2022年解三角形知识点、例题解析、高考题汇总及答案 .pdf

名师总结优秀知识点解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在ABC 中，RCcBbAa2sinsinsin（R 为 ABC 外接圆半径） 。2、变形公式：（ 1）化边为角：2sin,2sin,2sin;aRA bRB cRC（ 2）化角为边：sin,sin,sin;222abcABCRRR（ 3）:sin:sin:sina b cABC（ 4）2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC. 3、三角形面积公式：21111sinsinsin2sin sin sin22224ABCabcSahabCacBbcARABCR4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、余弦定理1、余弦定理：Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos2222、余弦定理可以解决的问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页名师总结优秀知识点北东hil（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）. 图 1 图 2 图 3 图 4 2、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为（如图 2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）. 4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、 （2012 天津理） 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是, ,a b c,已知8 =5bc,=2CB,则cosC（）A725B725C725D2425【答案】 A 【解析】85 ,bc由正弦定理得8sin5sinBC，又2CB，8sin5sin 2BB，所以8sin10sincosBBB，易知247sin0,cos,coscos22cos1525BBCBB. 2、 （2009 广东文） 已知ABC中，CBA,的对边分别为, ,a b c若62ac且75Ao，则b北东南西B 目标lh 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页名师总结优秀知识点( ) A2 B42 3C42 3D62【答案】A 【解析】000000026sinsin 75sin(3045 )sin30 cos45sin 45 cos304A由62ac可知 ,075C,所以030B,1sin2B由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选 A 3、 （2011 浙江） 在ABC中，角,A B C所对的边分, ,a b c.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB( )A-12B12C -1 D 1 【答案 】D 【解析 】BbAasincos，BAA2sincossin，1cossincoscossin222BBBAA. 4、 （2012 福建文） 在ABC中,已知60 ,45 ,3BACABCBC,则AC_. 【答案】2【解析】由正弦定理得32sin 45sin 60ACAC5、 （2011 北京） 在ABC中，若15,sin43bBA，则a. 【答案】325【解析】：由正弦定理得sinsinabAB又15,sin43bBA所以55 2,13sin34aa6、 （2012 重庆理） 设ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c,且35cos,cos,3,513ABb则c_ 【答案】145c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页名师总结优秀知识点【解析】由35412cos,cossin,sin513513ABAB, 由正弦定理sinsinabAB得43sin13512sin513bAaB, 由余弦定理2222142cos25905605acbbcAccc7、 （2011 全国） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c.己知sincsin2 sinsinaACaCbB. （I）求 B； （ ）若075 ,2,Abac求 ，. 【解析】（I）由正弦定理得2222acacb由余弦定理得2222cosbacacB. 故2cos2B，因此45B（II）sinsin(3045 )Asin30 cos45cos30 sin 45264故sin2613sin2AabBsinsin6026sinsin45CcbB. 8、 （2012 江西文） ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. （1）求 cosA; （2）若 a=3,ABC 的面积为2 2,求 b,c. 【解析】（1）3(coscossinsin)16coscos3coscos3sinsin13cos()11cos()3BCBCBCBCBCBCA则1cos3A. （2）由（ 1）得2 2sin3A,由面积可得bc=6,则根据余弦定理2222291cos2123bcabcAbc则2213bc, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页名师总结优秀知识点 两式联立可得32ba或32ab. 9、 （2011 安徽） 在ABC 中， a，b，c 分别为内角A，B，C 所对的边长， a=3，b=2，12cos()0BC，求边 BC 上的高 . 【解析】：ABC 180 ，所以 BCA，又12cos()0BC，12cos(180)0A，即12cos0A，1cos2A，又 0 A180 ，所以 A60 . 在ABC 中，由正弦定理sinsinabAB得sin2sin602sin23bABa，又ba，所以 BA，B45 ，C75 ，BC 边上的高 AD AC sinC2 sin 752 sin(4530 )2(sin 45 cos30cos45 sin30 )2321312()22222. 10、 （2012 辽宁理 ）在ABC中 ,角 A、B、C 的对边分别为a,b,c.角 A,B,C 成等差数列 . （I）求cosB的值 ; （）边 a,b,c 成等比数列 ,求sinsinAC的值 . 【解析】（I）由已知12,cos32BAC ABCBB（）解法一：2bac，由正弦定理得23sinsinsin4ACB，解法二：2222221,cos222acbacacbacBacac，由此得22abacac，得ac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页名师总结优秀知识点所以3,sinsin34ABCAC【课堂练习】1、 （2012 广东文） 在ABC中,若60A,45B,32BC,则AC（）A4 3B2 3C3D322、 （2011 四川） 在ABC 中，222sinsinsinsinsinABCBC ，则 A 的取值范围是（）A (0,6B ,)6C (0,3D ,)33、 （2012 陕西理） 在ABC中,角,A B C所对边长分别为, ,a b c,若2222abc,则cosC的最小值为（）A32B22C12D124、 （2012 陕西） 在ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a，b，c，若2222cba，则Ccos的最小值为（）A23B22C21D215、（2011 天津）如图，在ABC 中， D 是边 AC 上的点，且,23,2ABCDABBD BCBD则 sinC 的值为 () A33B36C63 D 666、 （2011 辽宁） ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， asinAsinB+bcos2A=a2，则ab（）A2 3B2 2C3D27、 （ 2012 湖 北 文 ） 设ABC的 内 角,A B C所 对的 边分 别 为, ,a b c,若 三 边的 长为 连续 的 三个 正 整数 ,且ABC,320 cosbaA,则sin:sin:sinABC为（）A432 B567 C543 D654 8、 （2011 上海） 在相距 2 千米的AB两点处测量目标C，若0075 ,60CABCBA，则A C两点之间的距精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页名师总结优秀知识点离是千米。