2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第六章 第六节　直接证明与间接证明 .docx

第六节直接证明与间接证明2019考纲考题考情1直接证明2.间接证明反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。1分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用。2利用反证法证明的特点，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的。 一、走进教材1(选修12P42练习T1改编)对于任意角，化简cos4sin4()A2sinB2cos Csin2Dcos2解析因为cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2。故选D。答案D2(选修12P42练习T2改编)若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是()AP>Q BPQCP<Q D不能确定解析假设P>Q，只需P2>Q2，即2a132>2a132，只需a213a42>a213a40。因为42>40成立，所以P>Q成立。故选A。答案A二、走出误区微提醒：“至少”否定出错；应用分析法寻找的条件不充分；不会用反证法解题。3利用反证法证明“已知a>0，b>0，且ab>2，证明，中至少有一个小于2”时的反设是_。解析假设，都不小于2，则2且2。答案2且24若用分析法证明“设a>b>c且abc0，求证<a”，则索的因是_(填序号)。ab>0；ac>0；(ab)(ac)>0；(ab)(ac)<0。解析由a>b>c且abc0，可得bac，a>0，c<0，要证<a，只需证(ac)2ac<3a2，即证a2aca2c2>0，即证a(ac)(ac)(ac)>0，即证(ac)(ab)>0。答案5设a，b，c都是正数，则a，b，c三个数()A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析因为6，当且仅当abc1时取等号，所以三个数中至少有一个不小于2。故选D。答案D考点一 分析法【例1】已知a，bR，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab。证明因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证alnb>blna，只需证>。取函数f(x)，因为f(x)，所以当x>e时，f(x)<0，所以函数f(x)在(e，)上单调递减。所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即>。得证。分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。 【变式训练】已知a>0，求证： a2。证明要证 a2，只要证 2a。因为a>0，故只要证22，即a24 4a2222，从而只要证2 ，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立。考点二 综合法【例2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinBsinBsinCcos2B1。(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求证：5a3b。证明(1)由已知得sinAsinBsinBsinC2sin2B，因为sinB0，所以sinAsinC2sinB，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差数列。(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，即5a3b。综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。 【变式训练】已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线。(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x)。解(1)f(x)，g(x)bxx2，由题意得解得a0，b1。(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)。h(x)x2x1。h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数。h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)。考点三 反证法【例3】设a>0，b>0，且a2b2。证明：a2a<2与b2b<2不可能同时成立。证明假设a2a<2与b2b<2同时成立，则有a2ab2b<4。由a2b2，得a2b21，因为a>0，b>0，所以ab1。因为a2b22ab2(当且仅当ab1时等号成立)，ab22(当且仅当ab1时等号成立)，所以a2ab2b2ab24(当且仅当ab1时等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误。所以a2a<2与b2b<2不可能同时成立。反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不成立，原结论成立，从而间接地证明原命题为真。 【变式训练】已知a，b，c，dR，且ab1，cd1，acbd>1。求证：a，b，c，d中至少有一个是负数。证明假设a，b，c，d都是非负数，因为abcd1，所以(ab)(cd)1，即acbdadbc1，又acbdadbcacbd，所以acbd1，与题设矛盾，故假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个是负数。