2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题03导数及其应用文.docx

专题03 导数及其应用1【2019年高考全国卷文数】曲线y=2sinx+cosx在点(，-1)处的切线方程为ABCD【答案】C【解析】则在点处的切线方程为，即故选C【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程2【2019年高考全国卷文数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则ABa=e，b=1CD，【答案】D【解析】切线的斜率，将代入，得.故选D【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.3【2019年高考浙江】已知，函数若函数恰有3个零点，则Aa<1，b<0 Ba<1，b>0Ca>1，b<0Da>1，b>0【答案】C【解析】当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x=b1-a，则yf（x）axb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2+axaxb=13x3-12（a+1）x2b，当a+10，即a1时，y0，yf（x）axb在0，+）上单调递增，则yf（x）axb最多有一个零点，不合题意；当a+10，即a>1时，令y0得x(a+1，+），此时函数单调递增，令y0得x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数yf（x）axb恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如图：b1-a0且-b013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b0，解得b0，1a0，b-16（a+1）3，则a>1，b<0.故选C【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解4【2019年高考全国卷文数】曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求5【2019年高考天津文数】曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】，故所求的切线方程为，即.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（1）以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f(x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简（2）如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程6【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 .【答案】4【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.7【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .【答案】【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点，则.又，当时，则曲线在点A处的切线为，即，将点代入，得，即，考察函数，当时，当时，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点8【2019年高考全国卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）设，则.当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（2）由题设知，可得a0.由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当时，ax0，故.因此，a的取值范围是.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.9【2019年高考全国卷文数】已知函数证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）的定义域为（0，+）.因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，故存在唯一，使得.又当时，单调递减；当时，单调递增.因此，存在唯一的极值点.（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.10【2019年高考天津文数】设函数，其中.（1）若a0，讨论的单调性；（2）若，（i）证明恰有两个零点；（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.【答案】（1）在内单调递增.；（2）（i）见解析；（ii）见解析.【解析】（1）解：由已知，的定义域为，且.因此当a0时，从而，所以在内单调递增.（2）证明：（i）由（）知.令，由，可知在内单调递减，又，且.故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.当时，所以在内单调递增；当时，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，故在内单调递减，从而当时，所以.从而，又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.（ii）由题意，即从而，即.因为当时，又，故，两边取对数，得，于是，整理得.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.11【2019年高考全国卷文数】已知函数（1）讨论的单调性；（2）当0<a<3时，记在区间0，1的最大值为M，最小值为m，求的取值范围【答案】（1）见详解；（2）.【解析】（1）令，得x=0或若a>0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在0,1的最小值为，最大值为或.于是，所以当时，可知单调递减，所以的取值范围是当时，单调递增，所以的取值范围是综上，的取值范围是【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.12【2019年高考北京文数】已知函数（1）求曲线的斜率为1的切线方程；（2）当时，求证：；（3）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值【答案】（1）与；（2）见解析；（3）.【解析】（1）由得令，即，得或又，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与（2）令由得令得或的情况如下：所以的最小值为，最大值为故，即（3）由（2）知，当时，；当时，；当时，综上，当最小时，【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13【2019年高考浙江】已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围注：e=2.71828为自然对数的底数【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.