江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练5函数与导数理.docx

5.函数与导数1.设函数f(x)xln xax，aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数yf(x)在上的最小值；(3)若g(x)f(x)ax2(2a1)x，求证：a0是函数yg(x)在x(1,2)时单调递增的充分不必要条件.(1)解由f(x)xln xax，得f(x)ln xa1.当a1时，f(x)ln x2，f(1)1，f(1)2，求得切线方程为y2x1.(2)解令f(x)0，得xe(a1).当e(a1)，即a0时，x时f(x)0恒成立，f(x)单调递增，此时f(x)minf.当e(a1)e，即a2时，x时f(x)0恒成立，f(x)单调递减，此时f(x)minf(e)aee.当<e(a1)<e，即2<a<0时，x时f(x)<0，f(x)单调递减；当x(e(a1)，e)时，f(x)>0，f(x)单调递增，此时f(x)minf(e(a1)e(a1).(3)证明g(x)f(x)ax(2a1)ln xaxaln xa(x1)，当a0时，x(1,2)时，ln x>0，a(x1)0，g(x)>0恒成立，函数yg(x)在x(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a时，代入g(x)ln xa(x1)ln xx.设h(x)g(x)ln xx，x(1,2)，则h(x)>0(x(1,2)恒成立，当x(1,2)时，h(x)单调递增.又h(1)0，当x(1,2)时，h(x)>0恒成立.而h(x)g(x)，当x(1,2)时，g(x)>0恒成立，函数yg(x)单调递增，必要条件不成立.综上，a0是函数yg(x)在x(1,2)时单调递增的充分不必要条件.2.已知函数f(x)ln x1，aR.(1)若关于x的不等式f(x)>x1在1，)上恒成立，求a的取值范围；(2)设函数g(x)，证明：当a时，g(x)在1，e2上不存在极值.(1)解由f(x)>x1，得ln x1>x1.即a>xln xx22x在1，)上恒成立.设m(x)xln xx22x，x1，则m(x)ln x2x1.x1，)，ln x0，2x1<0.当x1，)时，m(x)ln x2x1<0.m(x)在1，)上单调递减.当x1，)时，m(x)m(x)maxm(1)1.a>1，即a的取值范围是(1，).(2)证明g(x)，x.g(x).设h(x)2xxln x2a，x1，e2，则h(x)2(1ln x)1ln x.令h(x)0，得xe.当1x<e时，h(x)>0；当e<xe2时，h(x)<0.h(x)在1，e)上单调递增，在(e，e2上单调递减.h(x)maxh(e)e2a0，即g(x)0.g(x)在1，e2上单调递减.当a时，g(x)在1，e2上不存在极值.3.已知函数f(x)ln x, g(x)f(x)ax2bx，函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性.解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb，由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得，g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x)，由g>0得0<x<1，由g<0得x>1；若0<<1，即a>时，由g>0得x>1或0<x<，由g<0得<x<1；若>1，即0<a<时，由g>0得x>或0<x<1，由g<0得1<x<；若1，即a时，在上恒有g0.综上得，当a0时，函数g在(0,1)上单调递增，在上单调递减；当0<a<时，函数g在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a时，函数g在上单调递增；当a>时，函数g在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.4.已知函数f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a为实数).(1)当a5时，求函数g(x)的图象在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t，t2(t>0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x1，x2，使方程g(x)2exf(x)成立，求实数a的取值范围.解(1)当a5时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e，g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e，所以切线方程为ye4e(x1)，即4exy3e0.(2)函数f(x)的定义域为(0，).因为f(x)ln x1，所以在(0，)上，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值(最小值)当t时，在区间t，t2上，f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tln t；当0<t<时，在区间上，f(x)为减函数，在区间上，f(x)为增函数，所以f(x)minf.(3)由g(x)2exf(x)，可得2xln xx2ax3，则ax2ln x，令h(x)x2ln x，x>0，则h(x)1.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值(最小值)因为h3e2，h(e)e2，h(1)4，所以h(e)h42e<0，所以h(e)<h，所以实数a的取值范围为.5.已知函数f(x)x2axln x(aR).(1)若曲线f(x)在(1，f(1)处的切线与直线yx5垂直，求实数a的值；(2)若x1，e，使得0成立，求实数a的取值范围.解(1)依题意知，f(x)2xaln xa，故f(1)2a1，解得a1.(2)依题意知，x1，e，使得xaln x0成立，即函数h(x)xaln x在1，e上的最小值h(x)min0.h(x)1，当a1>0，即a>1时，令h(x)>0，x>0，x>1a，令h(x)<0，x>0，0<x<1a，h(x)的单调递增区间为1a，)，单调递减区间为(0,1a.当a10，即a1时，h(x)>0恒成立，h(x)的单调递增区间为(0，).当a1e，即ae1时，h(x)在1，e上单调递减，h(x)minh(e)ea0，a，>e1，a；当a11，即a0时，h(x)在1，e上单调递增，h(x)minh(1)11a0，a2；当1<a1<e，即0<a<e1时，h(x)minh(1a)2aaln(1a)0，0<ln(1a)<1，0<aln(1a)<a，h(1a)>2，此时不存在x，使h(x)0成立.综上，实数a的取值范围为(，2.6.已知函数f(x)x3ax2a2x2，aR.(1)若a<0，试求函数yf(x)的单调递减区间；(2)若a0，且曲线yf(x)在点A，B(A，B不重合)处切线的交点位于直线x2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x1，x2，x30,1，总存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围.(1)解函数f(x)的导函数f(x)3x22axa23(xa).因为a<0，由f(x)<0，解得<x<a.所以函数yf(x)的单调递减区间为.(2)证明当a0时，f(x)x32.设在点A(x1，x2)，B(x2，x2)处的切线交于直线x2上一点P(2，t).因为y3x2，所以曲线yf(x)在点A处的切线斜率为k3x，所以在点A处的切线方程为y(x2)3x(xx1).因为切线过点P，所以t(x2)3x(2x1)，即2x6x(t2)0.同理可得2x6x(t2)0，两式相减得2(xx)6(xx)0，即(x1x2)(xx1x2x)3(x1x2)(x1x2)0，因为x1x20，所以xx1x2x3(x1x2)0，即(x1x2)2x1x23(x1x2)0.因为x1x22，且x1x2，所以x1x2<2.从而上式可以化为(x1x2)223(x1x2)<0，即(x1x2)(x1x24)<0.解得0<x1x2<4，即A，B两点的横坐标之和小于4.(3)解由题设知，f(0)<f(1)f(1)，即2<2(a2a3)，解得1<a<2.又因为a>0，所以0<a<2.因为f(x)3(xa)，所以当x时，f(x)<0，f(x)单调递减，当x时，f(x)>0，f(x)单调递增.所以当x时，f(x)有最小值fa32.从而条件转化为由得a<；由得a<，再根据0<a<2，得0<a<.不等式化为a3a2a1<0.令g(a)a3a2a1，则g(a)a22a1>0，所以g(a)为增函数.又g(2)<0，所以当a时，g(a)<0恒成立，即成立.所以a的取值范围为.