2019-2020学年新一线同步数学人教B版必修一练习：第二章测评 .docx

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A=x|x2<1,B=x|x>0,则AB=()A.(0,1)B.(-1,+)C.(1,+)D.(-,-1)(0,+)解析A=x|x2<1=x|-1<x<1,B=x|x>0,AB=x|0<x<1=(0,1),故选A.答案A2.如果a<b<0,那么下列不等式中正确的是()A.b2>abB.ab>a2C.a2>b2D.|a|<|b|解析令a=-2,b=-1.对于A选项(-1)2<(-2)(-1),所以A选项错误.对于B选项,(-2)(-1)<(-2)2,故B选项错误.对于D选项,|-2|>|-1|,故D选项错误.综上所述,本小题选C.答案C3.若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k>-1B.k<-1C.k-1且k0D.k>-1且k0解析x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,k0且=4-4k(-1)>0,解得k>-1,k的取值范围为k>-1且k0.故选D.答案D4.若不等式组x+13<x2-1,x<4m无解,则m的取值范围为()A.m2B.m<2C.m2D.m>2解析解不等式x+13<x2-1,得x>8,不等式组无解,4m8,解得m2,故选A.答案A5.若关于x的不等式x2+mx<0的解集为x|0<x<2,则m的值等于()A.-2B.-1C.0D.2解析因为不等式x2+mx<0的解集为x|0<x<2,所以方程x2+mx=0的两根为0,2,所以0+2=-m,即m=-2,故选A.答案A6.已知实数a>0,b>0,且2a+b=2ab,则a+2b的最小值为()A.52+2B.92C.52D.42解析a>0,b>0,且2a+b=2ab,a=b2(b-1)>0,解得b>1.则a+2b=b2(b-1)+2b=12+12(b-1)+2b=52+12(b-1)+2(b-1)52+212(b-1)2(b-1)=92,当且仅当b=32,a=32时取等号,其最小值为92.故选B.答案B7.若x>0,则函数y=x+4x()A.有最大值-4B.有最小值4C.有最大值-2D.有最小值2解析x>0,由基本不等式可得x+4x2x4x=4,当且仅当x=4x即x=2时取等号,x=2时,函数y=x+4x有最小值4.故选B.答案B8.若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-53<x<13,则a=()A.-2B.2C.-3D.3解析不等式|ax-2|<3可化为-1<ax<5,当a=0时,-1<ax<5恒成立,不等式的解集为R,不合题意;当a>0时,则不等式的解为-1a<x<5a,故-1a=-53,5a=13,a>0,无解;当a<0时,则不等式的解为5a<x<-1a,故-1a=13,5a=-53,a<0,解得a=-3.综上,a=-3,故选C.答案C9.近年来高台县加大了对教育经费的投入,2014年投入2 500万元,2016年将投入3 600万元,设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是()A.2 500x2=3 600B.2 500(1+x)2=3 600C.2 500(1+x%)2=3 600D.2 500(1+x)+2 500(1+x)2=3 600解析设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意,可列方程:2 500(1+x)2=3 600.故选B.答案B10.若不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-1<x<2,那么不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集为()A.x|-2<x<1B.x|x<-2或x>1C.x|x<0或x>3D.x|0<x<3解析因为不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-1<x<2,所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,所以-ba=-1+2=1,ca=-2,即b=-a,c=-2a,代入不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax整理得a(x2-3x)>0,因为a<0,所以x2-3x<0,所以0<x<3,故选D.答案D11.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为()A.37B.8C.47D.93解析由题意p=7,S=7(7-a)(7-b)(7-c)=7(7-b)(7-c)77-b+7-c2=37,当且仅当7-b=7-c,即b=c=4时,等号成立,此三角形面积的最大值为37,故选A.答案A12.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是()A.(a+b)1a+1b4B.a3+b32ab2C.a2+b2+22a+2bD.|a-b|a-b解析a>0,b>0,(a+b)1a+1b2ab21a1b=4,故A恒成立;a3+b3-2ab2=a3-ab2+b3-ab2=(a-b)(a2+ab-b2),无法确定正负,故B不恒成立;a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)20,故C恒成立;若a<b,则|a-b|a-b恒成立,若ab,则(|a-b|)2-(a-b)2=2ab0,|a-b|a-b恒成立,故D恒成立.