分段函数习题课.ppt

进入名师伴你行学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四名师伴你行返回目录1.在定义域内，对于自变量在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫同的对应法则，这样的函数叫 .2.分段函数的定义域是各段定义域的分段函数的定义域是各段定义域的 ，其值，其值域是各段值域的域是各段值域的 .分段函数分段函数并集并集并集并集名师伴你行返回目录学点一学点一 分段函数图象分段函数图象已知函数已知函数（1）画出函数的图象；）画出函数的图象；（2）根据已知条件分别求）根据已知条件分别求f(1),f(-3),ff(-3),fff(-3)的值的值.00010)(2xxxxxf【分析【分析】给出的函数是分段函数，应注意在不同的范围上给出的函数是分段函数，应注意在不同的范围上用不同的关系式用不同的关系式.（1）函数）函数f(x)在不同区间上的关系都是常见的基本初等函在不同区间上的关系都是常见的基本初等函数关系，因而可利用常见函数的图象作图数关系，因而可利用常见函数的图象作图.（2）根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函）根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值数值.名师伴你行【解析【解析】（1）分别画出）分别画出y=x2(x0),y=1(x=0),y=0(x0)的图的图象，即得所求函数的图象如图所示象，即得所求函数的图象如图所示.（2）f(1)=12=1, f(-3)=0, ff(-3)=f(0)=1, fff(-3)=ff(0)=f(1)=12=1.【评析】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式【评析】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间，从而选相应的对应关系数值属于哪一个区间，从而选相应的对应关系.对于分段函对于分段函数，各个分段的数，各个分段的“端点端点”要注意处理好要注意处理好.返回目录名师伴你行返回目录已知函数已知函数f(x)的解析式为：的解析式为：（1）求）求 的值；的值；（2）画出这个函数的图象；）画出这个函数的图象；（3）求）求f(x)的最大值的最大值.1x82x1x05x0 x53xf(x)1)f(),1f(),23f(2531)f(011551)1f(11058232)23f(123(1)(名师伴你行（2）如图，在函数）如图，在函数y=3x+5图图象上截取象上截取x0的部分，在函数的部分，在函数y=x+5图象上截取图象上截取01的部分的部分.图中实线组成的图中实线组成的图形就是函数图形就是函数f(x)的图象的图象.返回目录（3）由函数图象可知）由函数图象可知,当当x=1时，时，f(x)的最大值为的最大值为6.名师伴你行返回目录学点二学点二 分段函数的求值问题分段函数的求值问题【分析【分析】求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关系来求函数值系来求函数值.已知已知 求求fff(3)2422221)(2xxxxxxxf名师伴你行【评析】解决此类问题应自内向外依次求值【评析】解决此类问题应自内向外依次求值.返回目录【解析【解析】32,+),f(3)=32-43=-3.-3(-,-2,ff(3)=f(-3)= (-3)= . (-2,2),fff(3)=f( )=.21232323名师伴你行返回目录已知函数已知函数（1）求）求（2）若）若f(a)=3,求求a的值；的值；（3）求）求f(x)的定义域与值域的定义域与值域.2x2x2x12x1x2xf(x)2 )47f(ff名师伴你行返回目录（1）（2）f(a)=3,当当a-1时时,a+2=3,a=1-1（舍去），（舍去），当当-1a2时，时，2a=3,a= (-1,2),当当a2时，时， a2=3,a= 2,综上知综上知,当当f(a)=3时，时，a= 或或a= .（3）f(x)的定义域为的定义域为(-,-1(-1,2)2,+)=R.当当x-1时时,f(x)(-,1;当当-1x2时时,f(x)(-2,4);当当x2时，时，f(x)2,+).(-,1(-2,4)2,+)=R,f(x)的值域为的值域为R.1)21()47(21412)41()47(41247)47(ffffffff23216236名师伴你行返回目录学点三学点三 分段函数的解析式分段函数的解析式如图所示，等腰梯形如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为的两底分别为AD=2,BC=1,BAD=45,直线直线MNAD交交AD于于M,交折线交折线ABCD于于N,记记AM=x，试将梯形，试将梯形ABCD位于直线位于直线MN左侧的左侧的面积面积y表示为表示为x的函数的函数,并写出函数的定义域和值域并写出函数的定义域和值域.【分析【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键求函数解析式是解决其他问题的关键,根据题意根据题意,此此题应对题应对N分别在分别在AB，BC，CD三段上分三种情况写出函数三段上分三种情况写出函数的解析式的解析式.名师伴你行返回目录【解析【解析】过过B，C分别作分别作AD的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为H和和G， 则则AH= ，AG= ，当当M位于位于H左侧时，左侧时，AM=x，MN=x.y=SAMN= x2 0 x .