2022年解析几何计算处理技巧 .pdf

解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程考点一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果典例 如图， F1，F2是椭圆 C1：x24y21 与双曲线C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 () A.2B.3C.32D.62解题观摩 由已知，得F1(3，0)，F2(3，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得|AF1|AF2|4，|AF2|AF1|2a，|AF1|2 |AF2|212，解得 a22， 故 a2.所以双曲线C2的离心率e3262. 答案 D 关键点拨 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|， |AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量对点训练 1.如图，设抛物线y24x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A， B在抛物线上，点C 在 y 轴上，则 BCF 与 ACF 的面积之比是() A.|BF|1|AF|1B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1D.|BF|21|AF|21解析： 选 A由题意可得SBCFSACF|BC|AC|xBxA|BF|p2|AF|p2|BF|1|AF|1. 2 抛物线 y2 4mx(m0)的焦点为F， 点 P 为该抛物线上的动点， 若点 A(m,0)， 则|PF|PA|的最小值为 _解析：设点 P 的坐标为 (xP，yP)， 由抛物线的定义，知 |PF| xP m，又|PA|2(xPm)2y2P(xPm)24mxP，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页则2)|(PAPFxPm2xPm24mxP114mxPxPm2114mxP2xP m212(当且仅当xPm 时取等号 )，所以|PF|PA|22，所以|PF|PA|的最小值为22. 答案：22考点二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求典例 已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点 F 的直线交E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为 (1， 1)，则 E 的标准方程为() A.x245y2361 B.x236y2271 C.x227y2181 D.x218y291 解题观摩 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22，y1y2 2，x21a2y21b21，x22a2y22b21，得x1x2x1x2a2y1y2y1 y2b20，所以 kABy1y2x1x2b2x1x2a2y1y2b2a2.又 kAB013112，所以b2a212.又 9c2a2b2，解得 b29，a218，所以椭圆E 的方程为x218y291. 答案 D 关键点拨 (1)本题设出A，B 两点的坐标，却不求出A， B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率 “ 算两次 ” 建立几何量之间的关系，从而快速解决问题(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到： 凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“ 设而不求 ” ；“ 设而不求 ” 不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多对点训练 1已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C：x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点， A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为 C上一点，且PFx 轴过点A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点E，若直线BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 () A.13B.12C.23D.34解析： 选 A设 OE 的中点为G，由题意设直线l 的方程为yk(xa)，分别令 x c 与 x0 得|FM |k(ac)，|OE|ka，由 OBG FBM ，得|OG|FM |OB|FB|，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页即12kak acaac，整理得ca13，所以椭圆C 的离心率e13. 2过点 M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆C：x2a2y2b2 1(ab0)相交于 A， B两点，若M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 _解析： 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22， y1 y2 2，b2a212， a22b2.又 b2a2c2， a22(a2c2)， a2 2c2，ca22. 即椭圆 C 的离心率e22. 答案：22考点三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件典例 设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点 P 在椭圆上且异于A，B 两点， O 为坐标原点若 |AP|OA|，证明直线OP 的斜率 k 满足 |k|3. 解题观摩 法一 ：依题意，直线OP 的方程为ykx，设点 P 的坐标为 (x0，y0)由条件得y0kx0，x20a2y20b21，消去 y0并整理，得x20a2b2k2a2b2.由 |AP|OA|，A(a,0)及 y0 kx0，得(x0a)2k2x20 a2，整理得 (1k2)x202ax00.而 x00，于是 x02a1k2，代入，整理得(1k2)2 4k22)(ba4.