浙江省2019高考数学优编增分练：解答题突破练三数列.doc

(三)数列1已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且(t1)Sna3an2(tR)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bnan1，求数列的前n项和Tn.解(1)因为a1S11，且(t1)Sna3an2，所以(t1)S1a3a12，所以t5.所以6Sna3an2.当n2时，有6Sn1a3an12，得6ana3ana3an1，所以(anan1)(anan13)0，因为an>0，所以anan13，又因为a11，所以an是首项a11，公差d3的等差数列，所以an3n2(nN*)(2)因为bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN*)，所以当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1anan1a2b1.又b11也适合上式，所以bn(nN*)所以，所以Tn.2设等差数列an的前n项和为Sn，且S3，S4成等差数列，a53a22a12.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2n1，求数列的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S3，S4成等差数列，可知S3S4S5，得2a1d0，由a53a22a12，得4a1d20，由，解得a11，d2，因此，an2n1(nN*)(2)令cn(2n1)n1，则Tnc1c2cn，Tn11352(2n1)n1，Tn13253(2n1)n，得Tn12(2n1)n12 (2n1)n 3，Tn6(nN*)3已知等差数列an满足(n1)an2n2nk，kR.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)方法一由(n1)an2n2nk，令n1,2,3，得到a1，a2，a3，an是等差数列，2a2a1a3，即，解得k1.由于(n1)an2n2n1(2n1)(n1)，又n10，an2n1(nN*)方法二an是等差数列，设公差为d，则ana1d(n1)dn(a1d)，(n1)an(n1)(dna1d)dn2a1na1d，dn2a1na1d2n2nk对于任意nN*均成立，则解得k1，an2n1(nN*)(2)由bn111，得Snb1b2b3bn1111nnn(nN*)4(2018绍兴市柯桥区模拟)已知数列an满足：x11，xnxn11，证明：当nN*时，(1)0<xn1<xn；(2)xnxn1>xn2xn1；(3)nxnn1.证明(1)用数学归纳法证明xn>0，当n1时，x11>0，假设xk>0，kN*，k1，成立，当nk1时，若xk10，则xkxk110，矛盾，故xk1>0，因此xn>0(nN*)，所以xnxn11>xn1e01xn1，综上，xn>xn1>0.(2)xn1xn2xn1xnxn1(xn11)2xn1xn11x(xn11)1，设f(x)x2ex(x1)1(x0)，则f(x)2xexx0，所以f(x)在0，)上单调递增，因此f(x)f(0)0，因此x(xn11)1f(xn1)>f(0)0，故xnxn1>xn2xn1.(3)由(2)得1<2，所以当n>1时，1<2<<2n12n，当n1时，12n，所以2n，即xn，又由于xnxn11xn1(xn11)12xn1，xn1xn，所以易知xn，综上，nxnn1.5(2018浙江省台州中学模拟)已知数列an的首项a1，an1，n1,2，.(1)求an的通项公式；(2)证明：对任意的x>0，an，n1,2，；(3)证明：a1a2an>.(1)解an1，1，1，an(nN*)(2)证明由(1)知an>0，2anan，原不等式成立(3)证明由(2)知，对任意的x>0，有a1a2an，取x，则a1a2an>，原不等式成立6已知在数列an中，满足a1，an1，记Sn为an的前n项和(1)证明：an1>an；(2)证明：ancos ；(3)证明：Sn>n.证明(1)由题意知an的各项均为正数，因为2a2aan12a(1an)(12an)所以，要证an1>an，只需要证明an<1即可下面用数学归纳法证明an<1.当n1时，a1<1成立，假设当nk时，ak<1成立，那么当nk1时，ak1<1.综上所述，an<1成立，所以an1>an.(2)用数学归纳法证明ancos .当n1时，a1cos 成立，假设当nk时，akcos .那么当nk1时，ak1cos ，综上所述，ancos .(3)由题意及(2)知，11a1cos2sin2<2(n2)，得an1>1(n2)，故当n1时，S1>1；当n2时，Sn> n>n.综上所述，Sn>n.