9、（2012 重庆文 ）设 ABC的内角ABC、 、的对边分别为abc、 、,且1cos4abC=1， =2，,则sin B_ 10、 （2012 北京文 ）在 ABC 中,若3a,3b,3A,则C的大小为 _. 11、 （2012 陕西文） 在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若 a=2 ,B=6,c=23,则 b=_ 12、 （2012 北京理） 在ABC 中,若2a,7bc,1cos4B,则b_. 13、已知 ABC 得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_. 14、 如图所示， 货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140 的方向航行， 为了确定船位， 船在 B点观测灯塔A的方位角为110 ，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65 ，则货轮到达C 点时，与灯塔A的距离是多少？15、 （2009 安徽理） 在ABC 中，sin()1CA, sinB=13.（I）求 sinA 的值；（II）设 AC=6，求ABC 的面积 . 16、 （2012 安徽文） 设ABC的内角,A B C所对的边为, ,a b c,且有2sincossincoscossinBAACAC（）求角A的大小 ; （II） 若2b,1c,D为BC的中点 ,求AD的长 . 17、 （2011 江苏） 在 ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为cba,（1）若,cos2)6sin(AA求 A 的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值 . 18、 （2012 天津文） 在ABC中 ,内角,A B C所对的分别是, ,a b c.已知22,2,cos4acA. （I）求sinC和b的值 ; （II）求cos(2)3A的值 . 19、 （2010 陕西） 如图， A，B 是海面上位于东西方向相距5 33海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45 ，B 点北偏西60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60 且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即即前往营救，304575ACD15精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页名师总结优秀知识点其航行速度为30 海里 /小时，该救援船到达D 点需要多长时间？20、我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知6000CD米，45ACD，75ADC，目标出现于地面点B处时，测得30BCD，15BDC（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）. 【课后作业】1、 （2009 全国卷 文） 已知ABC 中，12cot5A，则cosA( ) A1213B513C513D12132、 （2009 全国卷 理） 已知ABC中，12cot5A， 则cosA( ) A. 1213B.513C.513D. 12133、 （2012 湖南文） 在ABC 中,AC=7,BC=2,B =60,则 BC 边上的高等于（）A32B3 32C362D33944、在 ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2CsinB sinC，则角 A 等于（）A3B23C34D565、在 ABC 中，若 acosA bcosB，则 ABC 的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形6、在 ABC 中， abc156，则 sinAsinBsinC 等于() A156B 651 C61 5 D不确定7、 （2009 湖南文） 在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为. 8、（2012 湖北理）设 ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为a,b ,c . 若 ()()abcabcab ,则角 C_. 9、在 ABC 中，已知c102 ，C60 ，a2033，则 A. 10、在 ABC 中，已知三边满足（a bc)(abc)3ab，则 C 等于. 11、在 ABC 中，若a2b2tanAtanB，则 ABC 是. 12、在 ABC 中，已知 B135 ， C 15 ，a5，那么此三角形的最大边的长是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页名师总结优秀知识点13、在 ABC 中，已知 sin2Bsin2Csin2A3 sinAsinC，求 B 的度数 . 14、如图，在 ABC 中，已知角B45 ， D 是 BC 边上一点， AD5，AC 7，DC3，求 AB. 15、 （2009 全国卷 理） 在ABC中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求 b. 16、 （2009 浙江理） 在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC（I）求ABC的面积；（II ）若6bc，求a的值17、已知 ABC 的三个内角A、B、C 依次成等差数列，又三边a、b、c 依次成等比数列，求证：该三角形为正三角形 . 18、 （2011 山东）在ABC中，内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知cos2cos2cosACcaBb，（）求sinsinCA的值； （ ）若1cos,24Bb，求ABC的面积 S。19、某观测站C在目标A南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得公路上与C相距 31 千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走 20 千米到达D，此时测得CD距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为180km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18 30，经过120秒后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m）. ACD3121B203525东北ABDM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页名师总结优秀知识点【参考答案】【课堂练习】1-7、BCCCD DD 8、69、154精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页名师总结优秀知识点10、211、2 12、4 13、2414、102 km 15、3sin3A，3 2ABCS16、7,32AAD17、1,sin33AC18、sinC=74，1b321cos(2)38A19、需要 1 小时20、1000 42米【课后作业】1-6、DDBBDA 7、2，)3,2(8、239、4510、6011、等腰或直角三角形12、52 13、B15014、5 6215、40(bb或舍）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页名师总结优秀知识点16、1sin22ABCSbcA，2 5a17、证法一： A、B、C 成等差数列，则2BAC，又 ABC180 ，3B180 ，B60 ，再由 a、b、c 成等比数列，可得b2ac，因此用余弦定理b2a2c22accosB，aca2 c2 2ac12，即（ ac）20，a c，AC又 B60 ， ABC 为正三角形 . 18、sin2sinCA，154S19、15 千米20、18130m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页