【解析】（1）当时，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）（2）由，得当时，等价于令，则设，则（i）当时，则记，则.故10+单调递减极小值单调递增所以，因此，（ii）当时，令，则，故在上单调递增，所以由（i）得，所以，因此由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有综上所述，所求a的取值范围是【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题（4）考查数形结合思想的应用14【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为，所以因为，所以，解得（2）因为，所以，从而令，得或因为都在集合中，且，所以此时，令，得或列表如下：1+00+极大值极小值所以的极小值为（3）因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为由，得列表如下：+00+极大值极小值所以的极大值解法一：因此解法二：因为，所以当时，令，则令，得列表如下：+0极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故所以当时，因此【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力15【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是A(0,1B1,+)C(-,-1(0，1D-1,0)(0,1【答案】A【解析】f(x)=2x-2x=2x2-2x(x>0)，令f(x)0，解得：0<x1.故选A【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为ABCD【答案】B【解析】，联立，解得，则，切线方程为：，即.故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.17【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数的最小值为ABCD【答案】C【解析】由题得，令，解得，则当时，为减函数，当时，为增函数，所以处的函数值为最小值，且.故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.18【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax2+xlnx-x存在单调递增区间，则a的取值范围是ABCD【答案】B【解析】，在x上成立，即ax+0在x上成立，即a在x上成立令g（x），则g（x），g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增，g（x）的最小值为g（e）=，a故选B【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题19【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足xf(x)-f(x)<0，且f(2)=2，则fex-ex>0的解集是A(-,ln2)B(ln2,+)C0,e2De2,+【答案】A【解析】令gx=fxx,gx=xfx-fxx2<0,g(x)在(0,+)上单调递减，且g2=f22=1,故fex-ex>0等价为fexex>f22，即gex>g2，故ex<2,即x<ln2，则所求的解集为(-,ln2).故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题.20【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a=ln33，b=e-1，c=3ln28，则a,b,c的大小关系为Ab<c<aBa>c>bCa>b>cDb>a>c【答案】D【解析】依题意，得，.令fx=lnxx，所以fx=1-lnxx2.所以函数fx在0,e上单调递增，在e,+上单调递减，所以fxmax=fe=1e=b，且f3>f8，即a>c，所以b>a>c.故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数是解题的关键，属于中档题.21【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知fx=lnx+1-aex，若关于x的不等式fx<0恒成立，则实数a的取值范围是ABCD【答案】D【解析】由恒成立得恒成立，设，则.设，则恒成立，gx在0,+上单调递减，又g1=0，当0<x<1时，gx>g1=0，即hx>0；当x>1时，gx<g1=0，即hx<0，hx在0,1上单调递增，在1,+上单调递减，h(x)max=h(1)=1e，a>1e.故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.22【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若是函数的极值点，则的值为A-2B3C-2或3D-3或2【答案】B【解析】，由题意可知，即或，当时，当或时，函数单调递增；当时，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去.故.故选B【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.23【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为ABCD【答案】A【解析】设，因为为上的奇函数，所以，即为上的奇函数对求导，得，而当时，有，故时，即单调递增，所以在上单调递增，则不等式即，即，即，所以，解得.故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.24【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线在点处的切线与直线垂直，则_.【答案】【解析】因为，所以，因此，曲线在点处的切线斜率为，又该切线与直线垂直，所以.故答案为.【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.25【河南省新乡市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】已知函数f(x)=ex-alnx在1,2上单调递增，则a的取值范围是_.【答案】(-,e【解析】由题意知f(x)=ex-ax0在1,2上恒成立，则a(xex)min，令g(x)=xex，知g(x)在1,2上单调递增，则g(x)的最小值为g1=e，故ae.故答案为(-,e.【名师点睛】对于恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.26【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是_【答案】【解析】作出函数的图象如图所示，由，可得，即，不妨设，则，令，则，令，则，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，取得最大值，为.故答案为.