高中数学必修常考题型等比数列.docx
精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -等比数列【学问梳理】1 等比数列的定义假如一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示 q 02假如在 a 与 b 中间插入一个数G，使 a，G，b 成等比数列，那么G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满意关系式G ± ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3等比数列 a 的首项为a，公比为 qq 0，就通项公式为：an 1 a q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n【常考题型】1n1题型一、等比数列的判定与证明1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 1】已知数列 an 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，令bn2 an，求证数列 bn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是等比数列，并求其通项公式 解依题意 an 2 n 1× 13 n，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 bn1 3 n2.1 3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn而bn 1211 4n221 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 3数列 bn 是公比为2 的等比数列，通项公式为bn 2.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 定义法：an 1 qq 为常数且q 0或anan an 1 qq 为常数且 q 0，n 2. an 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12 等比中项法：a2 an·an 2an 0， nN * . an 为等比数列3 通项公式法：an a1qn 1其中 a1，q 为非零常数，nN * . an 为等比数列【对点训练】1已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2 an，求证：数列 an 是等比数列 证明： Sn 2 an，Sn 1 2 an 1.an 1Sn 1 Sn 2 an1 2 an an an 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -an 11an.2又S1 2 a1，a1 10.又由 an 1 1an 知 an0， 2an 11 an 2. an 是等比数列 .题型二、等比数列的通项公式【例 2】在等比数列 an 中， 1 a4 2， a7 8，求 an。2 a2 a5 18， a3 a6 9， an 1，求 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解1 由于a4 a1q3，所以a7 a1q6，a1q3 2，a1q6 8，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由得 q3 4，从而 q 34，而 a1q3 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21n12n5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 a1q3，所以 an a1q 2. 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 法一 ：由于a2 a5 a1q a1q4 18，a3 a6 a1q2 a1q5 9，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由得 q1，从而 a1 32.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 an1 1，所以 32× 2n 1 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 26 n20，所以 n6.2.法二 ：由于 a3 a6 q a2a5 ，所以 q 1由 a1qa1 q4 18，得 a1 32.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由 an a1qn 1 1，得 n6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式，an a1 qn 1a1q 0中包含了四个量，已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结·其中的三个量，可以求得另一个量求解时，要留意应用q 0 验证求得的结果【对点训练】2 1如等比数列的前三项分别为5， 15,45 ，就第 5 项是 A 405B 405C135D 1355 a a，就数列 a2 已知等比数列 an 为递增数列，且a210, 2ann 2 5an1n 的通项公式an .解析： 1 选 Aa5 a1q4，而 a1 5，q a23，a1a5 405.2 依据条件求出首项a1 和公比 q，再求通项公式由2an an 2 5an 1. 2q2 5q 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. q 2 或1，由 a2a10 a1 91>0，又数列 an 递增，所以q 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25q >0. a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5a2 a10>0. a1q4 2 a1q9. a1 q 2，所以数列 an 的通项公式为an 2n.答案： 1A22n题型三、等比中项【例 3】设等差数列 an 的公差 d 不为 0， a1 9d，如 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，就k 等于A 2B.4C6D 8k 解析 an n8 d，又a2 a1·a2k ，k 8d 29d·2 k 8d，解得 k 2舍去 ，k 4. 答案 B【类题通法】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -等比中项的应用主要有两点：运算，与其它性质综合应用可以简化运算、提高速度和精确度用来判定或证明等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【对点训练】a3已知 1 既是 a2 与 b2 的等比中项，又是1与1的等差中项，就ba ba2 b2的值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1 或121B.1 或 121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1 或3D 1 或 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 选 D由题意得， a2b2 ab2 1， 112，ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab 1，a b 2ab 1，或a b 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab1因此的值为 1 或.a2 b23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【练习反馈】1等比数列 a 中， aa 10， a a5q 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1A. 4n1346 B.12，就公比4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C2D 8解析： 选 B an 为等比数列， a4 a6a1 a3q3，q31 1 8，q 2.2已知等差数列 an 的公差为3，如 a1， a3，a4 成等比数列，就a2 等于 A 9B.3C 3D 9解析： 选 Da1 a2 3，a3 a2 3， a4 a2 3× 2 a2 6，由于 a1，a3，a4 成等比数列，3就 a2 a1 a4，所以 a2 32 a2 3a2 6，解得 a2 9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3在数列 an 中， a1 2，且对任意正整数n,3an 1 an 0，就 an .解析： 3an 1 an0，an 11 an 3，3因此 an 是以 1为公比的等比数列，.又 a1 2，所以 an 2× 1 n13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 2× 13n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4已知 an 是递增等比数列，a2 2， a4 a3 4，就此数列的公比q .解析： 由题意得2q2 2q4，解得 q 2 或 q 1.又 an 单调递增，得q 1，q 2.答案： 25 1已知 an 为等比数列，且a5 8， a7 2，该数列的各项都为正数，求an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结92 如等比数列 an 的首项 a18，末项 an3 如等比数列 an 中 an 4 a4，求公比q.6a1q4 8，1，公比 q 32，求项数n. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1由已知得a1q 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21q 4得，a1 128可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 0，1q ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 128.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1an 128× 2n 128 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由 an a1qn 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结·得19 2338n 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 2 n1 2333，得 n 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3 an 4 a4qn 4 4 a4qn，又 an 4a4，qn 1，当n 为偶数时， q ±1。当 n 为奇数时， q 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
