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精品名师归纳总结概率论与数理统计第一章随机大事及其概率§ 1.1随机大事一、给出大事描述,要求用运算关系符表示大事： 二、给出大事运算关系符,要求判定其正确性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结古典概型公式： P（A ） =§1.2概率A所含样本点数所含样本点数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有用中常常采纳 “排列组合 ”的方法运算补例 1：将 n 个球随机的放到 n 个盒中去,问每个盒子恰有 1 个球的概率是多少？解：设 A ：“每个盒子恰有 1 个球”。求： PA=？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所含样本点数： nn . nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所含样本点数：n n1) n2 . 1n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P An.nn补例 2：将 3 封信随机的放入 4 个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为 1、2、3 的概率各是多少？解：设 Ai ：“信箱中信的最大封数为 i ”。i =1,2,3求： PAi =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所含样本点数：4 4 44364可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1 所含样本点数： 4 3 224243P A1648可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CA 2 所含样本点数：236可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结433PA2 3696416可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C443A 3 所含样本点数：3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PA3 416416可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：由概率定义得出的几个性质：1、0<P（ A）<12、P=1,P =0§ 1.3概率的加法法就定理：设 A、B 是互不相容 大事（ AB= ）,就：P（ A B）=P（ A）+P（ B） 推论 1：设 A 1、 A 2、 An 互不相容,就PA1+A 2+.+ An= PA1 + PA 2 + + PAn推论 2：设 A 1、 A 2、 An 构成完备大事组,就PA1+A 2+.+ A n=1推论 3： P（A ） =1 P（ A ）推论 4：如 BA,就 PB A= PB PA推论 5（广义加法公式） ：对任意两个大事 A 与 B,有 PAB=PA+PB PA B补充 对偶律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1A2.AnA1A2.An可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1A2.AnA1A2.An可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结§1.4条件概率与乘法法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件概率公式：PA/B=P AB P B（PB0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PB/A=P AB P A（PA 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P（AB ） =P（A/B）P（ B）= P（ B / A） P（A ）有时须与 P（A+B ） =P（A） +P（ B） P（AB ）中的 P（ AB ）联系解题。全概率与逆概率公式：全概率公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P BnP Ai P B /i1Ai 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结逆概率公式：P Ai/ BP Ai BP Bi1,2,., n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 留意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做, 假如要求其次步某大事的概率, 就用全概率公式。 假如求在其次步某大事发生条件下第一步某大事的概率,就用逆概率公式。）§1.5独立试验概型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大事的独立性：A与B相互独立P ABP AP B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结贝努里公式（ n 重贝努里试验概率运算公式）：课本 P24另两个解题中常用的结论 1、定理：有四对大事： A 与 B、A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B , 假如其中有一对相互独立,就其余三对也相互独立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、公式：P A1A2.An 1P A1A2 .An 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次章随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列： 确定各种大事,记为写成一行。运算各种大事概率,记为 p k 写成其次行。得到的表即为所求的分布列。 留意：应符合性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 pk0（非负性）2、pkk1（可加性和规范性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补例 1：将一颗骰子连掷 2 次,以 表示两次所得结果之和, 试写出的概率分布。解：所含样本点数： 6×6=36所求分布列为：pk补例 2：一袋中有 5 只乒乓球,编号 1,2,3, 4, 5,在其中同时取3 只,以 表示取出 3 只球中最大号码,试写出的概率分布。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3解：所含样本点数： 所求分布列为：2、求分布函数 Fx：C 5 =10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布函数F xPxpkxkx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、关于连续型随机变量的分布问题：xR,假如随机变量 的分布函数 F（ x）可写成 F（x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x= x dx,就 为连续型。 x 称概率密度函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题中应当知道的几个关系式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x 0 x dx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P abP abFbF ab xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结345p k1/103/106/10第三章随机变量数字特点一、求离散型随机变量的数学期望 E=？ 数学期望（均值）Exk pkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、设为随机变量,fx 是一般实函数,就=f也是随机变量,求 E=.x1x2xkpkp1p2pk= fy1y2yk以上运算只要求这种离散型的。补例 1：设 的概率分布为： 10121113510101052pk310求：1,2 的概率分布。 E。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于5 10122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1pk51133101010103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 2101225=10144所以,所求分布列为：= 210132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1pk5101425411133510101010和： = pk113310101010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当= 1 时, E=E（ 1）=2× 1 + 1×51 +0×101 +1× 3 +10103 × 3210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1/4当=时, E=E=1× 1 +0×1 +1×1 +4×3 + 25 × 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=27/85101010410可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、求 或的方差 D=？D=？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2有用公式 = E2 E2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中, E2= E2 = 2kxk pk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E2 =kx k pk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补例 2： 202pk0.40.30.3求： E和 D解： E= 2×0.4+0× 0.3+2× 0.3= 0.2E2=（ 2） 2×0.4+02×0.3+22× 0.3=2.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= E2 E 2=2.8（ 0.2）2=2.76可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第四章几种重要的分布常用分布的均值与方差（ 同志们解题必备速查表 ）名称概率分布或密度期望方差参数范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二项Pkk pk qnkCn pn p q0<P<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n分布 k0,1,2,., nq=1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1正态 x2 x 22e2,任意2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布x, . ,为常数.