当当M位于位于H，G之间时之间时, y= AHHB+HMMN = （x- ） = x- x .21232121212123当当M位于位于G，D之间时之间时,y=S梯形梯形ABCD-SMDN= (2+1)-(2-x)(2-x)= - x2+2x- x2.232121212121218121212145名师伴你行返回目录【评析】分段函数的定义域是各部分【评析】分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集的取值范围的并集,值值 域也是域也是y在各部分值的取值范围的并集在各部分值的取值范围的并集,因此因此,函数的解析式、函数的解析式、定义域、值域通常是逐段求解定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出最后综合求出.所求函数的关系式为所求函数的关系式为函数的定义域为函数的定义域为0,2,值域为值域为0, 2x23452xx2123x2181x2121x0 x21y2243名师伴你行返回目录如图所示如图所示,在边长为在边长为4的正方形的正方形ABCD的边上有一点的边上有一点P,沿着沿着折线折线BCDA由点由点B(起点起点)向点向点A(终点终点)运动运动.设点设点P运动的路运动的路程为程为x,ABP的面积为的面积为y.(1)求求y与与x之间的函数关系式之间的函数关系式;(2)画出画出y=f(x)的图象的图象.(1)当当P点在点在BC上，即上，即0 x4时，时，SABP= 4x=2x;当当P点在点在CD上时，上时，SABP= 44=8;当当P点在点在AD上时，上时，SABP= 4(12-x). 212121名师伴你行（2）画出）画出y=f(x)的图象，如右的图象，如右图所示图所示.所求的函数关系式为所求的函数关系式为12x8242x8x484x02xy名师伴你行学点四学点四 分段函数的应用问题分段函数的应用问题返回目录某汽车以某汽车以52 km/h的速度从的速度从A地运行到地运行到260 km远处的远处的B地，地，在在B地停留面地停留面1.5 h后，再以后，再以65 km/h的速度返回的速度返回A地地.试将试将汽车离开汽车离开A地后行走的路程地后行走的路程S表示为时间表示为时间t的函数的函数.【分析【分析】因行驶速度不一样，故因行驶速度不一样，故S与与t的关系需用分段函数的关系需用分段函数表示表示.【解析【解析】因为行驶速度不一样，可考虑分段表示因为行驶速度不一样，可考虑分段表示, 26052=5(h),26065=4(h).名师伴你行返回目录【评析】解决数学应用题的一般步骤：首先要在阅读材料、【评析】解决数学应用题的一般步骤：首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，经过去理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，经过去粗取精，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学粗取精，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得出数学结论，最后把知识对数学模型进行分析、研究，得出数学结论，最后把数学结论（结果）返回到实际问题中数学结论（结果）返回到实际问题中.2110t216)21665(t260216t52605t052tS所以所以名师伴你行返回目录A,B两地相距两地相距150公里公里,某汽车以每小时某汽车以每小时50公里的速度从公里的速度从A地运行到地运行到B地地,在在B地停留地停留2小时之后小时之后,又以每小时又以每小时60公里的公里的速度返回速度返回A地地,写出该车离开写出该车离开A地的距离地的距离s(公里公里)与时间与时间t(小小时时)的函数关系的函数关系.由由50t1=150得得t1=3, 由由60t2=150得得t2= ,当当0t3时，时，s=50t; 当当3t5时，时，s=150; 当当5t7.5时，时，s=150-60(t-5)=450-60t.所求函数关系式为所求函数关系式为25 5 . 7 , 5(60450 5 , 3(150 3 , 050tttttS名师伴你行返回目录1.1.怎样正确地理解分段函数？怎样正确地理解分段函数？对于自变量对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则的函数，称为分的不同取值区间，有着不同的对应法则的函数，称为分段函数，不能认为它是几个函数，它只是一个函数的表达式，只是段函数，不能认为它是几个函数，它只是一个函数的表达式，只是在表达形式上同以前学过的函数不同，在表示时，用在表达形式上同以前学过的函数不同，在表示时，用“”表示出各表示出各段解析式关系段解析式关系.2.2.如何加强对分段函数的认识？如何加强对分段函数的认识？首先对分段函数的定义要理解并掌握，其次从简单的分段函数入手首先对分段函数的定义要理解并掌握，其次从简单的分段函数入手多认识、多识记多认识、多识记.教材中通过例题的形式给出了教材中通过例题的形式给出了“分段函数分段函数”的概念，从而说明：对的概念，从而说明：对于一个函数来说，对应法则可以由一个解析式来表示，也可以由几于一个函数来说，对应法则可以由一个解析式来表示，也可以由几个解析式来表示；用图象表示时，既可以是一条平滑的曲线，也可个解析式来表示；用图象表示时，既可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、几条曲线等以是一些点、一段曲线、几条曲线等.名师伴你行返回目录1.1.分段函数的图象是一些线段或曲线段构成的，定分段函数的图象是一些线段或曲线段构成的，定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. .2.2.各段不一定等长各段不一定等长. .名师伴你行名师伴你行