2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章 第四节　二次函数与幂函数 .docx

第四节二次函数与幂函数2019考纲考题考情1幂函数(1)定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中底数x是自变量，是常数。(2)幂函数的图象比较：2二次函数(1)解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)。顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)。两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)。(2)图象与性质：解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递增在x上单调递减在x上单调递增在x上单调递减奇偶性当b0时为偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的充要条件是(3)af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min。 一、走进教材1(必修1P79习题T1改编)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()AB1CD2解析因为f(x)kx是幂函数，所以k1。又f(x)的图象过点，所以，所以，所以k1。故选C。答案C2(必修1P39B组T1改编)函数y2x26x3，x1，1，则y的最小值为_。解析函数y2x26x322的图象的对称轴为直线x>1，所以函数y2x26x3在1,1上单调递减，所以ymin2631。答案1二、走近高考3(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关解析设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b。所以Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关。故选B。答案B三、走出误区微提醒：二次函数解析式形式选择不恰当，致使运算量偏大；幂函数定义不清晰，导致出错；二次函数在给定区间上的恒成立问题忽视给定区间的作用致误。4已知某二次函数的图象与函数y2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1,3)，则此函数的解析式为()Ay2(x1)23By2(x1)23Cy2(x1)23Dy2(x1)23解析设所求函数的解析式为ya(xh)2k(a0)，由题意可知a2，h1，k3，故y2(x1)23。故选D。答案D5已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_；在区间_上递减。解析设yf(x)x，因为图象过点，代入解析式得，则yx，由性质可知函数yx在(0，)上递减。答案yx(0，)6已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上不等式f(x)>2xm恒成立，则实数m的取值范围是_。解析f(x)>2xm等价于x2x1>2xm，即x23x1m>0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m>0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可。因为g(x)x23x1m在1,1上单调递减，所以g(x)ming(1)m1。由m1>0，得m<1。因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)。答案(，1)考点一 幂函数的图象及性质【例1】(1)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2D1或2(2)若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbcaDbac解析(1)由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1符合题意。故选B。(2)因为yx在第一象限内是增函数，所以ab，因为yx是减函数，所以ac，所以bac。故选D。答案(1)B(2)D1对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域。根据0,01，1，1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。 【变式训练】已知函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且x(0，)时，f(x)是增函数，则m的值为()A1B2C1或2D3解析由题意知，解得所以m2，故选B。答案B考点二 二次函数的解析式【例2】(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_。(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_。解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，又f(x)ax2bx1，所以a1，b2，故f(x)x22x1。(2)因为f(2x)f(2x)对任意xR恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x2。又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为1和3。设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a3，即a1，所以f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3。答案(1)x22x1(2)x24x3求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴两交点的坐标，宜选用两根式。 【变式训练】(1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_。(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式为f(x)_。解析(1)设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x。解析：由二次函数f(x)与x轴交于(0,0)，(2,0)，知f(x)的图象关于x1对称。设f(x)a(x1)21(a>0)，又f(0)0，得a1，所以f(x)(x1)21x22x。(2)由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称，所以a，即b2，所以f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，所以2a24，故f(x)2x24。答案(1)x22x(2)2x24考点三 二次函数的图象和性质微点小专题方向1：二次函数的图象【例3】对数函数ylogax(a>0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()解析当0<a<1时，ylogax为减函数，y(a1)x2x的图象开口向下，其对称轴为直线x<0，排除C，D；当a>1时，ylogax为增函数，y(a1)x2x的图象开口向上，其对称轴为直线x>0，排除B。故选A。答案A确定二次函数的图象从三方面入手：1.开口方向；2.对称轴；3.特殊点。 方向2：二次函数的单调性【例4】函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0)B(，3C2,0D3,0解析当a0时，f(x)3x1，在1，)上递减，满足题意。当a0时，f(x)的图象的对称轴为直线x，由f(x)在1，)上递减知解得3a<0。综上，a的取值范围为3,0。答案D【互动探究】若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a的取值为_。解析由题意知，f(x)必为二次函数且a<0，又1，所以a3。答案31对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解。2利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较。 方向3：二次函数的最值【例5】已知函数f(x)ax22x(a>0)，求函数f(x)在区间0,2上的最小值。解因为a>0，所以f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x。当<2，即a>时，(0,2)，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf 。当2，即0<a时，f(x)在0,2上单调递减，所以f(x)minf(2)4a4。综上所述，f(x)min1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动。不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论。2二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解。 【题点对应练】1(方向1)如图，若a<0，b>0，则函数yax2bx的大致图象是_(填序号)。解析函数图象的开口向下，对称轴方程为x>0，且过原点，故大致图象是。答案2(方向2)若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_。解析当m0时，函数在给定区间上是增函数；当m0时，函数是二次函数，图象对称轴为x2，得m，又m>0，因此0<m。综上，0m。答案3(方向3)设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A(，0B2，)C(，02，)D0,2解析依题意a0，二次函数f(x)ax22axc图象的对称轴是直线x1，因为函数f(x)在区间0,1上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2。故选D。答案D1(配合例2使用)已知二次函数f(x)ax2bxc满足条件：f(3x)f(x)；f(1)0；对任意实数x，f(x)恒成立，则其解析式为f(x)_。解析依题意可设f(x)a2k，由f(1)ak0，得ka，从而f(x)a2恒成立，则，且a>0，即0，即0，且a>0，所以a1。从而f(x)2x23x2。答案x23x22(配合例3使用)设b>0，二次函数yax2bxa21的图象为下列之一，则a的值为() A BC1D1解析因为b>0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a210，a1，又a<0，所以a1。故选D。答案D3(配合例4使用)函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3B13C7D5解析函数f(x)2x2mx3图象的对称轴为直线x，由函数f(x)的单调区间可知2，所以m8，即f(x)2x28x3，所以f(1)28313。故选B。答案B4(配合例5使用)若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a的值为_。解析函数的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)的最大值在区间的端点处取得。因为f(0)a，f(2)43a，所以或解得a1。答案1