2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：1.4 生活中的优化问题举例 .doc

www.ks5u.com1.4生活中的优化问题举例课时作业10生活中的优化问题举例知识点一 面积、容积最大(小)问题 1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为()A2 B4 C6 D8答案D解析设其中一段长为x，则另一段长为16x，则两个正方形面积之和为S(x)22,0<x<16，则S(x)22(x8)令S(x)0，得x8.当0<x<8时，S(x)<0；当8<x<16时，S(x)>0.x8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点当x8时，S(x)取最小值，S(x)最小S(8)8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.2要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使体积为最大，则高为()A. cm B. cmC. cm D. cm答案D解析设圆锥的高度为h，则底面半径r，Vr2h(400h2)h(400hh3)V(4003h2)h cm时，V为最大.知识点二 材料最省问题3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A32米，16米 B30米，15米C40米，20米 D36米，18米答案A解析设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy512.则所用材料lx2y2y(y>0)，求导数，得l2.令l0，解得y16或y16(舍去)当0<y<16时，l<0；当y>16时，l>0.所以y16是函数l2y(y>0)的极小值点，也是最小值点此时，x32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省故选A.知识点三 利润最大问题4.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件答案C解析yx281(x9)(x9)，令y0得x9或x9(舍去)，经计算，当x9时，y取最大值5某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)1200x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为_件答案25解析设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2xk，由题知a.总利润y500x31200(x>0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)时，y>0，x(25，)时，y<0，所以x25时，y取最大值6某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3<x<6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大一、选择题1做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为()A5分米 B6分米 C7分米 D8分米答案D解析设底面边长为x分米，则高为h，其表面积Sx24xx2，S2x，令S0，则x8.当0<x<8时S<0，当x>8时S>0，故x8时S最小2某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，且f(100)1，这个数据说明在100天时()A公司已经亏损 B公司的盈利在增加C公司盈利在逐渐减少 D公司有时盈利有时亏损答案C解析因为f(100)1，所以函数图象在这一点处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少3内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()AR B2R C.R D.R答案C解析设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0，得hR.当0<h<时，V>0；当<h<2R时，V<0.因此当hR时，圆锥体积最大故应选C.4用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 cm B8 cm C10 cm D12 cm答案B解析设四角截去的小正方形边长为x cm，则V(482x)2x4x3448x2482x(0<x<24)，V12x2848x48212(x284x484)12(x24)(x8)当0<x8时，V0；当8x24时，V0，V在x8处取最大值，故选B.5内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的宽和长分别为()A.和R B.R和RC.R和R D以上都不对答案B解析设矩形的宽为x，则长为2，则l2x4(0<x<R)，l2，令l0，解得x1R，x2R(舍去)当0<x<R时，l>0，当R<x<R时，l<0，所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.二、填空题6要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为_答案300 m3解析设仓库的容积为V m3，长为x m，则宽为(20x) m，Vx(20x)33x260x，V6x60，令V0，得x10.当0<x<10时，V>0；当x>10时，V<0，当x10时，V取最大值，V最大300.7如图，已知用某种材料制成的圆柱形饮料瓶的容积为250 mL，则它的底面半径r等于_cm时，可使所用的材料最省(用含有的式子表示)答案5解析设圆柱的表面积为S，容积为V，则S2rh2r2，而V250r2h，得h，则S2r2r22r2，S4r，令S0，得r5.令S0，得r5；令S0，得0r5，所以当r5时，S取得最小值，即此时所用的材料最省8等腰梯形ABCD中，上底CD40，腰AD40，则AB_时，等腰梯形面积最大答案80解析如图，设A，则hADsin，AB402ADcos，故SADsin(40402ADcos)20(8080cos)sin1600(1cos)sin.S1600cos(1cos)sinsin，令S0，得cos1，cos.因为0，所以cos0，所以cos，即时，等腰梯形的面积最大，此时AB4024080.三、解答题9某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，由题意知24k22，得k6.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)(30x9)(4326x2)(21x)(4326x2)，所以f(x)6x3126x2432x9072，x0,30(2)根据(1)有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故x12时，f(x)取得极大值，因为f(0)9072，f(12)11664，f(0)<f(12)，所以定价为301218(元)能使一个星期的商品销售利润最大10某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0<x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油量为多少升？解(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5(时)，2.517.5(升)答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升(2)当汽车的速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了时，设耗油量为h(x)升依题意，得h(x)x2(0<x120)，h(x)(0<x120)，令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)<0，h(x)是减函数；当x(80,120)时，h(x)>0，h(x)是增函数故当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少耗油量为11.25升