又 ab 0，故 (1 k2)24k24，即 k214，因此 k23，所以 |k|3. 法二 ：依题意，直线OP 的方程为y kx，可设点P的坐标为 (x0， kx0)由点 P 在椭圆上，得x20a2k2x20b21.因为 ab0，kx00，所以x20a2k2x20a21，即 (1k2)x20 a2.由|AP|OA|及 A(a,0)，得 (x0a)2k2x20a2，整理得 (1k2)x202ax0 0，于是 x02a1 k2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页代入，得 (1k2) 4a21 k2 2a2，解得 k23，所以 |k|3. 法三 ：设 P(acos ，bsin )(0 2)，则线段OP 的中点 Q 的坐标为)sin2,cos2(ba. |AP|OA|? AQ OP? kAQk 1.又 A(a,0)，所以 kAQbsin 2aacos ，即 bsin akAQcos 2akAQ. 从而可得 |2akAQ|b2 a2k2AQa1 k2AQ，解得 |kAQ|33，故 |k|1|kAQ|3. 关键点拨 求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量对点训练 设直线l 与抛物线y24x 相交于 A，B 两点，与圆C： (x 5)2y2r2(r0)相切于点M，且 M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有 4 条，求 r 的取值范围解： 当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为xtym，A(x1，y1)，B(x2， y2)，代入抛物线y24x 并整理得y24ty 4m0，则有 16t216m0，y1y24t，y1y2 4m，那么 x1x2(ty1m)(ty2m) 4t22m，可得线段AB 的中点 M(2t2 m,2t)，而由题意可得直线AB 与直线 MC 垂直，即 kMC kAB 1，可得2t02t2m51t 1，整理得m 32t2(当 t0 时)，把 m3 2t2代入 16t216m 0，可得 3t20，即 0t23，又由于圆心到直线的距离等于半径，即 d|5m|1t222t21t221t2r，而由 0t2 3 可得 2r4.故 r 的取值范围为(2,4)考点四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞数缺形时少直观，形少数时难入微”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题典例 已知 F 是双曲线C：x2y281 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， A(0,66)当 APF 周长最小时，该三角形的面积为_解题观摩 设双曲线的左焦点为F1，根据双曲线的定义可知|PF|2a|PF1|，则 APF 的周长为 |PA|PF|AF|PA| 2a|PF1|AF|PA|PF1| |AF|2a，由于 |AF|2a 是定值，要使APF 的周长最小，则|PA|PF1|最小，即P，A，F1共线，由于A(0,66)，F1(3,0)，则直线 AF1的方程为x3y661，即 xy2 63，代入双曲线方程整理可得y266y96 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页解得 y2 6或 y 8 6(舍去 )，所以点P 的纵坐标为2 6，所以126 6 612626126. 答案 126 关键点拨 要求 APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点 P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理对点训练 1椭圆x25y241 的左焦点为F，直线 xm 与椭圆相交于点M，N，当 FMN 的周长最大时，FMN 的面积是 () A.55B.6 55C.8 55D.4 55解析： 选 C如图所示，设椭圆的右焦点为F，连接 MF ，NF. 因为 |MF |NF|MF |NF |MF |NF |MN|，所以当直线xm 过椭圆的右焦点时，FMN 的周长最大此时 |MN|2b2a855，又 ca2b254 1，所以此时 FMN 的面积 S 122855855.故选 C. 2设 P 为双曲线x2y2151 右支上一点，M，N 分别是圆C1：(x4)2y24 和圆 C2：(x4)2y21 上的点，设 |PM|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则 |mn|() A4 B.5 C6 D7 解析： 选 C由题意得，圆C1：(x4)2y24 的圆心为 (4,0)，半径为r12；圆 C2：(x4)2y21 的圆心为 (4,0)，半径为r21. 设双曲线x2y2151 的左、右焦点分别为F1(4,0)，F2(4,0)如图所示，连接PF1，PF2，F1M， F2N，则 |PF1|PF2|2.又 |PM|max|PF1| r1， |PN|min|PF2|r2，所以 |PM|PN|的最大值m|PF1|PF2|r1r25.又|PM|min|PF1| r1， |PN|max|PF2|r2，所以 |PM|PN|的最小值n|PF1| |PF2|r1r2 1，所以 |mn|6.故选 C. 考点五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页典例 如图，在平面直角坐标系xOy 中， F 是椭圆x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点，直线 yb2与椭圆交于B， C 两点，且 BFC90 ， 则该椭圆的离心率是_解题观摩 把 yb2代入椭圆x2a2y2b21，可得x 32a，则B)2,23(ba，C)2,23(ba，而 F(c,0)，则 FB)2,23(bca，FC)2,23(bca，又 BFC 90 ，故有 FB FC )2,23(bca)2,23(bcac234a214b2c234a214(a2c2)34c212a20，则有 3c22a2，所以该椭圆的离心率eca63. 答案 63关键点拨 本题通过相关向量坐标的确定，结合 BFC90 ，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算对点训练 设直线 l 是圆 O： x2 y2 2 上动点 P(x0，y0)(x0y00)处的切线， l 与双曲线x2y221 交于不同的两点A，B，则 AOB 为() A90B.60C45D30解析： 选 A点 P(x0，y0)(x0y00)在圆 O：x2y22 上， x20 y20 2，圆在点P(x0，y0)处的切线方程为x0 xy0y2.