2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第六节　对数与对数函数 .docx

第六节对数与对数函数2019考纲考题考情1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0，且a1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN(a>0且a1，N>0)。logaaNN(a0，且a1)。(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零，且不等于1)。logab，推广logablogbclogcdlogad。(3)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN。logalogaMlogaN。logaMnnlogaM(nR)。logamMnlogaM(m，nR)。3对数函数的图象与性质a10a1图象4.yax与ylogax(a0，a1)的关系指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称。1指数与对数的等价关系：axNxlogaN。2换底公式的三个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab；(3)logablogbclogcdlogad。3对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。故0<c<d<1<a<b。由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。 一、走进教材1(必修1P75A组T11改编)(log29)(log34)()A B C2 D4解析(log29)(log34)4。故选D。答案D2(必修1P73练习T3改编)已知a2，blog2，clog，则()Aa>b>c Ba>c>bCc>b>a Dc>a>b解析因为0<a<1，b<0，cloglog23>1。所以c>a>b。故选D。答案D二、走近高考3(2017全国卷)已知函数f(x)lnxln(2x)，则()Af(x)在(0,2)上单调递增Bf(x)在(0,2)上单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称解析因为f(x)lnxln(2x)的定义域为(0,2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由复合函数的单调性，知函数f(x)lnxln(2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以排除A，B；flnlnln，flnlnln，所以ffln，所以排除D，故选C。答案C4(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aab<ab<0 Bab<ab<0Cab<0<ab Dab<0<ab解析因为alog0.20.3，blog20.3，所以log0.30.2，log0.32，所以log0.30.4，所以0<<1，即0<<1，又因为a>0，b<0，所以ab<0，即ab<ab<0。故选B。答案B三、走出误区微提醒：对数的运算性质不熟致误；对数函数的图象特征不熟致误；忽视对底数的讨论致误。5有下列结论：lg(lg10)0；lg(lne)0；若lgx1，则x10；若log22x，则x1；若logmnlog3m2，则n9。其中正确结论的序号是_。解析lg101，则lg(lg10)lg10；lg(lne)lg10；底的对数等于1，则x10；底的对数等于1；logmn，log3m，则2，即log3n2，故n9。答案6已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a>0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa>1，c>1 Ba>1,0<c<1C0<a<1，c>1 D0<a<1,0<c<1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1。又当x0时，y>0，即logac>0，所以0<c<1。故选D。答案D7函数ylogax(a>0，a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a_。解析分两种情况讨论：当a>1时，有loga4loga21，解得a2；当0<a<1时，有loga2loga41，解得a。所以a2或。答案2或考点一 对数式的化简与求值【例1】(1)已知2loga(M2N)logaMlogaN，则的值为_。(2)已知2a5b10，则_。解析(1)由题知所以M>2N>0。由2loga(M2N)logaMlogaN，得loga(M2N)2logaMN，所以(M2N)2MN，所以M25MN4N20，即(M4N)(MN)0，所以M4N或MN(舍去)，所以4。(2)由2a5b10可得a，b，所以2(lg2lg5)2，所以2。答案(1)4(2)21对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论，在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形。2利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化，需注意真数大于0。 【变式训练】(1)求值：_。(2)设函数f(x)3x9x，则f(log32)_。答案(1)(2)6考点二 对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数ya|x|(a>0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是() AB C D(2)设实数a，b，c分别满足2a3a2，blog2b1，clog5c1，则a，b，c的大小关系为()Aa>b>c Bb>a>cCc>b>a Da>c>b解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，所以a>1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称。因此yloga|x|的图象应大致为选项B。(2)令f(x)2x3x2，则f(x)在R上单调递增，且f(0)f(1)212<0，即a(0,1)。在同一坐标系中作出y，ylog2x，ylog5x的图象，由图象得1<b<c，故c>b>a。故选C。答案(1)B(2)C1在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项。2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。 【变式训练】(1)函数f(x)loga|x|1(0<a<1)的图象大致为()(2)已知函数f(x)关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_。解析(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称。设g(x)loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A。(2)问题等价于函数yf(x)与yxa的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1。答案(1)A(2)(1，)考点三 对数函数的性质及应用微点小专题方向1：比较对数值的大小【例3】(2018天津高考)已知alog2e，bln2，clog，则a，b，c的大小关系为()Aa>b>c Bb>a>cCc>b>a Dc>a>b解析因为alog2e>1，bln2(0,1)，cloglog23>log2e>1，所以c>a>b。故选D。