>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结泊松不要求>0分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结指数不要求分布112>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题中常常需要运用的E和 D的性质（ 同志们解题必备速查表 ）E的性质D的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EccD c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EEE如 、 独立,就D DD如 、 独立,就EEEEc c EDc c2D第八章参数估量§ 8.1估量量的优劣标准 （以下可作填空或挑选 ）如总体参数 的估量量为 .,假如对任给的 >0,有lim P .n1 ,就称 .是 的一样估量。假如满意 E .,就称 .是 的无偏估量。假如 . 和 . 均是 的无偏估量, 如 D . 121D . ,就称 . 是212比 . 有效的估量量。§ 8.3区间估量 ： 几个术语1、设总体分布含有一位置参数,如由样本算得的一个统计量11n21n. x ,.,x 及 . x ,.,x ,对于给定的（ 0<<1）满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P . x ,.,x. x ,.,x111n21n,2和112就称随机区间 （ . ）是 的 100（1）的置信区间, .称为的 100（1）的置信下、上限,百分数100（ 1） 称为置信度。一、求总体期望（均值） E的置信区间21、总体方差已知的类型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据 ,得0 U 1 ,反查表（课本 P260 表）得临界值 U。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1nn x =xii1求 d=U置信区间（ x -d ,x +d）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补简例：设总体X N ,0.09随机取 4 个样本其观测值为 12.6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13.4 , 12.8 , 13.2 ,求总体均值的 95%的置信区间。解： 1 =0.95 , =0.05（ U ）=1 =0.975 ,反查表得： U =1.962可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结144 XX ii 11 12.6413.412.813.213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 =0.3 , n=4 d=U=1.96n0.34=0.29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,总体均值的 =0.05 的置信区间为：（ X d, X d）=（130.29 , 130.29 ）即（ 12.71 ,13.29 ）22、总体方差未知的类型（ 这种类型非常重要！务必把握！ ！）据 和自由度 n 1（ n 为样本容量）,查表（课本 P262 表）得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tn1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 nn确定 x =xii1和s21n xn1 i 1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结is求 d=t n1n置信区间（ x -d , x +d）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2注：无特殊声明,一般可保留小数点后两位,下同。二、求总体方差的置信区间据和自由度 n1（ n 为样本数）,查表得临界值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 n确定 X = nxi22和s2n1 和1n Xn12n112ix 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1i 1n1s2n1 s2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上限2 n112下限2 n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结置信区间（下限,上限） 典型例题：2补例 1：课本 P166 之 16已知某种木材横纹抗压力的试验值听从正 态分布,对 10 个试件作横纹抗压力试验得数据如下 （单位：kg/cm ）:482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估量（0.04 ）。解： =0.04 ,又 n=10,自由度 n1=9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结查表得,2 n21 =20.029=19.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n121 =20.989=2.53可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结110 X =xi= 1 482493.469 =457.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 i 110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结110s2 Xxi = 1 457.5482 2+ 457.5493 2+457.5469 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结29 i 19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1240.28 n1s29s291240.28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上限2 n1 =12n1s220.989s29 =92.531240.28=4412.06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下限2 n21 =20.029 =19.7=566.63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4412.06 ）第九章假设检验可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结必需娴熟把握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：1、提出待检假设 H02、挑选统计量3、据检验水平,确定临界值4、运算统计量的值5、作出判定2检验类型： 未知方差,检验总体期望 均值依据题设条件,提出 H0:=0 0 已知 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选统计量 TXs/n t n1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据 和自由度 n1（ n 为样本容量）,查表（课本 P262表）得 t n1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由样本值算出 X ？和 s ？从而得到 T0作出判定X。s/n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如T0如T0tntn1,就接受 H 01,就拒绝 H 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验,抽查 5 个,得到爆破压力的数据（公斤 /寸 2 ）为： 545, 545,530,550,545。依据体会爆破压认为是听从正态分布的, 而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为 549 公斤/寸 2 ,问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=0.05）解： H0:= 549挑选统计量 TXs /n tn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 =0.05 , n1=4,查表得：t0.05 4=2.776可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1又 X =5455.545 =543可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s2= 1 5454545 2.543545 2 =57.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X T0= 543549=1.77<2.776可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s/n57.5 /5接受假设,即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型： 未知期望 均值,检验总体 方差 2依据题设条件,提出 H0:=0 0 已知 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选统计量2 n1n1 s22。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据和自由度 n 1（ n 为样本容量）,查表（课本 P264 表）得临界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2值：1n21 和2 n21 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由样本值算出 X ？和 s ？从而得到20 n1n1 s22。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如1n21 <2 n1 <2n21 就接受假设,否就拒绝 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情形下听从正态分布,折断力 方2差=64,今从一批产品中抽 10 根作折断力试验, 试验结果（单位：公斤）：578,572,570,568,572,570,572,596,584,570。 是否可信任这批铜丝折断力的方差也是64？（ =0.05）解： H0:=64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选统计量2 n1n1 s22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 =0.05 , n1=9,查表得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n121 =20. 9759 =2.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n21 =20.0259=19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 X = 110578.570 =575.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s2= 1 575.29578 2.575.2570 2 =75.73可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 0 n1975.736410.65可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20 .9759=2.7<0 n110.65 <20.0259 =19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2接受假设,即认为这批铜丝折断力的方差也是64。可编辑资料 - - - 欢迎下载