由x2y221，x0 xy0y 2及 x20y202 得(3x204)x24x0 x82x20 0.切线l 与双曲线交于不同的两点 A，B，且 0 x202， 3x20 40，且 16x204(3x204) (8 2x20) 0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1 x24x03x20 4， x1x282x203x204.OA OB x1x2 y1y2 x1x21y20(2 x0 x1)(2x0 x2)x1x212x2042x0(x1x2)x20 x1x282x203x20 412x2048x203x204x208 2x203x2040， AOB90 . 考点六巧用 “ 根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷典例 已知椭圆x24y21 的左顶点为A，过 A 作两条互相垂直的弦AM，AN 交椭圆于M，N 两点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页(1)当直线 AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线 AM 的斜率变化时，直线MN 是否过 x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由解题观摩 (1)直线 AM 的斜率为1 时，直线 AM 的方程为yx2，代入椭圆方程并化简得5x216x120. 解得 x1 2，x265，所以 M)54,56(. (2)设直线 AM 的斜率为k，直线 AM 的方程为yk(x2)，联立方程yk x2 ，x24y21，化简得 (14k2)x216k2x16k240.则 xAxM16k214k2，xM xA16k214k2216k214k22 8k21 4k2.同理，可得xN2k28k24. 由(1)知若存在定点，则此点必为P)0,56(. 证明如下：因为kMPyMxM65k2 8k21 4k2228k214k2655k44k2，同理可得kPN5k44k2. 所以直线MN 过 x 轴上的一定点P)0,56(. 关键点拨 本例在第 (2)问中可应用根与系数的关系求出xM28k214k2，这体现了整体思想这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量对点训练 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，且经过点P)23, 1(，左、右焦点分别为F1，F2. (1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F1的直线l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AF2B 的内切圆半径为327，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程解： (1)由ca12，得 a2c，所以 a24c2， b23c2，将点 P)23,1 (的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为x24y231. (2)由(1)可知 F1(1,0)，设直线l 的方程为xty1，代入椭圆方程，整理得(43t2)y26ty90，显然判别式大于0 恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， AF2B 的内切圆半径为r0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页则有 y1y26t43t2，y1y2943t2， r0327，12r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)12r0 4a1283 271227，所以12t214 3t21227，解得 t21，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r2t2 12，所以所求圆的方程为(x1)2y22. 课时跟踪检测 1在平面直角坐标系xOy 中，设直线y x2 与圆 x2y2r2(r 0)交于 A，B 两点， O 为坐标原点，若圆上一点 C 满足 OC54OA34OB，则 r() A2 10B.10C25D.5解析： 选 B已知 OC54OA34OB，两边平方化简得OA OB35r2，所以 cosAOB35，所以 cosAOB255，又圆心 O(0,0)到直线的距离为|2|22，所以2r55，解得 r10. 2设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点， M 是线段 PF 上的点，且 |PM|2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为() A.33B.23C.22D1 解析： 选 C如图所示，设P(x0，y0)(y00)，则 y202px0，即 x0y202p.设 M(x ，y)，由 PM2MF，得xx02p2x ，yy02 0y ，化简可得xpx03，yy03.直线 OM 的斜率 ky03p x03y0py202p2p2p2y0y02p22p222(当且仅当y02p 时取等号 )故直线OM 的斜率的最大值为22. 3(2019 惠州调研 )设 m，nR，若直线 l：mxny10 与 x 轴相交于点A，与 y 轴相交于点B，且直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页l 与圆 x2y24 相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则AOB 面积的最小值为() A5 B.4 C3 D2 解析： 选 C由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d1m2n23，所以m2 n2132|mn|， 当且仅当mn 时等号成立 所以 |mn|16， 又 A)0 ,1(m， B)1,0(n， 所以 AOB 的面积 S12|mn|3，故 AOB 面积的最小值为3. 