碰后瞬时的速假设小球碰后瞬时的速 度度 向上，如图所示。向上，如图所示。v系统系统：小球：小球+杆杆条件条件：M外外=0 角动量守恒角动量守恒 （轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的 内力矩相比可以忽略）内力矩相比可以忽略）)1(212122lvmmllum 因为弹性碰撞因为弹性碰撞, 动能守恒动能守恒)2(2112121212222vmmlum 联立联立(1)(2)解得解得 ;33mmummv lmmum)3(6 讨论讨论1. 量纲量纲 对对2. 0 对对3. 当当 m 3m 时时,v 0（向上）（向上） 当当 m =3m 时时, v = 0（瞬时静止）（瞬时静止） 当当 m 3m 时时,v 0（向下）（向下）第第3题题. 质量质量 m长长 l 的均匀细杆可绕通过其上端的水平的均匀细杆可绕通过其上端的水平 光滑固定轴光滑固定轴 0 转动，质量也是转动，质量也是m 的小球用长度也是的小球用长度也是 l 的轻绳系于上述的轻绳系于上述 0 轴上。设细杆静止在竖直位轴上。设细杆静止在竖直位 置，将小球在垂直于置，将小球在垂直于0 轴的平面内拉开角度为轴的平面内拉开角度为 ， 然后使其自由下摆与杆端发生弹性碰撞，结果使杆然后使其自由下摆与杆端发生弹性碰撞，结果使杆 产生产生 /3 的偏角。求：的偏角。求： =？ 【解解】 小球下摆过程：小球下摆过程： 系统系统：小球：小球+地球地球 条件条件：只有保守力：只有保守力 作功作功 所以所以E机机守恒守恒)1(21)cos1(2vmmgl mlo /3 /3m0 PE条件条件：小球和杆的重力（外力）：小球和杆的重力（外力） 对对0 轴几乎无力矩轴几乎无