综上可知选B.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.关于x的一元二次不等式x2-x-2<0的解集是.解析结合二次函数的图像的性质,一元二次不等式x2-x-2<0,等价于(x-2)(x+1)<0-1<x<2.答案(-1,2)14.若关于x的不等式x+4x-a5在x(a,+)上恒成立,则实数a的最小值为.解析关于x的不等式x+4x-a5在x(a,+)上恒成立,即为x-a+4x-a5-a在x(a,+)上恒成立,由x>a,可得x-a>0,则x-a+4x-a2(x-a)4x-a=4,当且仅当x-a=2即x=a+2时,x-a+4x-a取得最小值4,则5-a4,可得a1,可得a的最小值为1.答案115.若正实数a、b、c满足ab=a+2b,abc=a+2b+c,则c的最大值为.解析由abc=a+2b+c,ab=a+2b,解得c=a+2bab-1=a+2ba+2b-1=1+1a+2b-1,ab=a+2b,1b+2a=1,a+2b=(a+2b)1b+2a=4+ab+4ba4+2ab4ba=4+4=8,c87.答案8716.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:若ab>0,bc-ad>0,则ca-db>0;若ab>0,ca-db>0,则bc-ad>0;若bc-ad>0,ca-db>0,则ab>0.其中正确的命题是.解析对于,若ab>0,bc-ad>0,不等式两边同时除以ab得ca-db>0,所以正确;对于,若ab>0,ca-db>0,不等式两边同时乘以ab得bc-ad>0,所以正确;对于,若ca-db>0,当两边同时乘以ab时可得bc-ad>0,所以ab>0,所以正确.综上,正确的命题是.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)解下列不等式:(1)x2-4x+30;(2)x+22x-30.解(1)x2-4x+30,即(x-3)(x-1)0,解得1x3,所以不等式的解集为x|1x3.(2)x+22x-30等价于(x+2)(2x-3)0,2x-30,解得x-2或x>32,所以不等式的解集为x|x-2或x>32.18.(12分)关于x的方程kx2+(k+1)x+14k=0有两个不等实根.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实根的倒数和为0?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.解(1)=(k+1)2-4k14k=k2+2k+1-k2=2k+1>0,k>-12,k0,故k>-12且k0;(2)设方程的两根分别是x1和x2,则x1+x2=-k+1k,x1x2=14,1x1+1x2=x1+x2x1x2=-4(k+1)k=0,k+1=0,即k=-1,k>-12,k=-1(舍去).所以不存在.19.(12分)已知x,yR,求证:x2+2y22xy+2y-1.证明由题意x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2-2xy+y2+y2-2y+1=(x-y)2+(y-1)20,x2+2y22xy+2y-1成立.20.(12分)已知正实数a,b满足a+b=4,求1a+1+1b+3的最小值.解a+b=4,a+1+b+3=8,1a+1+1b+3=18(a+1)+(b+3)1a+1+1b+3=182+b+3a+1+a+1b+318(2+2)=12,当且仅当a+1=b+3,即a=3,b=1时取等号,1a+1+1b+3的最小值为12.21.(12分)国家为了加强对烟酒生产的管理,实行征收附加税政策.现在某种酒每瓶70元,不征收附加税时,每年大约产销100万瓶;若政府征收附加税,每销售100元征收R元(叫做税率为R%),则每年产销量将减少10R万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元,R应怎样确定?解设产销量为每年x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收附加税为70xR%万元,并且x=100-10R,由题意,得70(100-10R)R%112,即R2-10R+160,解得2R8,税率定在2%8%(包括2%和8%)时,可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元.22.(12分)设实数x,y满足2x+y=1.(1)若|2y-1|-2|x|<3,求x的取值范围;(2)若x>0,y>0,求证:1x+2y-2xy152.解(1)由2x+y=1,得y=1-2x,所以不等式|2y-1|-2|x|<3,即为|4x-1|-2|x|<3,所以有x<0,1-4x+2x<3,或0x14,1-4x-2x<3,或x>14,4x-1-2x<3,解得-1<x<0或0x14或14<x<2,所以x的取值范围为(-1,2).(2)x>0,y>0,2x+y=1,所以1x+2y=1x+2y(2x+y)=4+yx+4xy4+4=8,当且仅当yx=4xy,即2x=y=12时取等号.又-2xy-2x+y2=-12,当且仅当2x=y=12时取等号,所以1x+2y-2xy152,当且仅当2x=y=12时取等号.