第一章空间向量与立体几何期末数学综合测试卷2--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

新教材高二数学第一学期 期末综合测试卷2空间向量与立体几何第I卷（选择题）一、单选题1下列说法正确的是（       ）A零向量没有方向B空间向量不可以平行移动C如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D同向且等长的有向线段表示同一向量2如图，设，若，则（       ）ABCD3已知空间向量，则（       ）AB19C17D4已知，若，则（       ）ABC11D45已知空间向量，.若，则实数的值为（       ）A2B1C1D26四面体中，则（       ）ABCD7如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，则线段的长为（       ）ABCD8已知，则点C到直线AB的距离为（       ）A3BCD9笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是（       ）A B C D10已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（       ）ABCD第II卷（非选择题）二、填空题11若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是_12已知 =(3，2，1)， (2，1，2)，则=_13在正方体中，直线与所成角的大小为_14一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，以下命题正确的是_.（填序号）；平面；与是异面直线且夹角为；与平面所成的角为；二面角的大小为.15如图，在三棱锥中，平面ABC，于点E，M是AC的中点，则的最小值为_三、解答题16已知点，点P在直线AB上(1)若，写出点P的坐标；(2)若点O是坐标原点，且，写出点P的坐标17正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.(1)证明：；(2)若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.18如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，E，F分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.19如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分20如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，.(1)求证：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值(3)线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.试卷第5页，共5页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1D【解析】【分析】根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.故选：D.2A【解析】【分析】根据向量是线性运算法则，计算即可得答案.【详解】由题意得=.故选：A3D【解析】【分析】先求出的坐标，再求出其模【详解】因为，所以，故，故选：D.4B【解析】【分析】根据空间向量共线的性质进行求解即可.【详解】，因为，所以，解得，故.故选：B5A【解析】【分析】由，得，列方程求解即可【详解】因为，所以，又，所以，得，故选：A.6C【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【详解】解：因为，所以所以，所以，又，所以，所以，因为，所以；故选：C7B【解析】【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.【详解】解：，所以，故选：B8D【解析】【分析】应用空间向量的坐标运算求在上投影长及的模长，再应用勾股定理求点C到直线AB的距离.【详解】因为，所以设点C到直线AB的距离为d，则故选：D9A【解析】由图写出点的坐标，然后再利用关于轴对称的点的性质写出对称点的坐标.【详解】由图可知，点，所以点关于轴对称的点的坐标为.故选：A.10A【解析】【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，运用线面角的向量求解方法可得答案【详解】如图，连接交于点，过点作于，则平面，则，设，则，则根据三角形面积得，代入解得以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，设平面的法向量为，则，即，令，得，所以直线与平面所成的角的余弦值为，故选：11垂直或【解析】【分析】由题意可得与共线，从而可得答案【详解】因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，所以与共线，所以直线l与平面的位置关系为垂直，故答案为：垂直或122【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积公式求解即可【详解】因为，故答案为：213#【解析】【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，用空间向量求解与所成角.【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则，则，所以，故直线与所成角为90°.故答案为：14【解析】【分析】由正方体的平面展开图可得正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】解：由正方体的平面展开图可得正方体（其中与重合），如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，所以，所以，所以，故正确；，所以，即，平面，所以平面，即正确；，显然与是异面直线，设与所成角为，则，因为，所以，故正确；，平面的法向量可以为，设与平面所成的角为，所以，故错误；，设平面的法向量为，则，令，所以，设二面角为，显然二面角为锐二面角，则，所以，故正确；故答案为：15#-0.125【解析】【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.【详解】连接，如图，因平面ABC，平面ABC，则，而，平面PAB，则平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中点，则，又，当且仅当取“=”，所以的最小值为.故答案为：16(1)或；(2).【解析】【分析】(1)由点在直线上得，表示出P的坐标，根据求出即可.(2)根据求出即可.(1)，点在直线上，.由得，或.(2)，.17(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明计算作答.(2)利用(1)中坐标系，证明平面，再求点B到平面的距离即可作答.(1)在正四棱柱中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，因E为棱上的动点，则设，而，即，所以.(2)由(1)知，点，设平面的一个法向量，则，令，得，显然有，则，而平面，因此，平面，于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离，所以直线BE到平面的距离是.18(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系利用向量法证明；（2）利用向量法求直线与平面所成角的正弦值(1)如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系由题得,由题得,设平面的法向量为，所以.所以，因为平面，所以平面.(2)由题得，设直线与平面所成角为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.19(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.（2）选均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.(1)取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，则，而平面，平面，故平面，而，则，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，(2)因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因为，故平面，因为平面，故，若选，则，而，故平面，而平面，故，所以，而，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.若选，因为，故平面，而平面，故，而，故，而，故，所以，故，而，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.20(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.【解析】【分析】（1）根据线面平行、面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理进行证明即可；（2）根据面面垂直的性质，结合正方形的性质建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可；（3）根据空间向量数量积的运算性质，结合面面垂直的判定定理进行求解即可.(1)因为，平面，平面，所以平面，同理，平面，又，所以平面平面，因为平面，所以平面；(2)因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故.而四边形时正方形，所以又，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.设，则，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则，即，令，则，所以.设平面与平面所成锐二面角的大小为，则.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.(3)若与重合，则平面的一个法向量，由（2）知平面的一个法向量，则，则此时平面与平面不垂直.若与不重合，如图设，则，设平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，若平面平面等价于，即，所以.所以，线段上存在点使平面平面，且.答案第19页，共14页