2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第二章 空间向量与立体几何 2.3.2 .docx
3.2空间向量基本定理课后训练案巩固提升A组1.下列命题是真命题的有()空间中的任何一个向量都可用a,b,c表示;空间中的任何一个向量都可用基底a,b,c表示;空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示;平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示.A.4个B.3个C.2个D.1个解析:根据基底的含义可知是真命题.答案:C2.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:a,b,c为空间的一个基底,则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若a,b,c为非零向量,则a,b,c不一定为空间的一个基底,但若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c肯定为非零向量,所以p是q的必要不充分条件.答案:B3.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是()A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2aC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c解析:设a+2b=(2a)+(a-b),得=32,=-2,所以2a,a-b,a+2b共面.同理可得B,D选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底.答案:C4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,则A1D=()A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.12a+12b-12cD.-12a+12b+12c解析:A1D=A1C1+C1D=AC+12(C1C+C1B1)=c+12(-AA1+CA+AB)=c-12a+12(-c)+12b=-12a+12b+12c.答案:D5.已知平行六面体OABC-OABC中,OA=a,OO=b,OC=c.若D是四边形OABC的中心,则()A.OD=-a+b+cB.OD=-b+12a+12cC.OD=12a-b-12cD.OD=12a+12c-12b解析:OD=OO+OD=-b+12(OA+OC)=-b+12a+12c.答案:B6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,且f=-12a+12b+c,k=12a+12b+c,h=12a-12b+c,则在f,k,h中与B1M相等的向量是.解析:求与B1M相等的向量,就是用基向量a,b,c线性表示B1M.B1M=B1B+BM=A1A+12(BA+BC)=-12A1B1+12A1D1+A1A=-12a+12b+c=f.答案:f7.如图,已知四面体O-ABC,M是OA的中点,G是ABC的重心,用基底OA,OB,OC表示向量MG的表达式为.解析:MG=MA+AG=12OA+23AD=12OA+23(OD-OA)=12OA+2312OB+12OC-OA=-16OA+13OB+13OC.答案:-16OA+13OB+13OC8.如图,已知ABCD-ABCD是平行六面体,设M是底面ABCD的对角线的交点,N是侧面BCCB对角线BC上的点,且分BC的比是31,设MN=AB+AD+AA,则,的值分别为,.解析:MN=MB+BN=12DB+34BC=12(DA+AB)+34(BC+CC)=12(-AD+AB)+34(AD+AA)=12AB+14AD+34AA,=12,=14,=34.答案:1214349.导学号90074030如图,已知PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为PDC的重心,AB=i,AD=j,AP=k,试用基底i,j,k表示向量PG,BG.解PG=23PN=2312(PC+PD)=13(PA+AB+AD+AD-AP)=13AB+23AD-23AP=13i+23j-23k.BG=BC+CN+NG=BC+CN+13NP=AD-12DC-13PN=AD-12AB-16AB+13AD-13AP=23AD-23AB+13AP=-23i+23j+13k.B组1.在以下3个命题中,真命题的个数是()三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线.若a,b是两个不共线向量,而c=a+b(,R且0),则a,b,c构成空间的一个基底.A.0B.1C.2D.3解析:是真命题,是假命题.答案:C2.如图,在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OA=2OM,N为BC中点,则MN等于()A.12a-23b+12cB.-12a+12b+12cC.12a+12b-12cD.-23a+23b-12c解析:MN=ON-OM=12(OB+OC)-12OA=-12a+12b+12c.答案:B3.已知A-BCD是四面体,O为BCD内一点,则AO=13(AB+AC+AD)是O为BCD的重心的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件解析:若O为BCD的重心,则AO=13(AB+AC+AD),反之也成立.答案:C4.如图,若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为PCD的重心,若AG=xAB+yAD+zAP,试求x+y+z的值.解取CD的中点H,连接PH(图略).G为PCD的重心,PG=23PH.AG=AP+PG=AP+23PH=AP+2312(PC+PD)=AP+13PC+13PD=AP+13(AC-AP)+13(AD-AP)=13AP+13AC+13AD=13AP+23AD+13AB.x=13,y=23,z=13,x+y+z=43.5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,ACB=90,EA平面ABCD,EFAB,FGBC,EGAC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM平面ABFE.证明EFAB,FGBC,EGAC,ACB=90,EGF=90,ABCEFG.AB=2EF,AC=2EG.M为AD的中点,MA=12DA.MG=MA+AE+EG=12DA+AE+12AC=12CB+12AC+AE=12AB+AE=AF.MGAF.又AF平面ABFE,GM平面ABFE,GM平面ABFE.6.导学号90074031如图,在平行六面体ABCD-EFGH中,已知M,N,R分别是AB,AD,AE上的点,且AM=MB,AN=12ND,AR=2RE,求平面MNR分对角线AG所得的线段AP与AG的比.解设AP=mAG,由AG=AB+AD+AE=2AM+3AN+32AR,得AP=2mAM+3mAN+32mAR.P,M,R,N四点共面,2m+32m+3m=1,解得m=213,即APAG=213.
