2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：4.1.2 圆的一般方程 .doc

www.ks5u.com4.1.2圆的一般方程知识导图学法指导 1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤2明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别高考导航1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分2考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值46分.知识点一圆的一般方程1二元二次方程x2y2DxEyF0，当D2E24F>0时，该方程叫作圆的一般方程2圆的一般方程下的圆心和半径：圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)表示的圆的圆心为，半径长为.知识点二求动点的轨迹方程的方法求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系求轨迹方程的一般步骤为：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2y2DxEyF0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2E24F>0.小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程x2y2x10表示圆()(2)方程2x22y22ax2ay0(a0)表示圆()答案：(1)(2)2圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：D4，E6，则圆心坐标为(2，3)答案：D3已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.解析：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则解得ABC外接圆的圆心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为 .答案：B4若方程x2y2axaya0表示圆，则a的取值范围是_解析：由题意得2a24a>0，a22a>0，a<0或a>2.答案：(，0)(2，)类型一圆的一般方程的概念辨析例1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)2x2y27x50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y24x0.【解析】二元二次方程只有能转化为x2y2DxEyF0且D2E24F>0才表示圆(1)因为x2与y2项的系数不相等，所以不能表示圆(2)因为方程中含有xy项，所以不能表示圆(3)因为(2)2(4)2410<0，所以不能表示圆(4)2x22y24x0可化为(x1)2y21，故方程表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆.判断二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0能否表示圆可按如下步骤进行：判断A，C是否相等且不等于0，B是否等于0；若满足AC0，B0，则判断D2E24F是否大于0，或将方程左端配方，然后与圆的标准方程进行对比，作出判断方法归纳形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：由圆的一般方程的定义令D2E24F>0，成立则表示圆，否则不表示圆；将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解跟踪训练1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解析：(1)D1，E0，F1，D2E24F143<0，方程(1)不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F0，D2E24F2a2>0，该方程表示圆，它的圆心为，半径r|a|.判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆此时有两种途径：一是看D2E24F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是不是大于零的常数类型二待定系数法求圆的方程例2已知ABC的三个顶点分别为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圆P的方程【解析】方法一设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，由题意可得解得故所求外接圆P的方程为x2y24x2y200.方法二由题意可得弦AC的中垂线方程为x2，BC的中垂线方程为xy30，由解得所以圆心P的坐标为(2,1)外接圆的半径长r|AP|5，故所求外接圆P的方程为(x2)2(y1)225.方法一是待定系数法，应用起来很方便，计算略微复杂，方法二是根据圆的几何性质解题，需要细心分析，技巧性较强求圆的方程时常用的几何性质有：圆的弦的垂直平分线过圆心；圆的半径r，半弦长h，弦心距d满足r2h2d2.方法归纳待定系数法求圆的一般方程的步骤用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：跟踪训练2求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标解析：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，解得所求圆的方程为x2y28x6y0，4，3，圆心为(4，3)，半径r5.设出外接圆的一般方程，分别把A，B，C三点的坐标代入，解出D，E，F即可得所求方程；或根据几何性质求出圆心坐标和半径长，即可得圆的方程类型三轨迹问题例3已知A(2,0)为圆x2y24上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，整理得(x1)2y21，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，OP，BN，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.整理得x2y2xy10，故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.求点的轨迹方程就先设出该点的坐标，然后运用已知条件代入已知点满足的关系式进行求解方法归纳1一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键2求曲线的轨迹方程要注意的三点(1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法(2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形)(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点跟踪训练3已知圆O的方程为x2y29，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹解析：设动点P的坐标为(x，y)当AP垂直于x轴或点A与点P重合时，点P的坐标分别为(1,0)，(1,2)，符合题意，此时x1；当点P在原点，或AP垂直于y轴时，即当点P的坐标为(0,0)或(0,2)时，也符合题意，此时x0；当x0，且x1时，根据题意可知APOP，即kAPkOP1，kAP，kOP，1，即x2y2x2y0(x0，且x1)经检验，点(1,0)，(1,2)，(0,0)，(0,2)也适合上式综上所述，点P的轨迹是以为圆心，为半径长的圆.画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由APOP建立关系求解解题时，注意对点P的特殊位置的讨论4.1.2基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的取值范围是()A(，5) B.C. D.解析：由(2)2124k>0，得k<.答案：B2经过圆x22xy20的圆心C，且与直线xy0垂直的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：x22xy20可化为(x1)2y21，圆心为C(1,0)又所求直线与直线xy0垂直，所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为yx1，即xy10.答案：A3方程(x24)2(y24)20表示的图形是()A两个点 B四个点C两条直线 D四条直线解析：方程(x24)2(y24)20，则即解得或或或所以方程(x24)2(y24)20表示的图形是(2,2)，(2,2)，(2，2)，(2，2)四个点答案：B4已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为()A8 B4C6 D无法确定解析：圆上存在关于直线xy30对称的两点，则直线xy30过圆心，即30，m6.答案：C5若圆x2y22x4y0的圆心到直线xya0的距离为，则a的值为()A2或2 B.或C2或0 D2或0解析：配方得(x1)2(y2)25，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离d，所以a2或0，故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_解析：本题主要考查圆的方程易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x1)2y21.答案：(x1)2y217若l是经过点P(1,0)和圆x2y24x2y30的圆心的直线，则l在y轴上的截距是_解析：圆心C(2,1)，则直线l的斜率k1，所以直线l的方程是y0(x1)，即yx1，所以l在y轴上的截距是1.答案：18过圆x2y26x4y30的圆心，且平行于直线x2y110的直线的方程是_解析：由题意知圆心为(3，2)，设所求直线的方程为x2ym0(m11)，将圆心(3，2)代入，得34m0，m1，故所求直线的方程为x2y10.答案：x2y10三、解答题(每小题10分，共20分)9求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x10y90上的圆的方程解析：设圆的方程是x2y2DxEyF0，则其圆心坐标为，依题意有即解得因此圆的方程是x2y214x6y70.10若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解析：(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)>0，即4m244m220m>0，解得m<，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.能力提升(20分钟，40分)112019北京市综合能力测试已知圆C：(xa)2(yb)21过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A点 B直线C线段 D圆解析：圆C：(xa)2(yb)21过点A(1,0)，(1a)2(0b)21，即(a1)2b21，圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆答案：D12如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，该圆的方程为_解析：将圆的方程配方，得2(y1)2k21，r21k21，rmax1，此时k0.故圆的方程为x2(y1)21.答案：x2(y1)2113求经过点A(1，)和B(2，2)，且圆心在x轴上的圆的方程解析：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F>0)因为圆心在x轴上，所以0，即E0.又圆过点A(1，)和B(2，2)，所以即解得故所求圆的方程为x2y26x0.14已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2y24x0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么解析：设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点，x，y，于是有x02x8，y02y6.点A在圆C上运动，点A的坐标满足方程x2y24x0，即xy4x00，(2x8)2(2y6)24(2x8)0，化简整理，得x2y26x6y170，即(x3)2(y3)21，点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径长的圆