2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第六章 第一节　不等关系与不等式 .docx

第六章 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式2019考纲考题考情1实数的大小顺序与运算性质的关系(1)abab0；(2)abab0；(3)abab0。2不等式的性质(1)对称性：abba。(双向性)(2)传递性：ab，bcac。(单向性)(3)可加性：abacbc。(双向性)(4)ab，cdacbd。(单向性)(5)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc。(6)ab0，cd0acbd。(单向性)(7)乘方法则：ab0anbn(nN，n1)。(单向性)(8)开方法则：ab0(nN，n2)。(单向性)(9)倒数性质：设ab0，则ab。(双向性)注意以下结论：1a>b，ab>0<。2a<0<b<。3a>b>0,0<c<d>。40<a<x<b或a<x<b<0<<。 5若a>b>0，m>0，则<；>(bm>0)；>；<(bm>0)。 一、走进教材1(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“>0”是“a2b2>0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析>0>a>b0a2>b2，但由a2b2>0 >0。故选A。答案A2(必修5P75A组T2改编)_(填“>”“<”或“”)。解析分母有理化有2，显然2<，所以<。答案<二、走近高考3(2018北京高考)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为_。解析由题意知，当a1，b1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，1。(答案不唯一，满足a>0，b<0即可)答案1，1(答案不唯一)4(2017北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：()男学生人数多于女学生人数；()女学生人数多于教师人数；()教师人数的两倍多于男学生人数。若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_。该小组人数的最小值为_。解析令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z，若教师人数为4，则4<y<x<8，当x7时，y取得最大值6。当z1时，1z<y<x<2，不满足条件；当z2时，2z<y<x<4，不满足条件；当z3时，3z<y<x<6，y4，x5，满足条件。所以该小组人数的最小值为34512。答案612三、走出误区微提醒：乱用不等式的相乘性致错；命题的必要性出错；求范围乱用不等式的加法原理致错。5若a>b>0，c<d<0，则一定有()A>0 B<0C> D<解析因为c<d<0，所以0<d<c，又0<b<a，bd<ac，即bd>ac，又cd>0，>，即>。故选D。答案D6设a，bR，则“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得ab>213，由不等式的同向同正可乘性可得ab>212。即“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的充分条件；反之，若“ab>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a6，b。所以“a>2且b>1”是“ab>3且ab>2”的充分不必要条件。故选A。答案A7若<<<，则的取值范围是_。解析由<<，<<，<，得<<0。答案(，0)考点一 比较大小【例1】(1)已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()Acb>a Ba>cbCc>b>a Da>c>b(2)若a，b，c，则()Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<a<c解析(1)因为cb44aa2(a2)20，所以cb。又bc64a3a2，所以2b22a2，ba21，所以baa2a12>0，所以b>a，所以cb>a。(2)易知a，b，c都是正数，log8164<1，所以a>b；log6251 024>1，所以b>c。即c<b<a。解析：对于函数yf(x)，y，易知当x>e时，函数f(x)单调递减。因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a。答案(1)A(2)B比较大小的常用方法1作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论。其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式。当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差。 2作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论。3函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系。 【变式训练】(1)设a，b0，)，A，B，则A，B的大小关系是()AAB BABCA<B DA>B(2)若a1816，b1618，则a与b的大小关系为_。解析(1)因为A0，B0，A2B2a2b(ab)20，所以AB。故选B。(2)16161616，因为(0,1)，所以16<1，因为1816>0,1618>0，所以1816<1618，即a<b。答案(1)B(2)a<b考点二 不等式的性质应用【例2】(1)若a<b<0，给出下列不等式：a21>b2；|1a|>|b1|；>>。其中正确的个数是()A0 B1C2 D3(2)设0<a<1，b>c>0，则下列结论不正确的是()Aab<ac Bba>caClogab<logac D>解析(1)因为a<b<0，所以|a|>|b|>0，所以a2>b2，故a21>b2，正确。a<b<0a>b>0a1>b1>0，故|1a|>|b1|，正确。a<b<0ab<a<b<0，所以>>，正确。故选D。(2)取a，b4，c2，则由，故D结论错误。故选D。答案(1)D(2)D解决此类题目常用的三种方法1直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。2利用特殊值法排除错误答案。 3利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断。 【变式训练】(1)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A|a|>|b| Ba2>abC> D>(2)已知x>y，则下列不等式一定成立的是()A< Blog2(xy)>0Cx2>y2 Dx<y解析(1)由a<b<0，得|a|>|b|，A成立；因为a<b<0，所以a2>ab，B成立；因为a<b<0，所以>，C成立；当a2，b1时，1，>不成立。故选D。(2)A中，当x1，y1时，<不成立，所以A错；B中，当x1，y时，log2(xy)1<0，所以B错；C中，当x1，y1时，x2>y2不成立，所以C错；D中，f(x)x在R上单调递减，当x>y时，x<y成立，故选D。答案(1)D(2)D考点三 求代数式的取值范围【例3】(1)三个正数a，b，c满足abc2a，bac2b，则的取值范围是()A BC2,3 D1,2(2)已知2xy，3xy，则9xy的取值范围是_。解析(1)三个正数a，b，c满足abc2a，bac2b，所以12，1，即1，所以112，即即所以。故选A。(2)设9xya(2xy)b(3xy)，则9xy(2a3b)x(ab)y，于是比较两边系数得得a6，b7。由已知不等式得36(2xy)3，7(3xy)，所以9xy。答案(1)A(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径。 【变式训练】(1)已知1<x<4,2<y<3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_。(2)已知f(a，b)axby，如果1f(1,1)2，且1f(1，1)1，则f(2,1)的取值范围是_。解析(1)因为1<x<4,2<y<3，所以3<y<2，所以4<xy<2。由1<x<4,2<y<3，得3<3x<12,4<2y<6，所以1<3x2y<18。(2)由条件f(a，b)axby，可知f(1,1)xy，f(1，1)xy，则1xy2，且1xy1。设f(2,1)2xy(xy)(xy)，即2xy()x()y，于是解得而(xy)3，(xy)，所以12xy，即f(2,1)的取值范围是。答案(1)(4,2)(1,18)(2)1(配合例1使用)已知等比数列an中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_。解析当q1时，3，5，所以<。当q>0且q1时，<0，所以<。综上可知<。答案<2(配合例2使用)若x>y>1,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是()Axa>yb Bxa<ybCax<by Dax>by解析易知函数yax(0<a<1)在R上单调递减，因为x>y>1,0<a<b<1，所以ax<ay<by。故选C。答案C