2022年解直角三角形知识点 .pdf
一、 直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 C=90 A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 C=90 A=30 BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 D 为 AB的中点 CD=21AB=BD=AD 4、勾股定理：222cba：222abc还可以变形为222acb，222bca5、射影定理： 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACB=90 CD AB BDADCD?2ABADAC?2ABBDBC?26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB?CD=AC?BC 二、锐角三角函数1、锐角三角函数定义：在RT ABC中， C=90，a、b、c分别是 A、 B 、 C的对边，则：sinAaAc的对边斜边cosAbAc的邻边斜边tanAaAAb的对边的邻边cotAbAAa的邻边的对边常用变形：sinacAg；sinacA等，由同学们自行归纳2、锐角三角函数的有关性质：（1）当 0 A90时，0sin1A；0cos1A；tan0A；cot0A（2）在 0:90之间，正弦、正切（sin、tan）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos、cot）的值，随角度的增大而减小。3、同角三角函数的关系：A C B D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页22sincos1AAtancot1AAgsintancosAAAcoscotsinAAA常用变形：2sin1cosAA2cos1sinAA（用定义证明，易得，同学自行完成）4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：如图 1，由定义可得：sincoscos(90)aABAc同理可得：sincos(90)AAcossin(90)AAtancot(90)AAcottan(90)AA5、特殊角的三角函数值：三角函数030456090sincostan-cot-二、有关三角函数计算（计算器、特殊角）三、解直角三角形已知的一些边、角求 另一些边、角1、解直角三角形的基本类型及其解法总结：类型已知条件解法两边两直角边a、b22cab，tanaAb，90BA直角边a，斜边c22bca，sinaAc，90BA一边一锐角直角边a，锐角 A90BA，cotbaA，sinacA斜边c，锐角 A90BA，sinacAg，cosbcAg例 1：在 RtABC中, C=Rt ,a,b,c是 ABC的三边 ,a=6, B=30求 A,b,c. 在 RtABC中 , C=Rt,a,b,c是 A,B,C的对边 ,a=5,b=35, 求 c, A, B. 6030321BCA45222BCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页例 2: 在 RtABC中, C=Rt,a,b,c是三边 , 且83ctgA,a=6. 求 c. 在 RtABC中, C=Rt, B=30,a-b=2. 求 c. 在 Rt ABC中, B=45, C=60,BC=326. 求 SABC及 ABC的周长 . 在 Rt ABC中, C=Rt,58AC, A的平分线 AD的长是31516解直角三角形. 在 Rt ABC中, C=90,310AB,53cosABC.D 是 AC上一点 DBC=30 . 求BC,AD. 2、解直角三角形的实际运用(1) 仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2) 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度( 坡比 )。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1: m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作( 叫做坡角 ) ，那么tanhil。(3) 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、 OD的方向角分别是：45、 135、 225。(4) 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角， 叫做方向角。 如图 4,OA、OB 、 OC 、OD的方向角分别是：北偏东30（东北方向），南偏东 45（东南方向） ，南偏西 60（西南方向） ，北偏西 60（西北方向） 。补充： 在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。有关公式（1）1sin2SabC=1sin2bcA=1sin2acB:ihlhl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页（2）Rt面积公式：1122SabchV（3）结论：直角三角形斜边上的高abhc（4）测底部不可到达物体的高度如右图，在 Rt ABP中，BP=xcot在 Rt AQB中，BQ=xcotBQ BP=a ，即 xcot -xcot =a解直角三角形的知识的应用，可以解决：(1) 测量物体高度(2) 有关航行问题(3) 计算坝体或边路的坡度等问题3、三角形的面积公式：已知ABC中， A、 B、 C的对应边分别是a、b、c，如图 2，过点 A作 AD BC于点 D。在RTABD中，sinADBAB，即：sinADABBg（sinADcBg）111sinsin222ABCSBC ADa cBacBgg g（其中： B为a、c的夹角）同理可得 ：111sinsinsin222ABCSacBbcAabC（三角形的面积公式）由面积公式可得：11sinsin22acBbcA两边同时除于12c得：sinsinsinsinabaBbAAB同理可得， 正弦公式：sinsinsinabcABC余弦定理如图 2：sinADbCg，cosBDBCCDabCg，在直角三角形ABD 中，由勾股定理得：222222(sin)(cos )ABADBDcbCabCgg整理得：2222222222sin2coscos(sincos)2coscbCaabCbCbCCaabC2222coscbaabC整理得到余弦定理：2222coscababC（ C 为a、b的夹角）ABPQxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页DABC同理可得：（余弦定理及其变形）2222cosabcbcA222cos2bcaAbc2222cosbacacB222cos2acbBac2222coscababC222cos2abcCab四、三角函数与相似：如图 5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：3.2cos610ADABxxAAEACsinDEBCAAEAC如图 6，6tan48DEBCxAAEAB备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些五、三角函数与一次函数设一次函数ykxb经过点11(,)A xy与22(,)B xy那么我们可以列出方程组：1122ykxbykxb则可以得到：2121yykxx如下图所示：tanky2-y1x2-x1y2y1x2x1B(x2,y2)A(x1,y1)O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