4(2019 兰州模拟 )已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 为双曲线右支上一点，若|PF1|28a|PF2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为() A(1,3 B.3 ， ) C(0,3) D(0,3 解析： 选 A根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF1|PF2|2a，设 |PF1|m，|PF2|n，则m n2a， m28an， m24mn 4n20， m2n，则 n 2a，m4a，依题得 |F1F2|PF1|PF2|，2c4a2a， eca3，又 e1， 1e3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1,35过抛物线y22px(p0)的焦点F，斜率为43的直线交抛物线于A，B 两点，若 AF FB ( 1)，则 的值为 () A5 B.4 C.43D.52解析： 选 B根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 AF FB，得),2(11yxp),2(22ypx，故 y1y2，即 y1y2.设直线 AB 的方程为 y43)2(px，联立直线与抛物线方程，消去x，得 y232pyp20.故 y1y232p， y1y2 p2，则y1 y22y1y2y1y2y2y1294，即 1294.又 1，解得 4. 6.已知椭圆C：x24y21，过椭圆上一点A(0,1)作直线 l 交椭圆于另一点B，P 为线段 AB 的中点，若直线AB，OP 的斜率存在且不为零，则kABkOP_. 解析： 法一： (特殊值法 )取 B)23, 1(，则 P)432,21(，则 kAB322，kOP232，故 kAB kOP32223214. 法二： 由题意，设直线l 的方程为y kx1，联立方程ykx 1，x24y21，消去 y 得， (14k2)x28kx0，得 xB8k14k2，即 B)4141,418(222kkkk. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页则 P)411,414(22kkk， kABk， kOP14k， kAB kOP14. 法三： (点差法 )设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(x0，y0)，则x2A4y2A1，x2B4y2B1，两式相减得x2Ax2B4y2Ay2B0，化简得yAyBxAxByAyBxAxB14，即yAyBxAxBy0 x014， kAB kOP14. 答案： 147已知AB 为圆x2y21 的一条直径，点P 为直线xy20 上任意一点，则P A PB 的最小值为_解析： 由题意，设A(cos ，sin )，P(x，x2)，则 B( cos ， sin )， PA(cos x，sin x2)，PB (cos x， sin x 2)， PA PB(cos x)(cos x)(sin x2) (sin x2)x2(x2)2cos2 sin2 2x24x32(x1)21，当且仅当x 1，即 P(1，1)时， PA PB 取最小值1. 答案： 1 8(2019 武汉调研 )已知 A，B 分别为椭圆x29y2b2 1(0b3)的左、右顶点， P，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP，BQ 的斜率分别为m，n，若点 A 到直线 y1mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为 _解析： 根据椭圆的标准方程x29y2b21(0b3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上， A(3,0)，B(3,0)，设P(x0， y0)， Q(x0， y0)， 则x209y20b21， kAP my0 x0 3， kBQny0 x03， mny20 x209b29， 1 mn9b23，直线 y1 mn x9b23x， 即9b2x3y 0.又点 A 到直线 y1mn x的距离为 1， |39b2|9b2939b218b21，解得 b2638， c2a2b298， ec2a21824. 答案：249已知椭圆C：x24y21 的右顶点为A，上顶点为B.设 P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线 P A 与 y轴交于点M，直线 PB 与 x 轴交于点N，求证：四边形ABNM 的面积为定值解： 由题意知， A(2,0)，B(0,1)，设 P(x0，y0)(x00，y00)，则 x204y204，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页所以直线 PA 的方程为yy0 x02(x2)，令 x0，得 yM2y0 x02，从而 |BM|1yM12y0 x02，直线 PB 的方程为yy0 1x0 x1，令 y0，得 xNx0y01，从而 |AN|2xN2x0y01，所以四边形ABNM 的面积 S12|AN|BM|12)221)(12(0000 xyyxx204y204x0y04x0 8y042 x0y0 x02y0 22x0y02x04y0 4x0y0 x02y022，从而四边形ABNM 的面积为定值10已知离心率为63的椭圆x2a2y2b21(a b0)的一个焦点为F，过 F 且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于A，B 两点， |AB|2 33. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y kx2 与椭圆交于C，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E(1,0)，求 k 的值解： (1)设焦距为 2c， eca63，a2 b2c2，ba33.由题意可知b2a33， b1，a3，椭圆的方程为x23 y2 1. (2)将 ykx2 代入椭圆方程，得(13k2)x212kx 90，又直线与椭圆有两个交点，所以 (12k)236(13k2)0，解得 k21. 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1x212k13k2，x1x2913k2. 若以 CD 为直径的圆过E 点，则 EC ED0，即(x11)(x2 1)y1y2 0，而 y1y2(kx1 2)(kx2 2) k2x1x22k(x1x2)4，所以 (x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(2k1)(x1x2)59 k2113k212k 2k 113k250，解得 k76，满足 k21，所以 k76. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页