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，其中是自然对数的底数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增，无极值；当时，在和单调递增，在单调递减，极大值为，极小值为.【解析】（1）由题意，所以当时，因此曲线在点处的切线方程是，即.（2）因为，所以，令，则，令得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，也就说，对于恒有.当时，在上单调递增，无极值；当时，令，可得当或时，单调递增，当时，单调递减，因此，当时，取得极大值；当时，取得极小值.综上所述：当时，在上单调递增，无极值；当时，在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为，极小值为.【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题28【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx-ax，g(x)=x2，aR.（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a，无极小值点.（2）a-1.【解析】（1）的定义域为0,+，fx=1x-a，当a0时，fx=1x-a>0，所以fx在0,+上单调递增，无极值点；当a>0时，解fx=1x-a>0得0<x<1a，解fx=1x-a<0得x>1a，所以fx在0,1a上单调递增，在1a,+上单调递减，所以函数fx有极大值点，为1a，无极小值点.（2）由条件可得lnx-x2-ax0(x>0)恒成立，则当x>0时，alnxx-x恒成立，令hx=lnxx-x(x>0)，则hx=1-x2-lnxx2，令kx=1-x2-lnx(x>0)，则当x>0时，kx=-2x-1x<0，所以kx在0,+上为减函数.又k1=0，所以在0,1上，hx>0；在1,+上，hx<0.所以hx在0,1上为增函数，在1,+上为减函数，所以hxmax=h1=-1，所以a-1.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx-xex+ax(aR).（1）若函数f(x)在1,+)上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若a=1，求f(x)的最大值.【答案】（1）a2e-1；（2）f(x)max=-1.【解析】（1）由题意知，f(x)=1x-(ex+xex)+a=1x-(x+1)ex+a0在1,+)上恒成立，所以a(x+1)ex-1x在1,+)上恒成立.令g(x)=(x+1)ex-1x，则g(x)=(x+2)ex+1x2>0，所以g(x)在1,+)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=2e-1，所以a2e-1.（2）当a=1时，f(x)=lnx-xex+x(x>0).则f(x)=1x-(x+1)ex+1=(x+1)(1x-ex)，令m(x)=1x-ex，则m(x)=-1x2-ex<0，所以m(x)在(0,+)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)=0，即ex0=1x0.当x(0,x0)时，m(x)>0，f(x)>0；当x(x0,+)时，m(x)<0，f(x)<0.所以f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+)上单调递减.所以f(x)max=fx0=lnx0-x0ex0+x0，因为ex0=1x0，所以x0=-lnx0，所以f(x0)=-x0-1+x0=-1，所以f(x)max=-1.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知函数f(x)=exex-ax+a有两个极值点x1，x2.（1）求a的取值范围；（2）求证：2x1x2<x1+x2.【答案】（1）(2e,+)；（2）见解析.【解析】（1）因为f(x)=exex-ax+a，所以f(x)=exex-ax+a+exex-a=ex2ex-ax，令f(x)=0，则2ex=ax，当a=0时，不成立；当a0时，令，所以，当x<1时，g(x)>0，当x>1时，g(x)<0，所以g(x)在(-,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，又因为，当x-时，g(x)-，当x+时，g(x)0，因此，当时，f(x)有2个极值点，即a的取值范围为(2e,+).（2）由（1）不妨设0<x1<1<x2，且，所以ln2+x1=lna+lnx1ln2+x2=lna+lnx2，所以x2-x1=lnx2-lnx1，要证明2x1x2<x1+x2，只要证明2x1x2lnx2-lnx1<x22-x12，即证明，设，即要证明2lnt-t+1t<0在t(1,+)上恒成立，记，所以h(t)在区间(1,+)上单调递减，所以h(t)<h(1)=0，即2lnt-t+1t<0，即2x1x2<x1+x2.【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等即可，属于常考题型.31【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=mex-x2+3，其中mR（1）当f(x)为偶函数时，求函数h(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间-2,4上有两个零点，求m的取值范围【答案】（1）极小值h(-1)=-2，极大值h(1)=2；（2）-2e<m<13e4或m=6e3.【解析】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x)，即me-x-(-x)2+3=mex-x2+3对于任意实数x都成立，所以m=0.此时h(x)=xf(x)=-x3+3x，则h(x)=-3x2+3.由h(x)=0，解得x=1. 当x变化时，h(x)与h(x)的变化情况如下表所示：x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)h(x)-0+0-h(x)极小值极大值所以h(x)在(-,-1)，(1,+)上单调递减，在(-1,1)上单调递增. 所以h(x)有极小值h(-1)=-2，极大值h(1)=2. （2）由f(x)=mex-x2+3=0，得m=x2-3ex.所以“f(x)在区间-2,4上有两个零点”等价于“直线y=m与曲线g(x)=x2-3ex，x-2,4有且只有两个公共点”. 对函数g(x)求导，得g(x)=-x2+2x+3ex.由g(x)=0，解得x1=-1，x2=3. 当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表所示：x(-2,-1)-1(-1,3)3(3,4)g(x)-0+0-g(x)极小值极大值所以g(x)在(-2,-1)，(3,4)上单调递减，在(-1,3)上单调递增. 又因为g(-2)=e2，g(-1)=-2e，g(3)=6e3<g(-2)，g(4)=13e4>g(-1)，所以当-2e<m<13e4或m=6e3时，直线y=m与曲线g(x)=x2-3ex，x-2,4有且只有两个公共点. 即当-2e<m<13e4或m=6e3时，函数f(x)在区间-2,4上有两个零点.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.