解析：loglog23，如图，在同一坐标系中作出函数ylog2x，ylnx的图象，由图知c>a>b。故选D。答案D对数值的大小比较方法：化为同底的对数后利用函数的单调性比较；利用作差或作商法比较；利用中间值(0或1)比较；化为同真数的对数后利用图象比较。 方向2：解不等式【例4】(2018福建漳州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)为减函数，则不等式f(log (2x5)>f(log38)的解集为()ABCD解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0上单调递减，所以可将f(log (2x5)>f(log38)化为|log (2x5)|>|log38|，即log3(2x5)>log38或log3(2x5)<log38log3，即2x5>8或0<2x5<，解得x>或<x<。故选C。答案C解此类不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f”，变原函数不等式为对数不等式，再把对数不等式化为同底的对数不等式，再利用对数函数的单调性进行求解。 方向3：对数性质的综合应用【例5】已知函数f(x)log4(ax22x3)。(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间。(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。解(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，即a1，这时f(x)log4(x22x3)。由x22x3>0，得1<x<3，即函数f(x)的定义域为(1,3)。令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减。又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)。(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a。故存在实数a，使f(x)的最小值为0。利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的。 【题点对应练】1(方向1)设alog36，blog510，clog714，则()Ac>b>a Bb>c>aCa>c>b Da>b>c解析因为alog36log33log321log32，blog510log55log521log52，clog714log77log721log72，因为log32>log52>log72，所以a>b>c。故选D。答案D2(方向2)若loga<1，则实数a的取值范围是_。解析当a>1时，函数ylogax在定义域内为增函数，所以loga<logaa1总成立。当0<a<1时，函数ylogax在定义域内是减函数，由loga<logaa得a<，所以0<a<。综上，a的取值范围是(1，)。答案(1，)3(方向3)已知函数f(x)loga(2xa)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是_。解析当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<a<1，又2a>0，解得<a<，且a<1，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1a)>0，即1a>1，且2a>0，解得a<0，且a<1，此时无解。综上所述，实数a的取值范围是。答案1(配合例2使用)函数ylncosx的大致图象是()解析在上，tcosx是减函数，则ylncosx是减函数，且函数值y<0，故排除B，C；又因为ylncosx是偶函数，排除D。故选A。答案A2(配合例2使用)已知函数f(x)x2logmx在上恒有f(x)<0成立，则实数m的取值范围为_。解析要使函数f(x)x2logmx在上恒有f(x)<0成立，则有x2<logmx在上恒成立，则有0<m<1。在同一坐标系中作出yx2和ylogmx的图象(如图所示)。因为当x时，yx2，所以只需ylogmlogmm，所以m，即m，又因为0<m<1，所以m<1，所以实数m的取值范围是m<1。答案m<13(配合例3使用)设a2 017，blog2 017，clog2 018，则()Ac>b>a Bb>c>aCa>c>b Da>b>c解析因为a2 017>2 01701,0<blog2 017<log2 0172 0171，clog2 018<log2 01810，所以a>b>c。故选D。答案D4(配合例4使用)若loga(a21)<loga2a<0，则a的取值范围是()A(0,1) BC D(0,1)(1，)解析由题意得a>0且a1，故必有a21>2a，又loga(a21)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，所以a>。综上，a。故选C。答案C5(配合例4使用)已知函数f(x)ln(axb)(a>0且a1)是R上的奇函数，则不等式f(x)>alna的解集是()A(a，)B(，a)C当a>1时，解集是(a，)，当0<a<1时，解集是(，a)D当a>1时，解集是(，a)，当0<a<1时，解集是(a，)解析依题意，f(0)ln(1b)0，解得b0，于是f(x)lnaxxlna。所以f(x)>alnaxlna>alna。当a>1时，x>a；当0<a<1时，x<a。故选C。答案C6(配合例5使用)已知为圆周率，e2.718 28为自然对数的底数，则()Ae<3e Blog3e>3logeC3e2<3e2 Dloge>log3e解析对于A，因为函数yxe是(0，)上的增函数，且>3，所以e>3e，A项错误；对于B，log3e>3loge>ln>3ln3>33，B项正确；对于C,3e2<3e23e3<e3，而函数yxe3是(0，)上的减函数，C项错误；对于D，loge>log3e>ln<ln3，而函数ylnx是(0，)上的增函数，D项错误。故选B。答案B特例法和设元法巧解三元变量比较大小问题比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解。【典例】设x，y，z为正实数，且log2xlog3ylog5z>0，则，的大小关系不可能是()A<< B<<C D<<【解析】解法一：取x2，则由log2xlog3ylog5z得y3，z5，此时易知，此时选项C正确。取x4，则由log2xlog3ylog5z得y9，z25，此时易知<<，此时选项A正确。取x，则由log2xlog3ylog5z得y，z，此时易知<<，此时选项D正确。综上，利用排除法可知本题应选B。解法二：设log2xlog3ylog5zk，则x2k，y3k，z5k，所以2k1，3k1，5k1。又易知k>0，接下来对k与1的大小关系加以讨论。若k1，则1，1，1，所以，所以选项C有可能正确。若0<k<1，则根据函数f(t)tk1在(0，)上单调递减可得2k1>3k1>5k1，所以<<，所以选项D有可能正确。若k>1，则根据函数f(t)tk1在(0，)上单调递增可得2k1<3k1<5k1，所以<<，所以选项A有可能正确。综上，利用排除法可知选B。【答案】B解法一是在特例的基础上，结合排除法解答；解法二借助设元变形，先将目标问题等价转化为考查2k1,3k1,5k1的大小，再对幂函数f(t)tk1的单调性加以讨论分析。特别提醒幂函数yx在(0，)上的单调性可分为三种情况：若>0，则单调递增；若0，则为常函数；若<0，则单调递减。 【变式训练】设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A3y<2x<5z B2x<3y<5zC3y<5z<2x D5z<2x<3y解析取z1，则由2x3y5得xlog25，ylog35，所以2xlog225<log2325z,3ylog3125<log32435z，所以5z最大。取y1，则由2x3得xlog23，所以2xlog29>3y。综上可得，3y<2x<5z。故选A。解析：答案A